Dela exakt sekvens

Inom matematiken är en delad exakt följd en kort exakt följd där mellantermen är uppbyggd av de två yttre termerna på enklast möjliga sätt.

Likvärdiga karaktäriseringar

En kort exakt sekvens av abelska grupper eller av moduler över en fast ring , eller mer allmänt av objekt i en abelsk kategori

$0\to A\mathrel {\stackrel {a}{\to }} B\mathrel {\stackrel {b}{\to }} C\to 0$

kallas delad exakt om den är isomorf till den exakta sekvensen där mellantermen är den direkta summan av de yttre:

$0\to A\mathrel {\stackrel {i}{\to }} A\oplus C\mathrel {\stackrel {p}{\to }} C\ till 0$

Kravet på att sekvensen är isomorf betyder att det finns en isomorfism $f:B\to A\oplus C$ så att den sammansatta $f\circ a$ är naturlig inkludering $i:A\to A\oplus C$ och så att den sammansatta $p\circ f$ är lika med b . Detta kan sammanfattas med ett kommutativt diagram som:

Delningslemmat tillhandahåller ytterligare ekvivalenta karakteriseringar av delade exakta sekvenser .

Exempel

Ett trivialt exempel på en delad kort exakt sekvens är

$0\to M_{1}\mathrel {\stackrel {q}{\to }} M_{1}\oplus M_{2}\mathrel {\stackrel {p}{\to }} M_{2}\to 0$

där $M_{1},M_{2}$ är R -moduler, $q$ är den kanoniska injektionen och $p$ är den kanoniska projektionen.

Varje kort exakt sekvens av vektorutrymmen delas exakt. Detta är en omformulering av det faktum att vilken uppsättning linjärt oberoende vektorer som helst i ett vektorrum kan utökas till en bas .

Den exakta sekvensen $0\to \mathbf {Z} \mathrel {\stackrel {2}{\to }} \mathbf {Z} \to \mathbf {Z} / 2\till 0$ (där den första kartan är multiplikation med 2) delas inte exakt.

Besläktade föreställningar

Rena exakta sekvenser kan karakteriseras som de filtrerade kogränserna för delade exakta sekvenser.

Källor

•   Fuchs, László (2015), Abelian Groups , Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 9783319194226
•   Sharp, RY, Rodney (2001), Steps in Commutative Algebra, 2nd ed. , London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, ISBN 0521646235