Översättningsoperatör (kvantmekanik)

Inom kvantmekaniken definieras en translationsoperator som en operator som förskjuter partiklar och fält med en viss mängd i en viss riktning.

Mer specifikt, för varje förskjutningsvektor $\mathbf {x}$ , finns det en motsvarande översättningsoperator ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ som skiftar partiklar och fält med mängden $\mathbf {x}$ .

Till exempel, om ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ verkar på en partikel i position $\mathbf {r}$ , blir resultatet en partikel vid position $\mathbf {r} +\mathbf {x}$ .

Översättningsoperatörer är enhetliga .

Översättningsoperatörer är nära besläktade med momentumoperatorn ; till exempel har en översättningsoperator som rör sig oändligt mycket i $y$ ett enkelt förhållande till $y$ -komponenten i momentumoperatorn. På grund av detta förhållande bevarande av momentum när översättningsoperatorerna pendlar med Hamiltonian, dvs när fysikens lagar är translationsinvarianta. Detta är ett exempel på Noethers teorem .

Åtgärd på positionsegenketer och vågfunktioner

Översättningsoperatorn ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ flyttar partiklar och fält med mängden $\mathbf {x}$ . Därför, om en partikel är i ett egentillstånd $|\mathbf {r} \rangle$ av positionsoperatorn (dvs. exakt placerad vid positionen $\mathbf {r}$ ), sedan efter ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\int \!d\mathbf {r} ~|\mathbf {r+x} \rangle \langle \mathbf {r} |} verkar$ på det, partikeln är i positionen $\mathbf {r} +\mathbf {x}$ :

$${\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {r} +\mathbf {x} \rangle .$$

Ett alternativt (och likvärdigt) sätt att beskriva vad översättningsoperatören bestämmer är baserat på positionsrymdvågfunktioner . Om en partikel har en positionsrymdvågfunktion $\psi (\mathbf {r} )$ , och ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ verkar på partikeln, den nya positionsrymdvågfunktionen är $\psi '(\mathbf {r} )={\hat {T}}( \mathbf {x} )\psi (\mathbf {r} )$ definieras av

$$\psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} ).$$

Denna relation är lättare att komma ihåg eftersom $\psi '(\mathbf {r} +\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {r} ),$ som kan läsas som: "Värdet på den nya vågfunktionen vid den nya punkten är lika med värdet på den gamla vågfunktionen vid den gamla punkten".

Här är ett exempel som visar att dessa två beskrivningar är likvärdiga. Staten $|\mathbf {a} \rangle$ motsvarar vågfunktionen $\psi (\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {a} )$ (där $\delta$ är Dirac deltafunktionen ), medan tillståndet ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {a} \rangle =|\mathbf {a} +\mathbf {x} \rangle } motsvarar$ vågfunktionen ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} -(\mathbf {a} +\mathbf {x} )).} Dessa uppfyller$ verkligen $\psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} ).$

Momentum som generator av översättningar

Se även: Växlingsoperatör och Momentumoperatör

I den inledande fysiken definieras momentum vanligtvis som massa gånger hastighet. Det finns dock ett mer grundläggande sätt att definiera momentum, i termer av översättningsoperatörer. Detta kallas mer specifikt kanoniskt momentum , och det är vanligtvis men inte alltid lika med massa gånger hastighet; ett motexempel är en laddad partikel i ett magnetfält. Denna definition av rörelsemängd är särskilt viktig eftersom lagen om bevarande av rörelsemängd endast gäller för kanonisk rörelsemängd, och är inte universellt giltig om rörelsemängd istället definieras som massa gånger hastighet (den så kallade "kinetiska rörelsemängden"), av skäl som förklaras nedan.

Den (kanoniska) momentumoperatorn definieras som gradienten för översättningsoperatorerna nära ursprunget:

$\mathbf {\hat {p}} =i\hbar \left(\nabla {\hat {T}}(\mathbf {x} )\right)_{{\text{at }}\mathbf {x} =\mathbf {0} }$

där $\hbar$ är den reducerade Plancks konstant . Vad blir till exempel resultatet när ${\hat {p}}_{x}$ verkar på ett kvanttillstånd? För att hitta svaret, översätt tillståndet med ett oändligt litet belopp i $x$ -riktningen, och beräkna hastigheten som tillståndet ändrar, och multiplicera det med i $\displaystyle i\hbar }$ . Till exempel, om ett tillstånd inte förändras alls när det översätts i $x$ -riktningen, då är dess $x$ -komponent av momentum 0.

