Ändring av variabler

Inom matematiken är en förändring av variabler en grundläggande teknik som används för att förenkla problem där de ursprungliga variablerna ersätts med funktioner av andra variabler. Avsikten är att när det uttrycks i nya variabler kan problemet bli enklare, eller likvärdigt med ett bättre förstått problem.

Ändring av variabler är en operation som är relaterad till substitution . Detta är dock olika operationer, vilket kan ses när man överväger differentiering ( kedjeregel ) eller integration ( integrering genom substitution ).

Ett mycket enkelt exempel på en användbar variabeländring kan ses i problemet med att hitta rötterna till sjättegradspolynomet:

x^{6}-9x^{3}+8=0.

Sjätte gradens polynomekvationer är i allmänhet omöjliga att lösa i termer av radikaler (se Abel–Ruffinis sats ) . Denna speciella ekvation kan dock skrivas

(x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0

(detta är ett enkelt fall av en polynomupplösning ). Således kan ekvationen förenklas genom att definiera en ny variabel $u=x^{3}$ . Att ersätta x med ${\sqrt[{3}]{u}}$ i polynomet ger

u^{2}-9u+8=0,

som bara är en andragradsekvation med de två lösningarna:

u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.

Lösningarna i termer av den ursprungliga variabeln erhålls genom att ersätta x ³ tillbaka in för u , vilket ger

x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.

Sedan, om man antar att man bara är intresserad av verkliga lösningar, är lösningarna i den ursprungliga ekvationen det

x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x =(8)^{1/3}=2.

Enkelt exempel

Tänk på ekvationssystemet

xy+x+y=71

x^{2}y+xy^{2}=880

där $x$ och $y$ är positiva heltal med $x>y$ . (Källa: 1991 AIME )

Att lösa detta normalt är inte särskilt svårt, men det kan bli lite tråkigt. Vi kan dock skriva om den andra ekvationen som $xy(x+y)=880$ . Genom att göra ersättningarna $s=x+y$ och $t=xy$ reduceras systemet till $s+t= 71,st=880$ . Att lösa detta ger $(s,t)=(16,55)$ och $(s,t)= (55,16)$ . Om vi byter tillbaka det första ordnade paret får vi ${\displaystyle x+y=16,xy=55,x>y} ,$ vilket ger lösningen $(x,y)=(11,5).$ Om vi byter tillbaka det andra ordnade paret får vi $x+y=55,xy= 16,x>y$ , vilket inte ger några lösningar. Därför är lösningen som löser systemet $(x,y)=(11,5)$ .

Formell introduktion

Låt $A$ , $B$ vara jämna grenrör och låt $\Phi :A\rightarrow B$ vara en $C^{r}$ - diffeomorfism mellan dem, det vill säga: $\Phi$ är en $r$ gånger kontinuerligt differentierbar, bijektiv karta från $A$ till $B$ med $r$ gånger kontinuerligt differentierbar invers från $B$ till $A$ . Här $r$ vara vilket naturligt tal som helst (eller noll), $\infty$ ( slät ) eller $\omega$ ( analytisk ).

Kartan $\Phi$ kallas en reguljär koordinattransformation eller reguljär variabelsubstitution , där regular refererar till $C^{r}$ -heten hos $\Phi$ . Vanligtvis kommer man att skriva $x=\Phi (y)$ för att indikera ersättningen av variabeln $x$ med variabeln $y$ genom att ersätta värdet på $\Phi$ i $y$ för varje förekomst av $x$ .

Andra exempel

Koordinera transformation

Vissa system kan lättare lösas när man byter till polära koordinater . Betrakta till exempel ekvationen

U(x,y):=(x^{2}+y^{2} ){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.

Detta kan vara en potentiell energifunktion för något fysiskt problem. Om man inte omedelbart ser en lösning kan man försöka byta ut

\displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )

ges av

\displaystyle \Phi (r,\theta )=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta )).

Observera att om $\theta$ löper utanför ett $2\pi$ -längdsintervall, till exempel $[0,2\pi ]$ , kartan $\Phi$ är inte längre bijektiv. Därför $\Phi$ begränsas till till exempel $(0,\infty ]\times [0,2\pi )$ . Lägg märke till hur $r=0$ exkluderas, för $\Phi$ är inte bijektiv i origo ( $\theta$ kan ta vilket värde som helst, punkten kommer att mappas till (0, 0)). Sedan ersätter du alla förekomster av de ursprungliga variablerna med de nya uttryck som föreskrivs av $\Phi$ och använder identiteten $\sin ^{2}x+\cos ^ {2}x=1$ får vi

V(r,\theta )=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}} =r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\left|\sin \theta \right|.

