Emanuel Lodewijk Elte

Emanuel Lodewijk Elte , född 16 mars 1881 i Amsterdam , död 9 april 1943 i Sobibór , var en holländsk matematiker . Han är känd för att ha upptäckt och klassificerat halvregelbundna polytoper i dimensionerna fyra och högre.

Eltes far Hartog Elte var rektor för en skola i Amsterdam. Emanuel Elte gifte sig med Rebecca Stork 1912 i Amsterdam, när han var lärare på en gymnasieskola i den staden. År 1943 bodde familjen i Haarlem . När den 30 januari samma år en tysk officer sköts i den staden, transporterades hundra invånare i Haarlem som vedergällning till Camp Vught , inklusive Elte och hans familj. Som judar deporterades han och hans fru vidare till Sobibór, där de mördades; hans två barn mördades i Auschwitz .

Eltes halvregelbundna polytoper av det första slaget

Hans arbete återupptäckte de ändliga halvregelbundna polytoperna av Thorold Gosset , och tillåter vidare inte bara regelbundna fasetter , utan även rekursivt tillåta en eller två halvregelbundna. Dessa räknades upp i hans bok från 1912, The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces . Han kallade dem halvregelbundna polytoper av det första slaget , vilket begränsar hans sökning till en eller två typer av regelbundna eller halvregelbundna k -ansikten. Dessa polytoper och mer återupptäcktes igen av Coxeter och döptes om som en del av en större klass av enhetliga polytoper . I processen upptäckte han alla huvudrepresentanter för den exceptionella E _n -familjen av polytoper, förutom endast 1 ₄₂ som inte tillfredsställde hans definition av semiregularity.