Mer uttryckligen är $\mathbf {\hat {p}}$ en vektoroperator (dvs en vektor som består av tre operatorer ${\displaystyle ({\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z})}), definieras av$ :

$${\hat {p}}_{x}=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {{\hat {T}}(a\mathbf {\hat {x}} )-{\hat {\mathbb {I} }}}{a}}$$

där ${\hat {\mathbb {I} }}$ är identitetsoperatorn och $\mathbf {\hat {x}}$ är enhetsvektorn i $x$ -riktning. ( ${\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z}$ definieras analogt.)

Ekvationen ovan är den mest allmänna definitionen av $\mathbf {\hat {p}}$ . I det speciella fallet med en enstaka partikel med vågfunktion $\psi (\mathbf {r} )$ , kan $\mathbf {\hat {p}}$ skrivas i en mer specifik och användbar form. I en dimension:

$${\begin{aligned}({\hat {p}}\psi )(r)&=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {({\hat {T}}(a)\psi )(r)-\psi (r)}{a}}\\&=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {\ psi (ra)-\psi (r)}{a}}\\&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial r}}\psi (r)\end{aligned}}$$

eller i tre dimensioner,

$$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$$

som en operatör som agerar på positionsrymdvågfunktioner. Detta är det välbekanta kvantmekaniska uttrycket för ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} } ,$ men vi har härlett det från en mer grundläggande utgångspunkt.

Vi har nu definierat $\mathbf {\hat {p}}$ i termer av översättningsoperatorer. Det är också möjligt att skriva en översättningsoperator som en funktion av $\mathbf {\hat {p}}$ . Metoden består i att uttrycka en given översättning som ett stort antal $N$ av på varandra följande små översättningar, och sedan använda det faktum att infinitesimala översättningar kan skrivas i termer av $\mathbf {\hat {p} }$ :

$${\begin{aligned}{\hat { T}}(\mathbf {x} )&=\lim _{N\to \infty }({\hat {T}}(\mathbf {x} /N))^{N}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{N\hbar }}\right]^{N}\end {Justerat}}$$

som ger det slutliga uttrycket:

${\hat {T}}(\mathbf {x} )=\exp \left(-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}\right)=1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}-{\frac {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\frac {i(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{3 }}{6\hbar ^{3}}}+\cdots$

där $\exp$ är operatorn exponentiell och den högra sidan är Taylor-seriens expansion. För mycket små $\mathbf {x}$ kan man använda approximationen:

$${\hat {T}}(\mathbf {x} )\approx 1-i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat { p}} /\hbar$$

Därför kallas momentumoperatorn för översättningsgeneratorn .

Ett bra sätt att dubbelkolla att dessa relationer är korrekta är att göra en Taylor-expansion av översättningsoperatorn som agerar på en positions-rymdvågfunktion. Genom att expandera exponentialen till alla beställningar, genererar översättningsoperatören exakt den fullständiga Taylor-expansionen av en testfunktion:

$${\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} )&={\hat {T}}(\mathbf {x } )\psi (\mathbf {r} )\\&=\exp \left(-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}\right )\psi (\mathbf {r} )\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-{\frac {i}{ \hbar }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{n}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\left(\summa _{n= 0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } )^{n}\right)\psi (\mathbf {r} ) \\&=\psi (\mathbf {r} )-\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )+{\frac {1}{2!}}(\ mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } )^{2}\psi (\mathbf {r} )-\dots \end{aligned}}$$

Så varje översättningsoperatör genererar exakt den förväntade översättningen på en testfunktion om funktionen är analytisk i någon domän av det komplexa planet.

Egenskaper

Successiva översättningar

$${\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}} (\mathbf {x} _{2})={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})$$

Med andra ord, om partiklar och fält flyttas med mängden $\mathbf {x} _{2}$ och sedan med mängden ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}} ,$ totalt sett de har flyttats med mängden $\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}$ . För ett matematiskt bevis kan man titta på vad dessa operatorer gör med en partikel i ett positionsegentillstånd:

$${\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})|\mathbf {r} \rangle = {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1})|\mathbf {x} _{2}+\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})|\mathbf {r} \rangle$$

Eftersom operatorerna ${\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _ {2})$ och ${\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})$ har samma effekt på varje tillstånd i en egenbas, följer det att operatorerna är lika.