Nu kan lösningarna lätt hittas: $\sin(\theta )=0$ , så $\theta =0$ eller $\theta =\pi$ . Att tillämpa inversen av $\Phi$ visar att detta är ekvivalent med $y=0$ medan $x\not =0$ . Vi ser faktiskt att för $y=0$ försvinner funktionen, förutom ursprunget.

Observera att om vi hade tillåtit ${\displaystyle r=0} ,$ skulle ursprunget också ha varit en lösning, även om det inte är en lösning på det ursprungliga problemet. Här är bijektiviteten för $\Phi$ avgörande. Funktionen är alltid positiv (för $x,y\in \mathbb {R}$ ), därav de absoluta värdena.

Differentiering

Kedjeregeln används för att förenkla komplicerad differentiering . Tänk till exempel på problemet med att beräkna derivatan

{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}).

Låt $y=\sin u$ med $u=x^{2}.$ Sedan:

{\ displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&={\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&={\frac {dy }{du}}{\frac {du}{dx}}&&{\text{Denna del är kedjeregeln.}}\\[6pt]&=\left({\frac {d}{du}}\ sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&=(\cos u)(2x)\\&=\left(\cos (x^{2})\right)(2x)\\&=2x\cos(x^{2})\end{aligned}}}

Integration

Svåra integraler kan ofta utvärderas genom att ändra variabler; detta möjliggörs av substitutionsregeln och är analogt med användningen av kedjeregeln ovan. Svåra integraler kan också lösas genom att förenkla integralen med hjälp av en förändring av variabler som ges av motsvarande jakobianska matris och determinant . Att använda den jakobiska determinanten och motsvarande förändring av variabel som den ger är grunden för koordinatsystem som polära, cylindriska och sfäriska koordinatsystem.

Ändring av variabler formel i termer av Lebesgue mått

Följande teorem tillåter oss att relatera integraler med avseende på Lebesgue-måttet till en ekvivalent integral med avseende på pullbackmåttet under en parameterisering G. Beviset beror på approximationer av Jordan-innehållet.

Antag att $\Omega$ är en öppen delmängd av $\mathbb {R} ^{n}$ och $G:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ är en $C^{1}$ diffeomorfism.

Om $f$ är en Lebesgue-mätbar funktion på $G(\Omega )$ , då är $f\circ G$ Lebesgue mätbar på $\Omega$ . Om $f\geq 0$ eller $f\in L^{1}(G(\Omega ),m),$ då $\int _{G(\Omega )}f(x)dx=\int _{\Omega }f\circ G(x)|{\text{det}}D_{x}G|dx$ .

Om $E\subset \Omega$ och $E$ är Lebesgue-mätbar, då är $G(E)$ Lebesgue-mätbar, då är $m(G(E))=\int _{E}|{\text{det}}D_{x}G|dx$ .

Som en följd av denna sats kan vi beräkna Radon-Nikodym-derivaten av både pullback- och pushforward-måtten för $m$ under $T$ .

Återgångsmått och transformationsformel

Tillbakagångsmåttet i termer av en transformation $T$ , definieras som $T^{*}\mu :=\mu (T(A))$ . Formeln för förändring av variabler för pullback-åtgärder är

$\int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*} \mu$ .

Framåtriktad mått och transformationsformel

Framåtskjutningsmåttet i termer av en transformation $T$ , definieras som $T_{*}\mu :=\mu (T^{- 1}(A))$ . Formeln för förändring av variabler för framskjutna åtgärder är

$\int _{\Omega }gd\mu =\int _{T(\Omega )}g\circ ( T^{-1})dT_{*}\mu$ .

Som en följd av förändringen av variablers formel för Lebesgue-måttet har vi det

Radon-Nikodym-derivat av pullbacken med avseende på Lebesgue-mått: ${\frac {dT^{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T|$
Radon-Nikodym-derivat av pushforwarden med avseende på Lebesgue-mått: ${\frac {dT_{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|$

Som vi kan få

Formeln för förändring av variabler för tillbakadragningsmått: $\int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}\mu =\int _{\Omega }g\circ T|{\text{det}}D_{x}T|dm(x)$
Formeln för förändring av variabler för pushforward-mått: $\int _{\Omega }gd\mu =\int _{T(\Omega )}g\circ TdT_{*}\mu =\int _{T(\Omega )}g \circ T|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|dm(x)$

Differentialekvationer

Variabla förändringar för differentiering och integration lärs ut i elementär kalkyl och stegen utförs sällan i sin helhet.

