Vinstgivande heltal

I matematik är ett profinit heltal ett element i ringen (som ibland uttalas som zee-hat eller zed-hat)

{\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\prod _{p }\mathbb {Z} _{p}

var

\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}

indikerar den profinita slutförandet av $\mathbb {Z}$ , indexet $p$ löper över alla primtal och $\mathbb {Z} _{p}$ är ringen av p -adiska heltal . Denna grupp är viktig på grund av dess förhållande till Galois teori , étale homotopy teori och ringen av adeles . Dessutom ger det ett grundläggande trakterbart exempel på en profinistisk grupp .

Konstruktion

De profinita heltal ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ kan konstrueras som uppsättningen av sekvenser $\upsilon$ av rester representerade som

\upsilon =(\upsilon _{1}{\bmod {1}},~\upsilon _{2}{\ bmod {2}},~\upsilon _{3}{\bmod {3}},~\ldots )

sådan att $m\ |\ n\implies \upsilon _{m}\equiv \upsilon _{n}{\bmod {m}}$ .

Punktvis addition och multiplikation gör det till en kommutativ ring.

Ringen av heltal bäddas in i ringen av profinita heltal genom den kanoniska injektionen:

\eta :\mathbb {Z} \hookrightarrow {\widehat {\mathbb {Z} }}

där

n\mapsto (n{\bmod {1}},n{\bmod {2}},\dots ).

Det är kanoniskt eftersom det uppfyller den universella egenskapen hos profinita grupper att, givet alla profinita grupper $H$ och eventuell grupphomomorfism ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow H} ,$ finns det en unik kontinuerlig grupphomomorfism $g:{\widehat {\mathbb {Z} }}\rightarrow H$ med $f=g\eta$ .

Använder faktoriellt nummersystem

Varje heltal $n\geq 0$ har en unik representation i faktorialsystemet som

n=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}i!\qquad {\text{med }}c_{i}\in \mathbb {Z}

där $0\leq c_{i}\leq i$ för varje $i$ , och endast ändligt många av $c_{1 },c_{2},c_{3},\ldots$ är inte noll.

Dess faktortalsrepresentation kan skrivas som $(\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}$ .

${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}} ,$ heltal representeras unikt i faktortalssystemet som en oändlig sträng ( där varje $c_{i}$ är ett heltal som uppfyller $0 \leq c_{i}\leq i$ .

Siffrorna $c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ,c_{k-1}$ bestämmer värdet på profinite heltals mod $k!$ . Mer specifikt finns det en ringhomomorfism ${\widehat {\mathbb {Z} }}\to \mathbb {Z} /k!\,\mathbb {Z}$ skickar

(\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}\mapsto \sum _{i=1}^{k-1}c_{i}i!\mod k!

Skillnaden mellan ett profinit heltal och ett heltal är att villkoret "ändligt många icke-nollsiffror" försvinner, vilket gör att dess representation av fakultettal kan ha oändligt många icke-nollsiffror.

Använder den kinesiska restsatsen

Ett annat sätt att förstå konstruktionen av de profinita heltal är att använda den kinesiska restsatsen . Kom ihåg att för ett heltal $n$ med primtalsfaktorisering

n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}

av icke-repeterande primtal finns en ringisomorfism

\mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{a_{k}}

från satsen. Dessutom, eventuella operationer

\mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m

kommer bara att vara en karta över de underliggande nedbrytningarna där det finns inducerade operationer

\mathbb {Z} /p_{i}^{a_{i}}\to \mathbb {Z} /p_{i}^{b_{i }}

eftersom vi måste ha $a_{i}\geq b_{i}$ . Det borde vara mycket tydligare att under den omvända gränsdefinitionen av de profinita heltal, har vi isomorfismen

{\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}

med den direkta produkten av p -adiska heltal.

Explicit är isomorfismen $\phi :\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}\to {\widehat {\mathbb {Z} }}$ av

\phi ((n_{2},n_{3},n_{5},\cdots ) )(k)=\prod _{q}n_{q}\mod k

där

q

sträcker sig över alla primtalsfaktorer

p_{i}^{d_{i}}

av

k

, det vill säga

k=\prod _{i=1}^{l}p_{i}^{d_{i}}

för några olika primtal

p_{1},...,p_{l}

.

Relationer

Topologiska egenskaper

Mängden profinita heltal har en inducerad topologi där det är ett kompakt Hausdorff-rum , som kommer från det faktum att det kan ses som en sluten delmängd av den oändliga direkta produkten

${\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$

som är kompakt med sin produkttopologi enligt Tychonoffs teorem . Notera topologin på varje ändlig grupp $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ges som den diskreta topologin .

Topologin på ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ kan definieras av måtten,

d(x,y)={\frac {1}{\min\{k\in \mathbb {Z} _{>0}:x\not \equiv y{\bmod {(k+1 )!}}\}}}

Eftersom addition av profinita heltal är kontinuerlig, är ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ en kompakt Hausdorff abelsk grupp, och därför måste dess Pontryagin-dual vara en diskret abelsk grupp.

