Antisymmetrisk operator

Inom kvantmekaniken är en höjnings- eller sänkningsoperator (kollektivt känd som stegoperatorer ) en operator som ökar eller minskar egenvärdet för en annan operator. Inom kvantmekaniken kallas den höjande operatören ibland skapelseoperatören och den sänkande operatören förintelseoperatören . Välkända tillämpningar av stegoperatorer inom kvantmekaniken är formalismer för kvantharmonisk oscillator och vinkelmomentum .

Introduktion

En annan typ av operator inom kvantfältteorin , upptäckt i början av 1970-talet, är känd som den antisymmetriska operatorn. Denna operator, som liknar spinn i icke-relativistisk kvantmekanik, är en stegoperator som kan skapa två fermioner med motsatt spin av en boson eller en boson från två fermioner . En Fermion , uppkallad efter Enrico Fermi, är en partikel med ett halvt heltalsspinn, såsom elektroner och protoner. Detta är en materiepartikel. En boson , uppkallad efter SN Bose , är en partikel med fullt heltalsspinn, såsom fotoner och W. Detta är en kraftbärande partikel.

Snurra

Först kommer vi att granska spin för icke-relativistisk kvantmekanik. Spinn, en inneboende egenskap som liknar vinkelmomentum, definieras av en spinnoperator S som spelar en roll på ett system som liknar operatorn L för orbital vinkelmomentum. Operatörerna $S^{2}$ och $S_{z}$ vars egenvärden är $S^{2}|s,m\rangle =s(s+1)\hbar ^{2}|s,m\rangle$ och $S_{z}|s,m\rangle =m\hbar |s,m\rangle$ respektive. Dessa formalismer följer också de vanliga kommuteringsrelationerna för vinkelmomentum $[S_{x},S_{y}]=i\hbar S_{z}$ , $[S_{y},S_{z}]=i\hbar S_{x}$ och $[ S_{z},S_{x}]=i\hbar S_{y}$ . Höjnings- och sänkoperatorerna, $S_{+}$ och $S_{-}$ , definieras som $S_{+}=S_ {x}+i\cdot S_{y}$ respektive $S_{-}=S_{x}-i\cdot S_{y}$ . Dessa stegoperatörer agerar på staten i följande $S_{+}|s,m\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m(m+1)}}|s,m+1\rangle$ och $S_{-}|s,m\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m(m-1)}}|s,m-1\rangle$ respektive.

Operatörerna S_x och S_y kan bestämmas med hjälp av laddermetoden. I fallet med spin 1/2-fallet (fermion), producerar operatorn $S_{+}$ som verkar på ett tillstånd $S_{+}|+\rangle =0$ och $S_{+}|-\rangle =\hbar |+\rangle$ . På samma sätt producerar operatorn $S_{-}$ som verkar på ett tillstånd $S_{-}|-\rangle =0$ och $S_{-}|+\rangle =\hbar |-\rangle$ . Matrisrepresentationerna för dessa operatorer är konstruerade enligt följande:

$[S_{+}]={\begin{bmatrix}\langle +|S_{+}|+\rangle &\langle +|S_{+}|-\rangle \\\langle -|S_{+}|+\rangle &\langle -|S_{+}|-\rangle \end{bmatrix}}=\hbar \cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end {bmatris}}$

$[S_{-}]={\begin{bmatrix}\langle +|S_{-}|+\rangle &\langle +|S_{-}|-\rangle \\\langle -|S_{-}|+\rangle &\langle -|S_{-}|-\rangle \end{bmatrix}}=\hbar \cdot {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end {bmatrix}}$

Därför kan $S_{x}$ och $S_{y}$ representeras av matrisrepresentationerna:

$[S_{x}]={\frac {\hbar }{2}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} }$

$[S_{y}]={\frac {\hbar }{2}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0 \end{bmatrix}}$

Påminner om den generaliserade osäkerhetsrelationen för två operatorer A och B, $\Delta _{\psi }A\,\Delta _{\psi }B\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{A},{B} \right]\right\rangle _{\psi }\right|$ , kan vi omedelbart se att osäkerhetsrelationen för operatorerna $S_{x}$ och $S_{y}$ är som följer:

$\Delta _{\psi }S_{x}\,\Delta _{\psi }S_{y}\geq {\frac {1}{ 2}}\left|\left\langle \left[{S_{x}},{S_{y}}\right]\right\rangle _{\psi }\right|={\frac {1}{2 }}(i\hbar S_{z})={\frac {\hbar }{2}}S_{z}$

Därför kan vi, precis som omloppsrörelsemängden, bara specificera en koordinat åt gången. Vi specificerar operatorerna $S^{2}$ och $S_{z}$ .

Tillämpning i kvantfältteori

Skapandet av en partikel och antipartikel från ett boson definieras på liknande sätt men för oändliga dimensioner. Därför introduceras Levi-Civita-symbolen för oändliga dimensioner.

$\varepsilon _{ijk\ell \dots }=\left\{{\begin{matrix}+ 1&{\mbox{if }}(i,j,k,\ell ,\dots ){\mbox{ är en jämn permutation av }}(1,2,3,4,\dots )\\-1&{\ mbox{if }}(i,j,k,\ell ,\dots ){\mbox{ är en udda permutation av }}(1,2,3,4,\dots )\\0&{\mbox{om någon två etiketter är samma}}\end{matrix}}\right.$

Kommuteringsrelationerna överförs helt enkelt till oändliga dimensioner ${\displaystyle [S_{i},S_{j}]=i\hbar S_{k}\$ . $S^{2}$ är nu lika med $S^{2}=\summa _{m=1}^{n}S_{m }^{2}$ där n=∞. Dess egenvärde är $S^{2}|s,m>=s(s+1)\hbar ^{2}|s,m>$ . Att definiera det magnetiska kvantnumret, vinkelmomentet projicerat i z-riktningen, är mer utmanande än det enkla spinntillståndet. Problemet blir analogt med tröghetsmoment i klassisk mekanik och är generaliserbart till n dimensioner. Det är denna egenskap som möjliggör skapandet och förintelsen av bosoner.