Omvänd

Översättningsoperatorerna är inverterbara och deras inverser är:

$$({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}={\hat {T}}(- \mathbf {x} )$$

Detta följer av egenskapen "successive translations" ovan och det faktum att ${\hat {T}}(\mathbf {0} )={\hat {\mathbb {I} } }$ , dvs en översättning med ett avstånd på 0 är densamma som identitetsoperatorn som lämnar alla tillstånd oförändrade.

Översättningsoperatörer pendlar med varandra

$${\hat {T}}(\mathbf {x} ){\hat {T}}(\mathbf {y } )={\hat {T}}(\mathbf {y} ){\hat {T}}(\mathbf {x} )$$

eftersom båda sidorna är lika med ${\hat {T}}(\mathbf {x} +\mathbf {y} )$ .

Översättningsoperatörer är enhetliga

Om $\psi (\mathbf {r} )$ och $\phi (\mathbf {r} )$ är två positionsrymdvågfunktioner, då är den inre produkten av ${ \displaystyle \psi }$ med $\phi$ är:

$$\int d^{3}\mathbf {r} \,\psi ^{*}(\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r } )$$

medan den inre produkten av ${\hat {T}}(\mathbf {a} )\psi$ med ${\hat {T}}(\ mathbf {a} )\phi$ är:

$$\int d^{3}\mathbf {r} \,\psi ^{*}(\mathbf {r} -\mathbf { a} )\phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} )$$

Genom förändring av variabler är dessa två inre produkter exakt likadana. Därför är översättningsoperatörerna enhetliga , och i synnerhet:

$$({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dolk }=({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}.$$

Det faktum att översättningsoperatorer är enhetliga innebär att momentumoperatorn är hermitisk .

Översättningsoperatör som arbetar på en behå

En translationsoperator ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\int d\mathbf {r} ~|\mathbf {r+x} \rangle \langle \mathbf {r} |} som arbetar på en$ behå i positionen ger egenbasis:

$$\langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} -\mathbf {x} |$$

Bevis

$${\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {r} +\mathbf {x} \rangle$$

Dess angränsande uttryck är:

$$\langle \mathbf {r} |({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dolk }=\langle \mathbf {r} +\mathbf {x} |$$

Med hjälp av resultaten ovan, $({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^ {\dolk }=({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}={\hat {T}}(-\mathbf {x} )$ :

$$\langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(-\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} +\mathbf {x} |$$

Ersätter $\mathbf {x}$ med $-\mathbf {x}$ ,

$$\langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} -\mathbf {x} |$$

Dela upp en översättning i dess komponenter

Enligt egenskapen "successive translations" ovan kan en översättning av vektorn $\mathbf {x} =(x,y,z)$ skrivas som produkten av översättningar i komponentriktningarna:

$${\hat {T}}(\mathbf {x} )={\hat {T }}(x\mathbf {\hat {x}} )\,{\hat {T}}(y\mathbf {\hat {y}} )\,{\hat {T}}(z\mathbf {\ hatt {z}} )$$

där $\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}}$ är enhetsvektorer.

Kommutator med positionsoperatör

Antag att $|\mathbf {r} \rangle$ är en egenvektor för positionsoperatorn $\mathbf {\hat {r}}$ med egenvärde $\mathbf {r}$ . Vi har

$${\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {\hat {r}} |\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf { x} )\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle$$

medan

$$\mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle ={\hat {\mathbf {r} }} |\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle =(\mathbf {x} +\mathbf {r} )|\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle$$

Därför är kommutatorn mellan en översättningsoperatör och positionsoperatören:

$$[\mathbf {\hat {r}} ,{\hat {T}}(\mathbf {x} )]\equiv \mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )-{\hat {T}}(\mathbf {x } )\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {x} {\hat {T}}(\mathbf {x} )$$

Detta kan också skrivas (med ovanstående egenskaper) som:

$$({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf { \hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\mathbf {\hat {r}} +\mathbf {x} {\hat {\mathbb {I} }}$$

där ${\hat {\mathbb {I} }}$ är identitetsoperatorn .