Faktum är att Pontryagin-dualen av ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ är den abelska gruppen $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ utrustad med den diskreta topologi (observera att det inte är delmängden topologi som ärvts från ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } ,$ som inte är diskret). Pontryagin-dualen är uttryckligen konstruerad av funktionen

$\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times {\widehat {\mathbb {Z} }} \to U(1),\,(q,a)\mapsto \chi (qa)$

där $\chi$ är karaktären av adele (introducerad nedan) $\mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}$ inducerad av $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to U(1),\,\alpha \mapsto e^{2\pi i\alpha }$ .

Relation med adeles

Tensorprodukten ${\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ är ringen av finita adeles

$\mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}={\prod _{p}}'\mathbb {Q} _{p}$

av $\mathbb {Q}$ där symbolen $'$ betyder begränsad produkt . Det vill säga, ett element är en sekvens som är integral utom på ett ändligt antal platser. Det finns en isomorfism

$\mathbf {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {R} \times ({\hat {\mathbb {Z} }}\ ibland _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )$

Tillämpningar i Galois teori och Etale homotopi teori

För den algebraiska stängningen ${\overline {\mathbf {F} }}_{q}$ av ett ändligt fält $\mathbf {F} _{q}$ av ordningen q , Galois-gruppen kan beräknas explicit. Från faktumet ${\text{Gal}}(\mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q })\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ där automorfismerna ges av Frobenius-endomorfismen , Galois-gruppen för den algebraiska stängningen av $\mathbf {F} _{q}$ ges av den omvända gränsen för grupperna ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } ,$ så dess Galois-grupp är isomorf till gruppen av profinita heltal

$\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} }}_{q}/\mathbf {F} _{q})\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}$

vilket ger en beräkning av den absoluta Galois-gruppen för ett ändligt fält.

Relation med Etale grundläggande grupper av algebraiska tori

Denna konstruktion kan omtolkas på många sätt. En av dem är från Etales homotopi-teorin som definierar Etales fundamentala grupp $\pi _{1}^{et}(X)$ som den profinita fullbordandet av automorfismer

$\pi _{1}^{et}(X)=\lim _{i\in I}{\text{Aut }}(X_{i}/X)$

där $X_{i}\to X$ är ett Etale-omslag . Sedan är de profinita heltal isomorfa för gruppen

$\pi _{1}^{et}({\text{Spec}}(\mathbf {F} _{q}))\cong { \hat {\mathbb {Z} }}$

från den tidigare beräkningen av den profinita Galois-gruppen. Dessutom finns det en inbäddning av de profinita heltal i Etale-grundgruppen i den algebraiska torusen

${\hat {\mathbb {Z} }}\hookrightarrow \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m})$

eftersom de täckande kartorna kommer från polynomkartorna

$(\cdot )^{n}:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}$

från kartan över kommutativa ringar

$f:\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} [x,x ^{-1}]$ skickar $x\mapsto x^{n}$

eftersom $\mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1} ])$ . Om den algebraiska torusen betraktas över ett fält $k$ , då Etales fundamentala grupp $\pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m}/{\text{Spec(k)}})$ innehåller en åtgärd av ${\text{Gal}}({\overline {k}}/ k)$ också från den fundamentala exakta sekvensen i etale-homotopi-teorin.

Klassfältteori och profinita heltal

Klassfältteori är en gren av algebraisk talteori som studerar de abeliska fältförlängningarna av ett fält. Givet det globala fältet $\displaystyle \mathbb {Q} }$ { , abelianiseringen av dess absoluta Galois-grupp

${\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}$

är intimt relaterad till den associerade ringen av adeles $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ och gruppen av profinita heltal. I synnerhet finns det en karta som kallas Artin-kartan

$\Psi _{\mathbb {Q} }:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\to {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}$

vilket är en isomorfism. Denna kvot kan uttryckligen bestämmas som

${\begin{aligned}\mathbb {A} _ {\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }&\cong (\mathbb {R} \times {\hat {\mathbb {Z}}})/\mathbb { Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb {Z} )\\&={\underset {x\mapsto x ^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\hat {\mathbb {Z} }}\end{aligned}}$

ger den önskade relationen. Det finns ett analogt påstående för lokal klassfältteori eftersom varje finit abelsk förlängning av $K/\mathbb {Q} _{p}$ induceras från en finit fältförlängning ${\ displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}}$ .

Se även

Anteckningar

Connes, Alain; Consani, Caterina (2015). "Geometri för den aritmetiska platsen". arXiv : 1502.05580 [ math.AG ].
Milne, JS (2013-03-23). "Klassfältteori" (PDF) . Arkiverad från originalet (PDF) 2013-06-19 . Hämtad 2020-06-07 .

externa länkar