Sammanfattning av de halvregelbundna polytoperna av det första slaget

n	Elte notation	Vertices	Kanter	Ansikten	Celler	Fasett	Schläfli symbol	Coxeter symbol	Coxeter diagram
Polyedrar ( Arkimediska fasta ämnen )
3	tT	12	18	4p 3 +4p 6			t{3,3}
	tC	24	36	6p 8 +8p 3			t{4,3}
	till	24	36	6p 4 +8p 6			t{3,4}
	tD	60	90	20p 3 +12p 10			t{5,3}
	tI	60	90	20p 6 +12p 5			t{3,5}
	TT = O	6	12	(4+4)sid 3			r{3,3} = {3 1,1 }	011
	CO	12	24	6p 4 +8p 3			r{3,4}
	ID	30	60	20p 3 +12p 5			r{3,5}
	P q	2q	4q	2p q +qp 4			t{2,q}
	AP q	2q	4q	2p q +2qp 3			s{2,2q}
halvregelbundna 4-polytoper
4	tC 5	10	30	(10+20)sid 3	5O+5T		r{3,3,3} = {3 2,1 }	021
	tC 8	32	96	64p 3 +24p 4	8CO+16T		r{4,3,3}
	tC16 =C24 ( * )	48	96	96p 3	(16+8)O		r{3,3,4}
	tC 24	96	288	96 p 3 + 144 p 4	24 CO + 24 C		r{3,4,3}
	tC 600	720	3600	(1200 + 2400) s 3	600O + 120 I		r{3,3,5}
	tC 120	1200	3600	2400 p 3 + 720 p 5	120ID+600T		r{5,3,3}
	HM 4 = C 16 (*)	8	24	32 p 3	(8+8)T		{3,3 1,1 }	1 11
	–	30	60	20 p 3 + 20 p 6	(5 + 5) tT		2 t {3,3,3}
	–	288	576	192 s 3 + 144 s 8	(24 + 24) tC		2 t {3,4,3}
	–	20	60	40 p 3 + 30 p 4	10 T + 20 P 3		t 0,3 {3,3,3}
	–	144	576	384 p 3 + 288 p 4	48O + 192 P 3		t 0,3 {3,4,3}
	–	q 2	2 q 2	q 2 p 4 + 2 qp q	( q + q ) P q		2t{ q ,2, q }
halvregelbundna 5-polytoper
5	S 5 1	15	60	(20+60)sid 3	30T+15O	6C5 + 6tC5 _	r{3,3,3,3} = {3 3,1 }	031
	S 5 2	20	90	120p 3	30T+30O	(6+6)C 5	2r{3,3,3,3} = {3 2,2 }	022
	HM 5	16	80	160p 3	(80+40)T	16C 5 +10 C 16	{3,3 2,1 }	1 21
	Cr 5 1	40	240	(80+320)sid 3	160T+80O	32tC5 + 10C 16	r{3,3,3,4}
	Cr 5 2	80	480	(320+320)sid 3	80T+200O	32tC5 + 10C 24	2r{3,3,3,4}
halvregelbundna 6-polytoper
6	S 6 1 (*)						r{3 5 } = {3 4,1 }	041
	S 6 2 (*)						2r{3 5 } = {3 3,2 }	032
	HM 6	32	240	640p 3	(160+480)T	32S 5 +12HM 5	{3,3 3,1 }	1 31
	V 27	27	216	720p 3	1080T	72S 5 +27HM 5	{3,3,3 2,1 }	2 21
	V 72	72	720	2160p 3	2160T	(27+27)HM 6	{3,3 2,2 }	1 22
halvregelbundna 7-polytoper
7	S 7 1 (*)						r{3 6 } = {3 5,1 }	051
	S 7 2 (*)						2r{3 6 } = {3 4,2 }	042
	S 7 3 (*)						3r{3 6 } = {3 3,3 }	033
	HM 7 (*)	64	672	2240p 3	(560+2240)T	64S 6 +14HM 6	{3,3 4,1 }	1 41
	V 56	56	756	4032p 3	10080T	576S 6 +126Cr 6	{3,3,3,3 2,1 }	3 21
	V 126	126	2016	10080p 3	20160T	576S 6 +56V 27	{3,3,3 3,1 }	2 31
	V 576	576	10080	40320p 3	(30240+20160)T	126HM 6 +56V 72	{3,3 3,2 }	1 32
halvregelbundna 8-polytoper
8	S 8 1 (*)						r{3 7 } = {3 6,1 }	061
	S 8 2 (*)						2r{3 7 } = {3 5,2 }	052
	S 8 3 (*)						3r{3 7 } = {3 4,3 }	043
	HM 8 (*)	128	1792	7168p 3	(1792+8960)T	128S 7 +16HM 7	{3,3 5,1 }	1 51
	V 2160	2160	69120	483840p 3	1209600T	17280S 7 +240V 126	{3,3,3 4,1 }	2 41
	V 240	240	6720	60480p 3	241920T	17280S 7 +2160Cr 7	{3,3,3,3,3 2,1 }	4 21

(*) Lades till i denna tabell som en sekvens Elte kände igen men räknade inte upp explicit

Vanliga dimensionsfamiljer:

• S _n = n - simplex : S ₃ , S ₄ , S ₅ , S ₆ , S ₇ , S ₈ , ...
• M _n = n - kub = mät polytop: M ₃ ​​, M ₄ , M ₅ , M ₆ , M ₇ , M ₈ , ...
• HM _n = n - demikub = halvmåtts polytop: HM ₃ , HM ₄ , M ₅ , M ₆ , HM ₇ , HM ₈ , ...
• Cr _n = n - ortoplex = korspolytop: Cr ₃ , Cr ₄ , Cr ₅ , Cr ₆ , Cr ₇ , Cr ₈ , ...

Halvregelbundna polytoper av första ordningen:

• V _n = halvregelbunden polytop med n hörn

Polygoner

• P _n = regelbunden n -gon

Polyedra:

• Vanligt: ​​T , C , O , I , D
• Trunkerad: tT , tC , tO , tI , tD
• Kvasireguljär (korrigerad): CO , ID
• Kantellerad: RCO , RID
• Trunkerad kvasiregelbunden ( omnitrunkerad ): tCO , tID
• Prismatisk: P _n , AP _n

4-polytoper:

• Cn = Regelbundna 4- polytoper ₁₆ med n celler: C ₅ , C ₈ , _C , C ₂₄ , C ₁₂₀ , C ₆₀₀
• Rättad: tC ₅ , tC ₈ , tC ₁₆ , tC ₂₄ , tC ₁₂₀ , tC ₆₀₀

Se även

• Gosset–Elte figurer