Keldysh formalism

I icke-jämviktsfysik är Keldysh- formalismen ett allmänt ramverk för att beskriva den kvantmekaniska utvecklingen av ett system i ett icke-jämviktstillstånd eller system som är föremål för tidsvarierande yttre fält ( elektriskt fält , magnetfält etc.). Historiskt sett förebådades den av Julian Schwinger's arbete och föreslogs nästan samtidigt av Leonid Keldysh och, separat, Leo Kadanoff och Gordon Baym . Det utvecklades vidare av senare bidragsgivare som OV Konstantinov och VI Perel.

Utvidgningar till drivna dissipativa öppna kvantsystem ges inte bara för bosoniska system, utan också för fermioniska system.

Keldysh-formalismen ger ett systematiskt sätt att studera icke-jämviktssystem, vanligtvis baserat på de tvåpunktsfunktioner som motsvarar excitationer i systemet. Det huvudsakliga matematiska objektet i Keldysh-formalismen är icke-jämvikten Green's function (NEGF), som är en tvåpunktsfunktion av partikelfält. På så sätt liknar den Matsubara-formalismen , som är baserad på jämvikt Gröna funktioner i imaginär tid och endast behandlar jämviktssystem.

Tidsutveckling av ett kvantsystem

Tänk på ett allmänt kvantmekaniskt system. Detta system har Hamiltonian $H_{0}$ . Låt systemets initiala tillstånd vara det rena tillståndet $|n\rangle$ . Om vi ​​nu lägger till en tidsberoende störning till denna Hamiltonian, säg $H( t)=H_{0}+H'(t)$$\displaystyle H'(t)}$ , är hela Hamiltonian och därför kommer systemet att utvecklas med tiden under hela Hamiltonian. I det här avsnittet kommer vi att se hur tidsevolutionen faktiskt fungerar inom kvantmekaniken.

Betrakta en hermitisk operator ${\mathcal {O}}$ . I Heisenbergs bild av kvantmekanik är denna operatör tidsberoende och tillståndet inte. Förväntningsvärdet för operatorn ${\mathcal {O}}(t)$ ges av

${\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{U}^{\dolk }(t,0)\,{\mathcal { O}}(0)\,U(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}$

där, på grund av tidsutvecklingen av operatorer i Heisenberg-bilden, ${\mathcal {O}}(t)=U^{\ dolk }(t,0){\mathcal {O}}(0)U(t,0)$ . Tidsutvecklingens enhetsoperator $U(t_{2},t_{1})$ är den tidsordnade exponentialen för en integral, $U(t_{2},t_{1})=T(e^{-i\int _{t_{1}}^{t_{2}}H(t')dt'}).$ (Observera att om Hamiltonian vid ett tillfälle pendlar med Hamiltonian vid olika tidpunkter, så kan detta förenklas till ${\ displaystil U(t_{2},t_{1})=e^{-i\int _{t_{1}}^{t_{2}}H(t')dt'}} .$ )

För störande kvantmekanik och kvantfältteori är det ofta mer praktiskt att använda interaktionsbilden . Interaktionsbildsoperatören är

${\begin{aligned}{\mathcal {O_{I}}}(t)&={U_{0} }^{\dolk }(t,0)\,{\mathcal {O}}(0)\,U_{0}(t,0),\end{aligned}}$

där $U_{0}(t_{1},t_{2})=e^{-iH_{0}(t_ {1}-t_{2})}$ . Sedan definierar du $S(t_{1},t_{2})=U_{0} ^{\dolk }(t_{1},t_{2})U(t_{1},t_{2}),$ vi har

${\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{S}^{\dolk }(t,0){\mathcal {O_{ I}}}(t)S(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}$

Eftersom tidsevolutionens enhetsoperatorer uppfyller ${\displaystyle U(t_{3},t_{2})U( t_{2},t_{1})=U(t_{3},t_{1})} ,$ uttrycket ovan kan skrivas om som

${\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{S}^{\dolk }(\infty ,0)S(\infty , t){\mathcal {O_{I}}}(t)\,S(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}$ ,

eller med $\infty$ ersatt av ett tidsvärde som är större än $t$ .

