Sigma-additiv set funktion

I matematik är en additiv mängdfunktion en funktion som avbildar mängder till tal, med egenskapen att dess värde på en union av två disjunkta mängder är lika med summan av dess värden på dessa mängder, nämligen ${\textstil \mu (A\kopp B)=\mu (A)+\mu (B).}$ Om denna additivitetsegenskap gäller för vilka två uppsättningar som helst, så gäller den även för vilket ändligt antal mängder som helst, nämligen funktionsvärdet på unionen av k disjunkta mängder (där k är ett ändligt tal) är lika med summan av dess värden på mängderna . Därför kallas en additiv mängdfunktion också en finit-additiv mängdfunktion (termerna är ekvivalenta). En finitely-additive set-funktion kanske inte har additivitetsegenskapen för en union av ett oändligt antal uppsättningar. En σ-additiv set-funktion är en funktion som har additivitetsegenskapen även för räkningsbart oändligt många mängder, det vill säga ${\textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty}A_{n}\right)=\summa _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}) .}$

Additivitet och sigma-additivitet är särskilt viktiga egenskaper hos åtgärder . De är abstraktioner av hur intuitiva egenskaper av storlek ( längd , area , volym ) av en fast summa när man överväger flera objekt. Additivitet är ett svagare tillstånd än σ-additivitet; det vill säga, σ-additivitet innebär additivitet.

Termen moduluppsättningsfunktion är ekvivalent med additiv uppsättningsfunktion; se modularitet nedan.

Additiv (eller ändligt additiv) inställda funktioner

Låt $\mu$ vara en mängdfunktion definierad på en algebra av mängder $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ med värden i $[-\infty ,\ infty ]$ (se den utökade reella tallinjen ). Funktionen $\mu$ kallas additiv eller finitely additiv , om närhelst $A$ och $B$ är disjunkta uppsättningar i $\scriptstyle {\mathcal {A}},$ sedan

$$\mu (A\kopp B)=\mu (A)+\mu (B).$$

En konsekvens av detta är att en additiv funktion inte kan ta både $-\infty$ och $+\infty$ som värden, för uttrycket $\infty -\infty$ är odefinierad.

Man kan bevisa genom matematisk induktion att en additiv funktion uppfyller

$$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\ summa _{n=1}^{N}\mu \left(A_{n}\right)$$

för alla $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}$ disjunta uppsättningar i ${\textstyle {\mathcal {A}}.}$

σ-additiv set funktioner

Antag att $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ är en σ-algebra . Om för varje sekvens $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots$ av parvis disjunkta uppsättningar i $\scriptstyle {\mathcal {A}},$

$$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right) =\summa _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}),$$

håller så sägs $\mu$ vara countably additiv eller 𝜎-additiv . Varje 𝜎-additiv funktion är additiv men inte vice versa, som visas nedan.

τ-additiv set funktioner

Antag att vi förutom en sigmaalgebra ${\textstyle {\mathcal {A}},}$ har en topologi $\tau .$ Om för varje riktad familj av mätbara öppna uppsättningar ${\textstyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}\cap \tau ,}$

$$\mu \left(\bigcup {\mathcal {G}}\right)=\sup _{G\in {\mathcal {G}} }\mugg),$$

vi säger att $\mu$ är $\tau$ -additiv. I synnerhet om $\mu$ är inre regelbunden (med avseende på kompakta mängder) så är den τ-additiv.

Egenskaper

Användbara egenskaper för en additiv uppsättningsfunktion $\mu$ inkluderar följande.

Värdet på den tomma uppsättningen

Antingen $\mu (\varnothing )=0,$ eller $\mu$ tilldelar $\infty$ till alla uppsättningar i dess domän, eller $\mu$ tilldelar $-\infty$ till alla uppsättningar i dess domän. Bevis : additivitet innebär att för varje uppsättning $A,$${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cup \varnothing )=\mu (A)+\mu (\varnothing).} Om μ ( ∅ ) ≠ , {\$ displaystyle $\ neq 0,}$ då kan denna likhet endast uppfyllas med plus eller minus oändlighet.

