Mutation (Jordansk algebra)

Inom matematik är en mutation , även kallad en homotop , av en enhetlig Jordanalgebra en ny Jordanalgebra som definieras av ett givet element i Jordanalgebra. Mutationen har en enhet om och endast om det givna elementet är inverterbart, i vilket fall mutationen kallas en riktig mutation eller en isotop . Mutationer introducerades först av Max Koecher i hans Jordan algebraiska tillvägagångssätt till hermitiska symmetriska utrymmen och avgränsade symmetriska domäner av rörtyp. Deras funktionella egenskaper tillåter en explicit konstruktion av det motsvarande hermitiska symmetriska utrymmet av kompakt typ som en kompaktering av en finitdimensionell komplex halvenkel Jordanalgebra. Automorfismgruppen av kompaktifieringen blir en komplex undergrupp , komplexiseringen av dess maximala kompakta undergrupp . Båda grupperna agerar transitivt på kompakteringen. Teorin har utvidgats till att täcka alla hermitiska symmetriska utrymmen med hjälp av teorin om Jordan-par eller Jordan-trippelsystem . Koecher erhöll resultaten i det mer allmänna fallet direkt från Jordanalgebrafallet genom att använda det faktum att endast Jordanpar associerade med period två automorfismer av Jordanalgebra krävs.

Definitioner

Se även: Kvadratisk Jordanalgebra

Låt A vara en enhetlig Jordanalgebra över ett fält k med egenskap ≠ 2. För a i A definierar Jordan multiplikationsoperatorn på A med

$\displaystyle {L(a)b=ab}$

och den kvadratiska representationen Q ( a ) by

$Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).\,$

Det tillfredsställer

$Q(1)=I.\,$

den grundläggande identiteten

$\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a)}$

kommuterings- eller homotopiidentiteten

$\displaystyle {Q(a)R(b,a) =R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a),}$

var

$R(a,b)c=2Q(a,c)b,\,\,\,Q(x,y)={\frac {1}{2}}(Q(x+y)- Q(x)-Q(y)).$

I synnerhet om a eller b är inverterbart då

$\displaystyle {R(a,b)=2Q(a)Q(a^{-1},b)=2Q(a,b^{-1})Q(b).}$

Av detta följer att A med operationerna Q och R och identitetselementet definierar en kvadratisk Jordanalgebra , där en kvadratisk Jordanalgebra består av ett vektorrum A med ett distingerat element 1 och en kvadratisk karta av A till endomorfismer av A , a ↦ Q ( a ), som uppfyller villkoren:

• Q (1) = id
• Q ( Q ( a ) b ) = Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ) ("grundläggande identitet")
• Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) ("kommuterings- eller homotopi-identitet"), där R ( a , b ) c = ( Q ( a + c ) − Q ( a ) ) − Q ( c )) b

Jordan trippelprodukten definieras av

$\{a,b,c\}=(ab)c+(cb)a-(ac )b,\,$

så att

$Q(a)b=\{a,b,a\},\,\,\,Q(a,c)b=\{a,b,c\},\,\,\,R (a,b)c=\{a,b,c\}.\,$

Det finns också formlerna

$Q(a,b)=L(a)L(b)+L(b)L(a)-L(ab),\,\,\,R(a,b)=[L(a) ),L(b)]+L(ab).\,$

För y i A definieras mutationen A y till vektorrummet A med ^{multiplikation}

$a\circ b=\{a,y,b\}.\,$

Om Q ( y ) är inverterbar kallas det ömsesidiga en riktig mutation eller isotop .

Kvadratiska Jordan algebror

Huvudartikel: Kvadratisk Jordan algebra

Låt A vara en kvadratisk Jordanalgebra över ett fält k med karakteristik ≠ 2. Enligt Jacobson (1969) kan en linjär Jordanalgebrastruktur associeras med A så att, om L ( a ) är Jordanmultiplikation, så ges den kvadratiska strukturen genom Q ( a ) = 2 L ( a ) ² − L ( a ² ).

För det första kan axiomet Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) förstärkas till

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a).}$

I själva verket, tillämpat på c , ger de två första termerna

$\displaystyle {2Q(a)Q(b,c)a=2Q(Q(a)c,a)b.}$

Att byta b och c ger då

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=2Q(Q(a)b,a)c.}$

Låt nu

$\displaystyle {L(a)={\frac {1}{2}}R(a,1).}$

Att ersätta b med a och a med 1 i identiteten ovan ger

$\displaystyle {R(a,1)=R(1,a)=2Q(a,1).}$

Särskilt

$\displaystyle {L(a)=Q(a,1),\,\,\,L(1)=Q(1,1)=I.}$

Jordan-produkten ges av

$\displaystyle {a\circ b=L(a)b={\frac {1 }{2}}R(a,1)b=Q(a,b)1,}$

så att

$\displaystyle {a\circ b=b\circ a.}$

Formeln ovan visar att 1 är en identitet. Om du definierar a ² med a ∘ a = Q ( a )1, är det enda återstående villkoret som ska verifieras Jordan-identiteten

$\displaystyle {[L(a),L(a^{2})]=0.}$

I den grundläggande identiteten

$\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a), }$

Ersätt a med a + t 1, sätt b = 1 och jämför koefficienterna för t ² på båda sidor:

$\displaystyle {Q(a)=2Q(a,1)^{2}-Q(a^{2},1)=2L(a)^{2}-L(a^{2}) .}$

Inställning b = 1 i det andra axiomet ger

$\displaystyle {Q(a)L(a)=L(a)Q(a),}$

och därför måste L ( a ) pendla med L ( a ² ).