Banordning på Keldysh-konturen

Vi kan skriva uttrycket ovan mer kortfattat genom att, rent formellt, ersätta varje operator $X(t)$ med en konturordnad operator $X(c)$ , så att $c$ parametriserar konturbanan på tidsaxeln med start vid $t=0$ , fortsätter till $t=\infty$ , och återgår sedan till $t= 0$ . Denna väg är känd som Keldysh-konturen. $X(c)$ har samma operatoråtgärd som $X(t)$ (där $t$ är det tidsvärde som motsvarar $c$ ) men har också tilläggsinformationen för $c$ (det vill säga strängt taget $X(c_{1})\neq X(c_{2})$ if $c_{1}\neq c_{2}$ , även om för motsvarande tider $X(t_{1})= X(t_{2})$ ).

Sedan kan vi introducera notation av banordning på denna kontur, genom att definiera ${\displaystyle {\mathcal {T_ {c}}}(X^{(1)}(c_{1})X^{(2)}(c_{2})\ldots X^{(n)}(c_{n}))=( \pm 1)^{\sigma }X^{(\sigma (1))}(c_{\sigma (1)})X^{(\sigma (2))}(c_{\sigma (2)} )\ldots X^{(\sigma (n))}(c_{\sigma (n)})} , där$ σ $\displaystyle \sigma }$ är en permutation så att ${\displaystyle c_{\sigma (1)}<c_{\sigma (2)}<\ldots c_{\sigma (n)}} , och plus-$ och minustecken är för bosonisk och fermioniska operatörer. Observera att detta är en generalisering av tidsordning .

Med denna notation skrivs ovanstående tidsutveckling som

${\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{\mathcal {T_{c}}}({\mathcal {O(c) }}e^{-i\int dc'H'(c')})|n\rangle \end{aligned}}$

Där $c$ motsvarar tiden $t$ på den främre grenen av Keldysh-konturen, och integralen över $c'$ går över hela Keldysh-konturen. För resten av den här artikeln, som är vanligt, använder vi vanligtvis notationen $X(t)$ för $X(c)$ där $t$ är tiden som motsvarar $c$ , och huruvida $c$ är på framåt- eller bakåtgrenen härleds från sammanhanget.

Keldysh diagrammatisk teknik för Greens funktioner

Icke-jämvikten Greens funktion definieras som ${\begin{aligned}iG(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|T\psi (x_{1},t_{1 })\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle \end{aligned}}$ .

Eller, i interaktionsbilden, ${\begin{aligned}iG(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {T_{c}}}(e ^{-i\int _{c}H'(t')dt'}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2}))|n\rangle \end{aligned}}$ . Vi kan expandera exponentialen som en Taylor-serie för att erhålla störningsserien

$\sum _{j=0}^{\infty }\langle n|{\mathcal {T_{c}}}((-i\int _{t}(H'(t',+)+ H'(t',-))dt')^{j}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2}))|n\rangle /j!$ .

Detta är samma procedur som i jämviktsdiagrammatisk störningsteori, men med den viktiga skillnaden att både framåt- och bakåtkonturgrenar ingår.

Om, som ofta är fallet, $H'$ är ett polynom eller serie som en funktion av de elementära fälten $\psi$ , kan vi organisera denna störningsserie i monomiala termer och tillämpa alla möjliga Wick parningar till fälten i varje monomial, erhåller en summering av Feynman-diagram . Kanterna på Feynman-diagrammet motsvarar dock olika propagatorer beroende på om de parade operatorerna kommer från framåt- eller bakåtgrenarna. Nämligen,

$\langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},+)\psi (x_{2},t_{2},+)| n\rangle \equiv G_{0}^{++}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {T}}\psi ( x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle$

$\langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},+)\psi (x_{2},t_{2},-)| n\rangle \equiv G_{0}^{+-}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|\psi (x_{1},t_{ 1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle$

$\langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},-)\psi (x_{2},t_{2},+)| n\rangle \equiv G_{0}^{-+}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\pm \langle n|\psi (x_{2}, t_{2})\psi (x_{1},t_{1})|n\rangle$

$\langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},-)\psi (x_{2},t_{2},-)| n\rangle \equiv G_{0}^{--}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {\overline {T}} }\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle$

där anti-tidsordning ${\mathcal {\overline {T}}}$ ordnar operatorer på motsatt sätt som tidsordning och $\pm$ -tecknet $G_ {0}^{-+}$ är för bosoniska eller fermioniska fält. Observera att $G_{0}^{--}$ är propagatorn som används i vanlig grundtillståndsteori.