Bosoner

bosoniskt fält kännetecknas av deras spinn och kan vara skalära fält, vektorfält och till och med tensorfält. För att illustrera är det kvantiserade elektromagnetiska fältet fotonfältet, som kan kvantiseras med hjälp av konventionella metoder för kanonisk eller vägintegralkvantisering. Detta har lett till teorin om kvantelektrodynamik, utan tvekan den mest framgångsrika teorin inom fysiken. Gravitonfältet är det kvantiserade gravitationsfältet. Det finns ännu inte en teori som kvantiserar gravitationsfältet, men teorier som strängteori kan tänkas på gravitationsfältet kvantiserat. Ett exempel på ett icke-relativistiskt bosoniskt fält är det som beskriver kalla bosoniska atomer, såsom Helium-4. Fria bosoniska fält lyder kommuteringsrelationer:

$[a_{i},a_{j}]=[a_{i}^{\dolk },a_{j}^{ \dolk }]=0$

$[a_{i},a_{i}^{\dolk }]=\langle f|g\rangle$ ,

För att illustrera, anta att vi har ett system av N bosoner som upptar ömsesidigt ortogonala enpartikeltillstånd ${\displaystyle |\phi _{1}\rangle ,|\phi _{2}\rangle ,|\phi _{3}\rangle } ,$ etc. Med hjälp av den vanliga representationen demonstrerar vi systemet genom att tilldela ett tillstånd för varje partikel och sedan införa utbytessymmetri.

${\frac {1}{\sqrt {3}}}\left[|\phi _{1}\rangle |\phi _{2}\rangle |\phi _{3}\rangle +|\ phi _{2}\rangle |\phi _{1}\rangle |\phi _{3}\rangle +|\phi _{3}\rangle |\phi _{2}\rangle |\phi _{1 }\rangle \right].$

Denna vågekvation kan representeras med hjälp av en andra kvantiserad metod, känd som andra kvantisering . Antalet partiklar i varje enpartikeltillstånd anges.

$|1,2,0,0,0,\cdots \rangle ,$

Skapande- och förintelseoperatorerna , som adderar och subtraherar partiklar från multipartikeltillstånd. Dessa skapelse- och förintelseoperatorer är mycket lika de som definieras för den kvantharmoniska oscillatorn, som adderade och subtraherade energikvanta. Men dessa operatörer skapar och förintar bokstavligen partiklar med ett givet kvanttillstånd. Den bosoniska förintelseoperatorn $a_{2}$ och skapelseoperatorn $a_{2}^{\dolk }$ har följande effekter:

$a_{2}|N_{1},N_{2},N_ {3},\cdots \rangle ={\sqrt {N_{2}}}\mid N_{1},(N_{2}-1),N_{3},\cdots \rangle ,$

$a_{2}^{\dolk }|N_{1},N_{2},N_{3},\cdots \rangle ={\sqrt {N_{2}+1}}\mid N_{1 },(N_{2}+1),N_{3},\cdots \rangle .$

Liksom skapelse- och förintelseoperatorerna $a_{i}$ och ${\displaystyle a_{i}^{\dolk }} som$ också finns i kvantfältteorin, skapelse- och förintelseoperatorerna ${\ displaystyle S_{i}^{+}}$ och $\displaystyle S_{i}^{-}}$ verkar på bosoner i multi-partikeltillstånd. Medan $a_{i}$ och $a_{i}^{\dolk }$ tillåter oss att avgöra om en partikel skapades eller förstördes i ett system, är spinoperatorerna ${ \displaystyle S_{i}^{+}}$ och $S_{i}^{-}$ tillåter oss att bestämma hur. En foton kan bli både en positron och elektron och vice versa. På grund av den antisymmetriska statistiken följer en partikel av spin ${\frac {1}{2}}$ Pauli-uteslutningsregeln. Två partiklar kan existera i samma tillstånd om och endast om partikelns spinn är motsatt.

Tillbaka till vårt exempel, partikelns spinntillstånd är spin-1. Symmetriska partiklar, eller bosoner, behöver inte följa Pauli-uteslutningsprincipen så därför kan vi representera partikelns spinntillstånd enligt följande:

$|1,ix,0,0,0,\cdots \rangle ,$ och $|1,-ix,0,0,0,\cdots \rangle ,$

Förintelsespinnoperatorn, som namnet antyder, förintar en foton till både en elektron och positron. På samma sätt skapar skapelsespinnoperatorn en foton. Fotonen kan vara i antingen det första tillståndet eller det andra tillståndet i detta exempel. Om vi ​​tillämpar den linjära momentumoperatorn

Fermioner

Därför definierar vi operatorn $S_{i}+$ och $-}$ . När det gäller den icke-relativistiska partikeln, om $S_{+}$ appliceras på en fermion två gånger, blir det resulterande egenvärdet 0. På samma sätt är egenvärdet 0 när $S_{-}$ appliceras på en fermion två gånger. Denna relation uppfyller Pauli Exclusion Principle . Däremot är bosoner symmetriska partiklar som inte följer Pauli Exclusion Principle.

•   Griffiths, David J. (2004). Introduktion till kvantmekanik (2nd ed.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7 .
•   McMahon, David (2006). Quantum Mechanics DeMystified: A Self-Teaching Guide . McGraw-Hill Companies. ISBN 0-07-145546-9 .