Monotonicitet

Om $\mu$ är icke-negativ och $A\subseteq B$ så är $\mu (A)\leq \mu (B).$ Det vill säga $\mu$ är en monoton uppsättningsfunktion . På liknande sätt, om $\mu$ är icke-positiv och $A\subseteq B$ så $\mu (A)\geq \mu (B).$

Modularitet

Se även: Värdering (geometri)

En setfunktion $\mu$ på en familj av mängder ${\mathcal {S}}$ kallas en modulär setfunktion och en värdering om närhelst $A,$${\ displaystyle B,}$$A\cup B,$ och $A\cap B$ är element i ${\mathcal {S}},$ sedan

$$\phi (A\cup B)+\phi (A\cap B)=\phi (A)+ \phi (B)$$

Ovanstående egenskap kallas modularitet och argumentet nedan bevisar att modularitet är ekvivalent med additivitet.

Givet $A$ och $B,$${\displaystyle \mu (A\kopp B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).} Bevis$ : skriv $A=(A\cap B)\cup (A\setminus B)$ och $B=(A\cap B)\cup ( B\setminus A)$ och $A\cup B=(A\cap B)\cup (A\setminus B)\cup (B\setminus A),$ där alla uppsättningar i unionen är disjunkta. Additivitet innebär att båda sidor av likheten är lika med $\mu (A\setminus B)+\mu (B\setminus A)+2\mu (A\cap B).$

Emellertid är de relaterade egenskaperna för submodularitet och subadditivitet inte likvärdiga med varandra.

Observera att modularitet har en annan och orelaterade betydelse i sammanhanget av komplexa funktioner; se modulform .

Ställ in skillnaden

Om $A\subseteq B$ och $\mu (B)-\mu (A)$ definieras, så är $\mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).$

Exempel

Ett exempel på en 𝜎-additiv funktion är funktionen $\mu$ definierad över potensmängden för de reella talen , så att

$$\mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}$$

Om $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots$ är en sekvens av disjunkta uppsättningar av reella tal, då antingen ingen av uppsättningarna innehåller 0, eller exakt en av dem gör det. I båda fallen, jämställdheten

$$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)= \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$$

håller.

Se mått och signerat mått för fler exempel på 𝜎-tillsatsfunktioner.

En laddning definieras som en finit additiv uppsättningsfunktion som mappar $\varnothing$ till $0.$ (Jfr ba utrymme för information om gränsade laddningar, där vi säger att en laddning är begränsad till att betyda dess intervall är en begränsad delmängd av R .)

En additiv funktion som inte är σ-additiv

Ett exempel på en additiv funktion som inte är σ-additiv erhålls genom att betrakta ${\displaystyle \mu } ,$ definierad över Lebesgue-mängderna av de reella talen $\mathbb {R}$ av formeln

$$\mu (A)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k} }\cdot \lambda (A\cap (0,k)),$$

där $\lambda$ betecknar Lebesgue-måttet och $\lim$ Banach -gränsen . Den uppfyller $0\leq \mu (A)\leq 1$ och om $\sup A<\infty$ så är ${\ displaystil \mu (A)=0.}$

Man kan kontrollera att denna funktion är additiv genom att använda gränsens linjäritet. Att denna funktion inte är σ-additiv följer av att beakta sekvensen av disjunkta uppsättningar

$$A_{n}=[n,n+1)$$

för $n=0,1,2,\ldots$ Unionen av dessa mängder är de positiva realerna och $\mu$ applicerad på unionen är då en, medan $\mu$ tillämpad på någon av de individuella mängderna är noll, så summan av $\mu (A_{n})$ är också noll, vilket bevisar motexemplet.

Generaliseringar

Man kan definiera additiva funktioner med värden i vilken additiv monoid som helst (till exempel vilken grupp som helst eller mer vanligt ett vektorrum ). För sigma-additivitet behöver man dessutom att begreppet limit för en sekvens definieras på den uppsättningen. Till exempel spektralmått sigma-additiva funktioner med värden i en Banach-algebra . Ett annat exempel, också från kvantmekaniken, är det positiva operatörsvärderade måttet .

Se även

• Additiv karta – Z-modul homomorfism
• Hahn–Kolmogorovs sats – Sats som utökar förmått till åtgärder Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Mått (matematik) – Generalisering av massa, längd, area och volym
• σ-ändligt mått – matematiskt mått Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Signerat mått – Generaliserat begrepp om mått i matematik
• Submodulär uppsättningsfunktion – Set-to-real-karta med minskande avkastning
• Subadditiv set funktion
• τ-additivitet
• ba space – Uppsättningen av begränsade laddningar på en given sigma-algebra

Den här artikeln innehåller material från additiv på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .