Rotationsoperatör (kvantmekanik)

För annan användning, se Rotationsoperatör (disambiguation) .

Den här artikeln handlar om rotationsoperatorn , som den förekommer inom kvantmekaniken .

Kvantmekaniska rotationer

Med varje fysisk rotation $R$ postulerar vi en kvantmekanisk rotationsoperator $D(R)$ som roterar kvantmekaniska tillstånd.

$$|\alpha \rangle _{R}=D(R)|\alpha \rangle$$

När det gäller rotationsgeneratorerna,

$$D(\mathbf {\hat {n}} ,\phi )=\exp \left(-i\phi { \frac {\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {J} }{\hbar }}\right),$$

där $\mathbf {\hat {n}}$ är rotationsaxel, $\mathbf {J}$ är rörelsemängd , och $\hbar$ är den reducerade Planck-konstanten .

Översättningsoperatören

Huvudartikel: Översättningsoperatör (kvantmekanik)

Rotationsoperatorn $\operatorname {R} (z,\theta )$ , med det första argumentet $z}$ displaystyle som anger rotationsaxeln och det andra $theta }$ \ rotationsvinkeln, kan arbeta genom translationsoperatorn $\operatorname {T} (a)$ för oändliga rotationer som förklaras nedan. Det är därför det först visas hur translationsoperatorn verkar på en partikel vid position x (partikeln är då i tillståndet | x $displaystyle |x\rangle }$ enligt Quantum Mechanics ).

Translation av partikeln i position $x$ till position $x+a$ : $\operatörsnamn {T} (a)|x\rangle =|x+a\rangle$

Eftersom en översättning av 0 inte ändrar partikelns position, har vi (med 1 som betyder identitetsoperatorn , som inte gör något):

$$\operatörsnamn {T} (0)=1$$

$$\operatörsnamn {T} (a)\operatörsnamn {T} (da)|x\rangle =\operatörsnamn { T} (a)|x+da\rangle =|x+a+da\rangle =\operatörsnamn {T} (a+da)|x\rangle \Högerpil \operatörsnamn {T} (a)\operatörsnamn {T} (da)=\operatörsnamn {T} (a+da)$$

Taylors utveckling ger:

$$\operatörsnamn {T} (da)=\operatörsnamn {T} ( 0)+{\frac {d\operatörsnamn {T} (0)}{da}}da+\cdots =1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da$$

med

$$p_{x}=i\hbar {\frac {d\operatörsnamn {T} (0)}{da}}$$

Av det följer:

$$\operatörsnamn {T} (a+da)=\operatörsnamn {T} (a)\operatörsnamn {T} (da)= \operatörsnamn {T} (a)\left(1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da\right)\Högerpil {\frac {\operatörsnamn {T} (a+da)-\ operatörsnamn {T} (a)}{da}}={\frac {d\operatörsnamn {T} }{da}}=-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}\operatörsnamn {T} (a)$$

Detta är en differentialekvation med lösningen

$$\operatorname {T} (a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}a\right).$$

Anta dessutom att en Hamiltonian $H$ är oberoende av $x$ -positionen. Eftersom översättningsoperatorn kan skrivas i termer av $p_{x}$ och $[p_{x},H]=0$ , vet vi att $[H,\operatörsnamn {T} (a)]=0.$ Detta resultat betyder att linjärt momentum för systemet bevaras.

I förhållande till omloppsrörelsens rörelsemängd

Ytterligare information: Bloch sfär § Rotationer

Klassiskt har vi för rörelsemängden ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .} Detta$ är samma sak inom kvantmekaniken med tanke på $\mathbf {r}$ och $\mathbf {p }$ som operatorer. Klassiskt, en oändlig rotation $dt$ av vektorn $\mathbf {r} =(x,y,z)$ om $z$ - axel till $\mathbf {r} '=(x',y',z)$ som lämnar $z$ oförändrad kan uttryckas med följande infinitesimala översättningar (med Taylor approximation ):

$${\begin{aligned}x '&=r\cos(t+dt)=xy\,dt+\cdots \\y'&=r\sin(t+dt)=y+x\,dt+\cdots \end{aligned}}$$

Av det följer för stater:

$$\operatörsnamn {R} (z,dt)|r\rangle =\operatörsnamn {R} (z,dt)|x,y,z\rangle =|xy\,dt,y+x\, dt,z\rangle =\operatörsnamn {T} _{x}(-y\,dt)\operatörsnamn {T} _{y}(x\,dt)|x,y,z\rangle =\operatörsnamn {T } _{x}(-y\,dt)\operatörsnamn {T} _{y}(x\,dt)|r\rangle$$

Och följaktligen:

$$\operatörsnamn {R} (z,dt)=\operatörsnamn {T} _{x}( -y\,dt)\operatörsnamn {T} _{y}(x\,dt)$$

Använder sig av

$$T_{k}(a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{k}a\ höger)$$

från ovan med $k=x,y$ och Taylor-expansion får vi:

$$\operatorname {R} (z,dt)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(xp_{y}-yp_{x}\right)dt\right] =\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt\right)=1-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt+\cdots$$

med $displaystyle L_{z}=xp_{y}-yp_{x}}$$z$ z -komponenten av rörelsemängden enligt den klassiska korsprodukten .