Kommutator med momentumoperator

Eftersom översättningsoperatorer alla pendlar med varandra (se ovan), och eftersom varje komponent i momentumoperatorn är en summa av två skalade översättningsoperatorer (t.ex. p ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {i\hbar }{\varepsilon }}\ left({\hat {T}}((0,\varepsilon ,0))-{\hat {T}}((0,0,0))\right)} ), det följer att översättningsoperatorer alla pendlar$ med momentumoperatorn, dvs

$${\hat {T}}(\mathbf {x} ){\hat {\mathbf {p} }}={\hat {\mathbf {p} }}{\hat {T}}(\mathbf {x} )$$

Denna kommutering med momentumoperatorn gäller generellt även om systemet inte är isolerat där energi eller momentum kanske inte bevaras.

Översättningsgruppen

Uppsättningen ${\mathfrak {T}}$ för översättningsoperatorer ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ för alla $\mathbf {x }$ , med multiplikationsoperationen definierad som resultatet av successiva översättningar (dvs funktionssammansättning ), uppfyller alla axiom för en grupp :

Stängning

När två översättningar görs i följd blir resultatet en enda annan översättning. (Se egenskapen "successive translations" ovan.)

Existens av identitet

En översättning med vektorn $\mathbf {0}$ är identitetsoperatorn , dvs operatorn som inte har någon effekt på någonting. Den fungerar som gruppens identitetselement .

Varje element har en invers

Som visat ovan är vilken översättningsoperator som helst ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ inversen av den omvända översättningen ${\ displaystyle {\hat {T}}(-\mathbf {x} )}$ .

Associativitet

Detta är påståendet att ${\hat {T}}(\mathbf {x} _{1})\left({\hat {T}}(\mathbf {x} _{2}){\hat {T}}(\mathbf { x} _{3})\right)=\left({\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2}) \right){\hat {T}}(\mathbf {x} _{3})$ . Det är sant per definition, vilket är fallet för alla grupper baserade på funktionssammansättning .

Därför är uppsättningen ${\mathfrak {T}}$ för översättningsoperatorerna ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ för alla $\mathbf {x}$ bildar en grupp . Eftersom det kontinuerligt finns ett oändligt antal element översättningsgruppen en kontinuerlig grupp. Dessutom pendlar översättningsoperatörerna sinsemellan, dvs produkten av två översättningar (en översättning följt av en annan) beror inte på deras ordning. Därför är översättningsgruppen en abelsk grupp .

Översättningsgruppen som verkar på Hilbert-utrymmet av positionsegentillstånd är isomorf till gruppen av vektoradditioner i det euklidiska rummet .

Förväntningsvärden för position och momentum i det översatta tillståndet

Betrakta en enda partikel i en dimension. Till skillnad från klassisk mekanik har en partikel i kvantmekaniken varken en väldefinierad position eller ett väldefinierat momentum. I kvantformuleringen förväntningsvärdena rollen som de klassiska variablerna. Till exempel, om en partikel är i ett tillstånd $|\psi \rangle$ , då är positionens förväntade värde ${\displaystyle \langle \psi |\mathbf {\hat {r}} |\psi \rangle } ,$ där $\mathbf {\hat {r}}$ är positionsoperatorn.

Om en översättningsoperator ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ verkar på staten $|\psi \rangle$ , skapar ett nytt tillstånd $|\psi _{2}\rangle$ sedan förväntat värde för position för $|\psi _{2}\rangle$ är lika med förväntningsvärdet för position för $|\psi \rangle$ plus vektorn $\mathbf {x}$ . Detta resultat överensstämmer med vad du kan förvänta dig av en operation som förskjuter partikeln med den mängden.

Bevis på att en översättningsoperatör ändrar positionens förväntade värde på det sätt som du förväntar dig

Anta $|\psi _{2}\rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} )|\psi \rangle$ enligt ovan.

$${\begin{aligned}\langle \psi _{2}|{\hat {\mathbf {r} }}|\psi _{2}\rangle &=(\langle \psi | ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dolk }){\hat {\mathbf {r} }}({\hat {T}}(\mathbf {x} )|\ psi \rangle )\\&=\langle \psi |{\hat {\mathbf {r} }}|\psi \rangle +\mathbf {x} \end{aligned}}$$

med normaliseringsvillkoret $\langle \psi |\psi \rangle =1$ , och kommutatorresultatet bevisat i ett tidigare avsnitt.

Å andra sidan, när översättningsoperatören agerar på ett tillstånd, ändras inte förväntningsvärdet på momentumet. Detta kan bevisas på ett liknande sätt som ovan, men med det faktum att översättningsoperatörer pendlar med momentumoperatorn. Detta resultat överensstämmer återigen med förväntningarna: att översätta en partikel ändrar inte dess hastighet eller massa, så dess rörelsemängd bör inte ändras.

