Inom kvantfysiken är squeeze -operatorn för ett enskilt läge av det elektromagnetiska fältet
S ^
( z ) = exp
(
1 2
(
z
∗
a ^
2
− z
a ^
† 2
)
)
, z = r
e
i θ
{\displaystyle {\hat {S}}(z)=\exp \left ({1 \över 2}(z^{*}{\hat {a}}^{2}-z{\hat {a}}^{\dolk 2})\höger),\qquad z=r\ ,e^{i\theta }}
där operatorerna inuti exponentialen är stegoperatorerna . Det är en enhetlig operator och lyder därför
S ( ζ )
S
†
( ζ ) =
S
†
( ζ ) S ( ζ ) =
1 ^
{\displaystyle S(\zeta )S^{\dolk }(\zeta )=S ^{\dolk }(\zeta )S(\zeta )={\hat {1}}}
1 ^
{\displaystyle {\hat {1}}}
Dess agerande på förintelse och skapande operatörer producerar
S ^
†
( z )
a ^
S ^
( z ) =
a ^
cosh r −
e
i θ
a ^
†
sinh r
och
S ^
†
( z )
a ^
†
S ^
( z ) =
a ^
†
cosh r −
e
− i θ
a ^
sinh r
{\displaystyle {\hat {S}}^{\dolk }(z){\hat {a}}{\hat {S}}(z)={\hat {a}}\cosh re^{i\theta }{\hat {a}}^{\dolk }\sinh r\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {S}}^{\dolk }(z){\hat {a}}^{\dolk }{\hat {S}}(z)={\hat {a}}^{\dolk }\cosh re^{-i\theta }{ \hat {a}}\sinh r}
Squeeze-operatorn är allestädes närvarande inom kvantoptik och kan arbeta i alla tillstånd. Till exempel, när den verkar på vakuumet, producerar klämoperatören det klämda vakuumtillståndet.
Klämoperatören kan också agera på koherenta tillstånd och producera squeeced koherenta tillstånd . Klämoperatören pendlar inte med förskjutningsoperatören :
S ^
( z )
D ^
( α ) ≠
D ^
( α )
S ^
( z ) ,
{\displaystyle {\hat {S}}(z){\hat {D}}(\alpha )\neq {\ hatt {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z),}
det pendlar inte heller med stegoperatörerna, så man måste vara mycket uppmärksam på hur operatörerna används. Det finns dock en enkel flätningsrelation,
D ^
( α )
S ^
( z ) =
S ^
( z )
S ^
†
( z )
D ^
( α )
S ^
( z ) =
S ^
( z )
D ^
( γ ) ,
där
γ = α cosh r +
α
∗
e
i θ
sinh r
{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z)={\hat {S }}(z){\hat {S}}^{\dolk }(z){\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(z)={\hat {S}}( z){\hat {D}}(\gamma ),\qquad {\text{där}}\qquad \gamma =\alpha \cosh r+\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh r}
Applicering av båda operatörerna ovan på vakuumet ger sammanpressade tillstånd :
0
D ^
( α )
S ^
( r )
|
⟩ =
|
α , r ⟩
{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(r)|0\rangle =|\alpha ,r\rangle }
Härledning av åtgärd på skapande operatör
Som nämnts ovan kan åtgärden av squeeze-operatorn
S ( z )
{\displaystyle S(z)}
a
{\displaystyle a}
S
†
( z ) a S ( z ) = cosh (
|
z
|
) a −
z
|
z
|
sinh (
|
z
|
)
a
†
.
{\displaystyle S^{\dolk }(z)aS(z)=\cosh(|z|)a-{\frac {z}{|z|}}\sinh(|z|)a^{\dolk }.}
För att härleda denna likhet, låt oss definiera (skev-hermitisk) operatorn
A ≡ ( z
a
† 2
−
z
∗
a
2
)
/
2
{\displaystyle A\equiv (za^{\dolk 2}-z^{*} a^{2})/2}
, så att
S
†
=
e
A
{\displaystyle S^{\dolk }=e^{A}}
.
Den vänstra sidan av likheten är alltså
e
A
a
e
− A
{\displaystyle e^{A}ae^{-A}}
allmänna jämlikheten
e
A
B
e
− A
=
∑
k =
0
∞
1
k !