Den mycket breda användningen av variabeländringar är uppenbar när man överväger differentialekvationer, där de oberoende variablerna kan ändras med hjälp av kedjeregeln eller de beroende variablerna ändras vilket resulterar i att viss differentiering ska utföras. Exotiska förändringar, såsom blandning av beroende och oberoende variabler i punkt- och kontakttransformationer , kan vara mycket komplicerade men tillåter mycket frihet.

Mycket ofta ersätts en generell form för en förändring i ett problem och parametrar plockas ut längs vägen för att på bästa sätt förenkla problemet.

Skalning och skiftning

Förmodligen är den enklaste förändringen skalningen och förskjutningen av variabler, det vill säga att ersätta dem med nya variabler som "sträcks ut" och "flyttas" med konstanta mängder. Detta är mycket vanligt i praktiska tillämpningar för att få fysiska parametrar ur problem. För en n : ^e ordningen resulterar ändringen helt enkelt i

{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}={\frac {y_{\ text{scale}}}{x_{\text{scale}}^{n}}}{\frac {d^{n}{\hat {y}}}{d{\hat {x}}^{n }}}

var

x={\hat {x}}x_{\text{scale}}+x_{\text{shift}}

y={\hat {y}}y_{\text{scale}}+y_{\text{shift}}.

Detta kan lätt visas genom kedjeregeln och differentieringens linearitet. Denna förändring är mycket vanlig i praktiska tillämpningar för att få ut fysiska parametrar ur problem, till exempel gränsvärdesproblemet

\mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {dp}{dx}}\quad ;\quad u (0)=u(L)=0

beskriver parallellt vätskeflöde mellan plana solida väggar separerade med ett avstånd δ; μ är viskositeten och $dp/dx$ tryckgradienten , båda konstanterna. Genom att skala variablerna blir problemet

{\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\quad ;\quad {\hat {u}}(0)={\hat {u}}(1)=0

var

y={\hat {y}}L\qquad {\text{and}}\qquad u={\hat {u}}{\frac {L^{2}}{\mu }}{\ frac {dp}{dx}}.

Skalning är användbart av många anledningar. Det förenklar analysen både genom att minska antalet parametrar och genom att helt enkelt göra problemet snyggare. Korrekt skalning kan normalisera variabler, det vill säga få dem att ha ett vettigt enhetslöst område som 0 till 1. Slutligen, om ett problem kräver numerisk lösning, ju färre parametrar desto färre antal beräkningar.

Momentum vs. hastighet

Betrakta ett ekvationssystem

{\begin{aligned}m{\dot {v}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x} }\\[5pt]m{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial v}}\end{aligned}}

för en given funktion $H(x,v)$ . Massan kan elimineras genom den (triviala) substitutionen $\Phi (p)=1/m\cdot p$ . Detta är uppenbarligen en bijektiv karta från $\mathbb {R}$ till $\mathbb {R}$ . Under substitutionen $v=\Phi (p)$ blir systemet

{\begin{aligned}{\dot {p}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\ [5pt]{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}\end{aligned}}

Lagrangemekanik

Givet ett kraftfält ${\displaystyle \varphi (t,x,v)$ } , är Newtons rörelseekvationer

m{\ddot {x}}=\varphi (t,x,v).

Lagrange undersökte hur dessa rörelseekvationer förändras under en godtycklig substitution av variabler $x=\Psi (t,y)$ , $v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}}\cdot w.$

Han fann att ekvationerna

{\frac {\partial {L}}{\partial y}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t} }{\frac {\partial {L}}{\partial {w}}}

är ekvivalenta med Newtons ekvationer för funktionen ${\displaystyle L=TV} ,$ där T är kinetiken och V den potentiella energin.

Faktum är att när substitutionen är vald väl (utnyttjar till exempel symmetrier och begränsningar i systemet) är dessa ekvationer mycket lättare att lösa än Newtons ekvationer i kartesiska koordinater.

Se även