Translationell invarians

Inom kvantmekaniken representerar Hamiltonian energin och dynamiken i ett system. Låt ${\displaystyle |\mathbf {r} _{T}\rangle \equiv {\hat {T}}|\mathbf {r} \rangle } vara ett nyöversatt tillstånd (argumentet$ för ${ \displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ är irrelevant här och tas bort tillfälligt för korthets skull). En Hamiltonian sägs vara invariant om

$$\langle \mathbf {r} _{T}|{\hat {H}}|\mathbf {r} _{T}\rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {H }}|\mathbf {r} \rangle$$

eller

$$\langle \mathbf {r} |{\hat {T}}^{-1}{\hat {H}}{\hat {T}}|\mathbf {r} \rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {H}}|\mathbf {r} \rangle$$

Detta betyder att

$${\hat {T}}^{-1}{\hat {H}}{\hat {T}}={\hat {H}}$$

$${\hat {H}}{\hat {T}}-{\hat {T}}{\hat {H}} =[{\hat {H}},{\hat {T}}]=0$$

Således, om Hamiltonian är invariant under översättning, pendlar Hamiltonian med translationsoperatorn (löst sett, om vi översätter systemet, sedan mäter dess energi och sedan översätter det tillbaka, det motsvarar samma sak som att bara mäta dess energi direkt) .

Kontinuerlig translationssymmetri

Se även: Noethers sats

Först överväger vi fallet där alla översättningsoperatorer är symmetrier i systemet. Som vi kommer att se sker i detta fall bevarande av momentum .

Till exempel, om ${\hat {H}}$ är Hamiltonian som beskriver alla partiklar och fält i universum, och ${\hat {T}}(\mathbf {x } )$ är översättningsoperatorn som förskjuter alla partiklar och fält i universum samtidigt med samma mängd, då är detta alltid en symmetri: ${\hat {H}}$ beskriver fysikens fullständiga lagar i vår universum, som är oberoende av plats. Som en konsekvens bevarande av momentum universellt giltigt.

Å andra sidan kanske ${\hat {H}}$ och ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ bara hänvisar till en partikel. Då är översättningsoperatorerna ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ exakta symmetrier endast om partikeln är ensam i ett vakuum. På motsvarande sätt bevaras vanligtvis inte rörelsemängden hos en enskild partikel (den ändras när partikeln stöter på andra föremål), men den bevaras om partikeln är ensam i ett vakuum.

Eftersom Hamiltonian pendlar med översättningsoperatorn när översättningen är invariant

$$\left[{\hat {H}},{\hat {T}}(\mathbf {x} )\right]=0\,,$$

den pendlar också med den infinitesimala översättningsoperatören

$${\begin{ aligned}&\left[{\hat {H}},1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{N\hbar }}\right]= 0\\&\Rightarrow [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {p} }}]=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\langle {\hat { \mathbf {p} }}\rangle ={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {p} }}]=0\end{aligned}}$$

Sammanfattningsvis, närhelst Hamiltonian för ett system förblir invariant under kontinuerlig översättning, har systemet bevarande av momentum , vilket betyder att förväntansvärdet för momentumoperatorn förblir konstant. Detta är ett exempel på Noethers teorem .

Diskret translationssymmetri

Se även: Blochs sats

Det finns ett annat specialfall där Hamiltonian kan vara translationellt invariant. Denna typ av translationssymmetri observeras närhelst potentialen är periodisk :

$$V(r_{j}\pm a)=V(r_{j})$$

I allmänhet är Hamiltonian inte invariant under någon översättning representerad av ${\hat {T}}_{j}(x_{j})$ med $x_{j }$ godtycklig, där ${\hat {T}}_{j}(x_{j})$ har egenskapen:

$${\hat {T}}_{j}(x_{j})|r_{j}\rangle =|r_{j}+x_{j}\rangle$$

och,

$$({\hat {T}}_{j}(x_{j}) )^{\dolk }{\hat {r}}_{j}{\hat {T}}_{j}(x_{j})={\hat {r}}_{j}+x_{j }{\hat {\mathbb {I} }}$$

(där ${\hat {\mathbb {I} }}$ är identitetsoperatorn ; se bevis ovan).