För att få en rotation för vinkeln $t$ konstruerar vi följande differentialekvation med villkoret $\operatorname {R} (z,0)=1$ :

$${\begin{aligned}&\operatörsnamn {R} (z,t+dt)=\operatörsnamn {R} (z,t)\operatörsnamn {R} (z,dt)\\[ 1.1ex]\Högerpil {}&{\frac {d\operatörsnamn {R} }{dt}}={\frac {\operatörsnamn {R} (z,t+dt)-\operatörsnamn {R} (z,t )}{dt}}=\operatörsnamn {R} (z,t){\frac {\operatörsnamn {R} (z,dt)-1}{dt}}=-{\frac {i}{\hbar } }L_{z}\operatörsnamn {R} (z,t)\\[1.1ex]\Högerpil {}&\operatörsnamn {R} (z,t)=\exp \left(-{\frac {i}{ \hbar }}\,t\,L_{z}\right)\end{aligned}}$$

I likhet med translationsoperatorn, om vi får en Hamiltonsk $H$ som är rotationssymmetrisk kring $z$ -axeln, $[L_{z},H] =0$ innebär $[\operatörsnamn {R} (z,t),H]=0$ . Detta resultat betyder att rörelsemängden bevaras.

För snurrvinkelmomentet kring till exempel $y$ -axeln ersätter vi bara $L_{z}$ med ${\textstyle S_{y}={\frac { \hbar }{2}}\sigma _{y}}$ ( där $\sigma _{y}$ är Pauli Y-matrisen ) och vi får spinrotationsoperatorn

$$\operatorname {D} (y,t)=\exp \left(-i{\frac {t}{2}}\sigma _{y}\right).$$

Effekt på spinnoperatorn och kvanttillstånd

Huvudartikel: Spin (fysik) § Rotationer

Se även: Rotationsgrupp SO(3) § En notering om Lie-algebra och Ändring av grund § Endomorfismer

Operatörer kan representeras av matriser . Från linjär algebra vet man att en viss matris $A$ kan representeras i en annan bas genom transformationen

$$A'=PAP^{-1}$$

där $P$ är bastransformationsmatrisen. Om vektorerna $b$ respektive $c$ är z-axeln i en bas respektive en annan, är de vinkelräta mot y-axeln med en viss vinkel $t$ mellan dem. Spinoperatorn $S_{b}$ i den första basen kan sedan transformeras till spinoperatorn $S_{c}$ för den andra basen genom följande transformation:

$$S_{c}=\operatörsnamn {D} (y,t)S_{b}\operatörsnamn {D} ^{ -1}(y,t)$$

Från standard kvantmekanik har vi de kända resultaten ${\textstil S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ och ${\textstil S_{c}|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle }$ där $|b+\rangle$ och $|c+\rangle$ är toppsnurren i deras motsvarande baser. Så vi har:

$${\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle =S_{c}|c+\rangle =\operatörsnamn {D} (y,t)S_{b}\operatörsnamn {D } ^{-1}(y,t)|c+\rangle \Rightarrow$$

$$S_{b}\operatörsnamn {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\operatörsnamn {D} ^{-1 }(y,t)|c+\rangle$$

Jämförelse med ${\textstil S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ ger $|b+\rangle =D^{-1}(y,t)|c+\rangle$ .

Detta innebär att om staten $|c+\rangle$ roteras runt $y$ -axeln med en vinkel $t$ , det blir tillståndet $|b+\rangle$ , ett resultat som kan generaliseras till godtyckliga axlar.

Se även

• Symmetri i kvantmekanik
• Sfärisk grund
• Optiskt fasutrymme

• LD Landau och EM Lifshitz: Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory , Pergamon Press, 1985
• PAM Dirac: The Principles of Quantum Mechanics , Oxford University Press, 1958
• RP Feynman, RB Leighton och M. Sands: The Feynman Lectures on Physics , Addison-Wesley, 1965