Således kan Feynman-diagram för korrelationsfunktioner ritas och deras värden beräknas på samma sätt som i grundtillståndsteorin, förutom med följande modifieringar av Feynman-reglerna: Varje inre hörn av diagrammet är märkt med antingen + {\displaystyle $}$ eller $-$ , medan externa hörn är märkta med $-$ . Därefter riktas varje (ej omnormaliserad) kant från en vertex $a$ (med position ${\displaystyle x_{a}} ,$ tid $t_{a}$ och tecken $s_{ a}$ ) till en vertex $b$ (med position $x_{b}$ , tid $t_{b}$ och tecken $s_{b}$ ) motsvarar propagatorn $G_{0}^{s_{a}s_{b}}(x_{a},t_{a },x_{b},t_{b})$ . Sedan läggs diagramvärdena för varje val av $\pm$ tecken (det finns $2^{v}$ sådana val, där $v$ är antalet interna hörn) alla till. upp för att hitta det totala värdet av diagrammet.

Se även

• Spin Hall-effekt
• Kondo effekt

Övrig

1. Лифшиц, Евгений Михайлович; Питаевский, Лев Петрович (1979). "Физическая кинетика". Наука, Глав. ред. физико-математической лит-ры . 10 .
2. Jauho, AP (5 oktober 2006). "Introduktion till Keldysh Nonequilibrium Green Function Technique" (PDF) . nanoHUB . Hämtad 18 juni 2018 .
3. Lake, Roger (13 januari 2018). "Tillämpning av Keldysh-formalismen på kvantenhetsmodellering och analys" ( PDF) . nanoHUB . Hämtad 18 juni 2018 .
4. Kamenev, Alex (11 december 2004). "Mångkroppsteori om icke-jämviktssystem". arXiv : cond-mat/0412296 .
5.   Kita, Takafumi (2010). "Introduktion till statistisk mekanik utan jämvikt med kvantfält". Framsteg inom teoretisk fysik . 123 (4): 581–658. arXiv : 1005.0393 . Bibcode : 2010PThPh.123..581K . doi : 10.1143/PTP.123.581 . S2CID 119165404 .
6.    Ryndyk, DA; Gutiérrez, R.; Song, B.; Cuniberti, G. (2009). "Gröna funktionstekniker vid behandling av kvanttransport i molekylär skala". Energiöverföringsdynamik i biomaterialsystem . Springer-serien i kemisk fysik. Vol. 93. Springer Verlag. s. 213–335. arXiv : 0805.0628 . Bibcode : 2009SSCP...93..213R . doi : 10.1007/978-3-642-02306-4_9 . ISBN 9783642023057 . S2CID 118343568 .
7.   Gen, Tatara; Kohno, Hiroshi; Shibata, Junya (2008). "Mikroskopisk inställning till strömdriven domänväggsdynamik". Fysiska rapporter . 468 (6): 213–301. arXiv : 0807.2894 . Bibcode : 2008PhR...468..213T . doi : 10.1016/j.physrep.2008.07.003 . S2CID 119257806 .
8. Gianluca Stefanucci och Robert van Leeuwen (2013). "Nonequilibrium Many-Body Theory of Quantum Systems: A Modern Introduction" (Cambridge University Press, 2013). DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9781139023979
9. Robert van Leeuwen, Nils Erik Dahlen, Gianluca Stefanucci, Carl-Olof Almbladh och Ulf von Barth, "Introduction to the Keldysh Formalism", Lectures Notes in Physics 706 , 33 ( 2006 ). arXiv:cond-mat/0506130