Men närhelst $x_{j}$ sammanfaller med perioden för potentialen $a$ ,

$$({\hat {T}} _{j}(a))^{\dolk }V({\hat {r}}_{j}){\hat {T}}_{j}(a)=V({\hat {r} }_{j}+a{\hat {\mathbb {I} }})=V({\hat {r}}_{j})$$

Eftersom den kinetiska energidelen av Hamiltonian ${\hat {H}}$ redan är invariant under någon godtycklig översättning, är en funktion av $\mathbf {\hat {p}}$ , hela Hamiltonian tillfredsställer,

$$({\hat {T}}_{j}(a))^{\dolk }{\hat {H} }{\hat {T}}_{j}(a)={\hat {H}}$$

Nu pendlar Hamiltonian med översättningsoperatör, dvs de kan diagonaliseras samtidigt . Därför är Hamiltonian invariant under sådan översättning (som inte längre förblir kontinuerlig). Översättningen blir diskret med potentialens period.

Diskret översättning i periodisk potential: Blochs teorem

Huvudartikel: Blochs teorem

Jonerna i en perfekt kristall är ordnade i en regelbunden periodisk array. Så vi leds till problemet med en elektron i en potential $V(\mathbf {r} )$ med periodiciteten för det underliggande Bravais-gittret

$$V(\mathbf {r} +\mathbf {R} )=V(\mathbf {r} )$$

för alla Bravais gittervektorer $\mathbf {R}$

Men perfekt periodicitet är en idealisering. Verkliga fasta ämnen är aldrig absolut rena, och i närheten av föroreningsatomerna är det fasta ämnet inte detsamma som på andra ställen i kristallen. Dessutom är jonerna i själva verket inte stationära, utan genomgår ständigt termiska vibrationer kring sina jämviktspositioner. Dessa förstör den perfekta translationssymmetrin hos en kristall. För att hantera denna typ av problem är huvudproblemet artificiellt uppdelat i två delar: (a) den ideala fiktiva perfekta kristallen, där potentialen är genuint periodisk, och (b) effekterna på egenskaperna hos en hypotetisk perfekt kristall av alla avvikelser från perfekt periodicitet, behandlade som små störningar.

Även om problemet med elektroner i ett fast ämne i princip är ett många-elektronproblem, i oberoende elektronapproximation utsätts varje elektron för en-elektron Schrödinger-ekvationen med en periodisk potential och är känd som Bloch-elektron (i motsats till fria partiklar , till vilken Bloch-elektroner minskar när den periodiska potentialen är identiskt noll.)

För varje Bravais gittervektor $\mathbf {R}$ definierar vi en översättningsoperator ${\hat {T}}_{\mathbf {R} }$ som, när den används på valfri funktion $f(\mathbf {r} )$ skiftar argumentet med $\mathbf {R}$ :

$${\hat {T}}_{\mathbf {R} }f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {r} +\ mathbf {R} )$$

Eftersom alla översättningar bildar en abelsk grupp, beror inte resultatet av att tillämpa två på varandra följande översättningar på i vilken ordning de tillämpas, dvs.

$${\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2}}$$

Dessutom, eftersom Hamiltonian är periodisk, har vi,

$${\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {H}}={\hat {H}}{\hat {T} }_{\mathbf {R} }$$

Därför är ${\hat {T}}_{\mathbf {R} }$ för alla Bravais gittervektorer $\mathbf {R}$ och Hamiltonian ${\ hat {H}}$ bildar en uppsättning kommuterande operatorer . Därför kan egentillstånden för ${\hat {H}}$ väljas att vara samtidiga egentillstånd för alla ${\hat {T}}_{\mathbf {R} }$ :

$${\hat {H}}\psi ={\mathcal {E}}\psi$$

$${\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi =c(\mathbf {R} )\psi$$

Egenvärdena $c(\mathbf {R} )$ för översättningsoperatorerna är relaterade på grund av villkoret:

$${\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2}}$$

Vi har,

$${\begin{aligned}{\hat {T}}_{ \mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}\psi &=c(\mathbf {R} _{1}){\hat {T }}_{\mathbf {R} _{2}}\psi \\&=c(\mathbf {R} _{1})c(\mathbf {R} _{2})\psi \end{aligned }}$$

Och,

$${\hat {T}}_{\mathbf {R_{1}+R_{2}} }\psi =c(\ mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2})\psi$$

Därför följer att,

$$c(\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2})=c(\mathbf { R} _{1})c(\mathbf {R} _{2})$$