[
A , [ A , … , [ A
⏟
k
gånger
, B ] … ] ] ,
{\displaystyle e^{A}Be^{-A}=\summa _{k=0}^{\infty }{\ frac {1}{k!}}[\underbrace {A,[A,\dots ,[A} _{k\,{\text{times}}},B]\dots ]],}
vilket gäller för alla operatorpar
A
{\displaystyle A}
och
B
{\displaystyle B}
. Att beräkna
e
A
a
e
− A
{\displaystyle e^{A}ae^{-A}}
reducerar alltså till problemet med att beräkna de upprepade kommutatorerna mellan
A
{\displaystyle A}
och
en
{\displaystyle a}
. Som lätt kan verifieras har vi
[ A , a ] =
1 2
[ z
a
† 2
−
z
∗
a
2
, a ] =
z 2
[
a
† 2
, a ] = − z
a
†
,
{\displaystyle [A,a]={\frac { 1}{2}}[za^{\dolk 2}-z^{*}a^{2},a]={\frac {z}{2}}[a^{\dolk 2},a] =-za^{\dolk },}
[ A ,
a
†
] =
1 2
[ z
a
† 2
−
z
∗
a
2
,
a
†
] = −
z
∗
2
[
a
2
,
a
†
] = −
z
∗
a .
{\displaystyle [A,a^{\dolk }]={\frac {1}{2}}[za^{\dolk 2}-z^{*}a^{2},a^{\dolk } ]=-{\frac {z^{*}}{2}}[a^{2},a^{\dolk }]=-z^{*}a.}
Genom att använda dessa jämlikheter får vi
[
A , [ A , … , [ A
⏟
n
, a ] … ] ] =
{
|
z
|
n
a ,
för
n
jämn
,
− z
|
z
|
n − 1
a
†
,
för
n
udda
.
{\displaystyle [\underbrace {A,[A,\dots ,[A} _{n},a]\dots ]]={\begin{cases}|z|^{n}a,&{\text{ för }}n{\text{ jämn}},\\-z|z|^{n-1}a^{\dolk },&{\text{ för }}n{\text{ udda}}.\ slut{cases}}}
så att vi äntligen får
e
A
a
e
− A
= a
∑
k =
0
∞
|
z
|
2 k
( 2 k ) !
−
a
†
z
|
z
|
∑
k =
0
∞
|
z
|
2 k + 1
( 2 k + 1 ) !
= en cosh
|
z
|
−
a
†
e
i θ
sinh
|
z
|
.
{\displaystyle e^{A}ae^{-A}=a\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {|z|^{2k}}{(2k)!}}-a ^{\dolk }{\frac {z}{|z|}}\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {|z|^{2k+1}}{(2k+1) !}}=a\cosh |z|-a^{\dolk }e^{i\theta }\sinh |z|.}
Se även
Allmän
Rum och tid
Partiklar
Operatörer för operatörer
Kvant
Grundläggande
Energi
Vinkelmoment
Elektromagnetism
Optik
Partikelfysik
![{\displaystyle e^{A}Be^{-A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}[\underbrace {A,[A,\dots ,[A} _{k\,{\text{times}}},B]\dots ]],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d1944da09e2049fd780aa580393cfc9a2af10e)
![{\displaystyle [A,a]={\frac {1}{2}}[za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2},a]={\frac {z}{2}}[a^{\dagger 2},a]=-za^{\dagger },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f62585473e2b387edf0ebde45d723db1030f641f)
![{\displaystyle [A,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[za^{\dagger 2}-z^{*}a^{2},a^{\dagger }]=-{\frac {z^{*}}{2}}[a^{2},a^{\dagger }]=-z^{*}a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed65b76372543b52560b3dec6418505d316586cb)
![{\displaystyle [\underbrace {A,[A,\dots ,[A} _{n},a]\dots ]]={\begin{cases}|z|^{n}a,&{\text{ for }}n{\text{ even}},\\-z|z|^{n-1}a^{\dagger },&{\text{ for }}n{\text{ odd}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395689a9e95946dc1e764370e9ae28bfd361b073)