Låt nu a $\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ vara de tre primitiva vektorerna för Bravais gitter. Genom ett lämpligt val av $x_{i}$ kan vi alltid skriva $c(\mathbf {a} _{i})$ i formuläret

$$c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi ix_{i}}$$

Om $\mathbf {R}$ är en allmän Bravais gittervektor, given av

$$\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{ 2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}$$

det följer då,

$${\begin{aligned}c(\mathbf {R} )&=c(n_{1}\mathbf {a} _{1} +n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=c(n_{1}\mathbf {a} _{1})c (n_{2}\mathbf {a} _{2})c(n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=c(\mathbf {a} _{1})^{n_ {1}}c(\mathbf {a} _{2})^{n_{2}}c(\mathbf {a} _{3})^{n_{3}}\end{aligned}}$$

Genom att ersätta $c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi ix_{i}}$ får man,

$${\begin{aligned}c(\mathbf {R} )&= e^{2\pi i(n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3})}\\&=e^{i\mathbf {k} \ cdot \mathbf {R} }\end{aligned}}$$

där $\mathbf {k} =x_{1}\mathbf {b} _{1}+x_{2}\mathbf {b} _ {2}+x_{3}\mathbf {b} _{3}$ och $\mathbf {b} _{i}$ är de reciproka gittervektorerna som uppfyller ekvationen $\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=2\pi \delta _{ij}$

Därför kan man välja de samtidiga egentillstånden $\psi$ för Hamiltonian ${\hat {H}}$ och ${\hat {T}}_{\mathbf { R} }$ så att för varje Bravais gittervektor $\mathbf {R}$ ,

$${\begin{aligned}\psi (\mathbf {r+ R} )&={\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )\\&=c(\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} ) \\&=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )\end{aligned}}$$

Så,

$\psi (\mathbf {r+R} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )$

Detta resultat är känt som Blochs sats .

Tidsutveckling och translationell invarians

Huvudartikel: Tidsöversättningssymmetri

Translationell invarians: Tidsutveckling av vågfunktionerna.

I den passiva transformationsbilden kräver translationell invarians,

$$[{\hat {T}}(\mathbf {x} ),{\hat {H}}]=0$$

Det följer att

$$[{\hat {T}}(\mathbf {x} ),{\hat {U}}(t)]=0$$

där ${\hat {U}}(t)$ är den enhetliga tidsevolutionsoperatorn. När Hamiltonian är tidsoberoende ,

$${\hat {U}}(t)=\exp \left({\frac {-i{\hat {H}}t} {\hbar }}\right)$$

Om Hamiltonian är tidsberoende, är ovanstående kommuteringsrelation uppfylld om ${\hat {p}}$ eller ${\hat {T}}(\mathbf {x} )$ pendlar med ${\hat {H}}(t)$ för alla t.

Exempel

Antag att vid $t=0$ förbereder två observatörer A och B identiska system vid $x=0$ respektive $x=a$ (fig. 1). Om $|\psi (0)\rangle$ är tillståndsvektorn för systemet framställt av A, då kommer tillståndsvektorn för systemet framställt av B att ges av

$${\hat {T}}(\mathbf {a} )|\psi (0)\rangle$$

Båda systemen ser identiska ut med observatörerna som förberedde dem. Efter tiden $t$ utvecklas tillståndsvektorerna till ${\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle$ och ${\displaystyle {\hat {U}}(t){\hat {T}}(\mathbf {a} )|\psi (0)\rangle } respektive$ . Med användning av den ovan nämnda kommuteringsrelationen kan den senare skrivas som,

$${\hat {T}}(\mathbf {a} ){\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle$$

som bara är den översatta versionen av systemet förberedd av A vid tidpunkten $t$ . Därför skiljer sig de två systemen, som endast skilde sig åt genom en översättning vid $t=0$ , endast genom samma översättning vid vilket ögonblick som helst. Tidsutvecklingen för båda systemen verkar vara densamma för de observatörer som förberedde dem. Man kan dra slutsatsen att Hamiltonians translationella invarians innebär att samma experiment som upprepas på två olika platser kommer att ge samma resultat (som sett av de lokala observatörerna).

Se även

• Bloch staten
• Grupp
• Periodisk funktion
• Skiftoperatör
• Symmetrier i kvantmekanik
• Tidsöversättningssymmetri
• Translationell symmetri