Inverser

Låt A vara en enhetlig Jordanalgebra över ett fält k med karakteristik ≠ 2. Ett element a i en enhetlig Jordanalgebra A sägs vara inverterbart om det finns ett element b så att ab = 1 och a ² b = a .

Egenskaper.

• a ^är Q ( a ) b2 =1 inverterbar om och endast om det finns ett element b så att Q ( a ) b = a och . I detta fall ab = 1 och a ² b = a .

Om ab = 1 och a ² b = a , så är Q ( a ) b = 2 a ( ab ) − ( a ² ) b = a . Jordans identitet [ L ( x ), L ( x ² )] = 0 kan polariseras genom att ersätta x med x + ty och ta koefficienten för t . Detta ger

$\displaystyle {[L(x^{2}),L(y)] +2[L(xy),L(x)]=0.}$

Att ta x = a eller b och y = b eller a visar att ⁽ L ( a2 ) pendlar L med a ) L ( b ) och ^. L ( b2 ) pendlar med Därför ( b ² )( a ² ) = 1 . Att tillämpa L ( b ) ger b ² a = b . Därför Q ( a ) b2 1 ^. = Omvänt om Q ( a ) b = a och Q ( a ) b ² = 1 , så ger den andra relationen Q ( a ) Q ( b ) ² Q ( a ) = I . Så både Q ( a ) och Q ( b ) är inverterbara. Den första ger Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ) = Q ( a ) så att Q ( a ) och Q ( b ) är varandras inverser. Eftersom L ( b ) pendlar med Q ( b ) pendlar den med sin inversa Q ( a ) . På samma sätt pendlar L ( a ) med Q ( b ) . Så ( a ² ) b = L ( b ) a ² = Q ( a ) b = a och ab = L ( b ) Q ( a ) b = Q ( a ) Q ( b ) 1= 1 .

• a är inverterbar om och om endast Q ( a ) definierar en bijektion på A. I så fall a ⁻¹ = Q ( a ) ⁻¹ a . I detta fall Q ( a ) ⁻¹ = Q ( a ⁻¹ ) .

Faktum är att om a är inverterbar så innebär ovanstående att Q ( a ) är inverterbar med invers Q ( b ) . Varje invers b uppfyller Q ( a ) b = a , så b = Q ( a ) ⁻¹ a . Omvänt om Q ( a ) är inverterbar låt b = Q ( a ) ⁻¹ a . Då är Q ( a ) b = a . Den grundläggande identiteten innebär då att Q ( b ) och Q ( a ) är varandras inverser så att Q ( a ) b ² = Q ( a ) Q ( b )1=1 .

• Om en invers existerar är den unik. Om a är inverterbar, betecknas dess invers med a ⁻¹ .

Detta följer av formeln a ⁻¹ = Q ( a ) ⁻¹ a .

• a är inverterbar om och endast om 1 ligger i bilden av Q ( a ) .

Antag att Q ( a ) c = 1 . Sedan Q ( a ) inverterbar genom den grundläggande identiteten, så a är inverterbar.

• Q ( a ) b är inverterbar om och endast om a och b är inverterbara, i vilket fall ( Q ( a ) b ) ⁻¹ = Q ( a ⁻¹ ) b ⁻¹ .

Detta är en omedelbar konsekvens av den grundläggande identiteten och det faktum att STS är inverterbart om och endast S och T är inverterbara.

• Om a är inverterbar så är Q ( a )L( a ⁻¹ ) = L ( a ) .

I kommuteringsidentiteten Q ( a ) R ( b , a ) = Q(Q( a ) b , a ) , sätt b = c ² med c = a ⁻¹ . Då är Q( a ) b = 1 och Q (1, a ) = L ( a ) . Eftersom L ( a ) pendlar med L ( c ² ) , R ( b , a ) = L ( c ) = L ( a ^-1 ) .

• a är inverterbar om och endast om det finns ett element b så att ab = 1 och [ L ( a ), L ( b )] = 0 ( a och b "pendlar"). I detta fall b = a ⁻¹ .

Om L ( a ) och L ( b ) pendlar, så innebär ba = 1 b ( a ² ) = a . Omvänt anta att a är inverterbart med invers b . Då ab = 1 . Morevoer L ( b ) pendlar med Q ( b ) och därmed dess inversa Q ( a ) . Så den pendlar med L ( a )= Q ( a ) L ( b ) .

• När A är ändlig dimensionell över k , är ett element a inverterbart om och endast om det är inverterbart i k [ a ] , i vilket fall a ⁻¹ ligger i k [ a ] .

Algebran k [ a ] ​​är kommutativ och associativ, så om b är en invers där ab =1 och a ² b = a . Omvänt lämnar Q ( a ) k [ a ] ​​invariant. Så om det är bijektivt på A är det bijektivt där. Således a ⁻¹ = Q ( a ) ⁻¹ a i k [ a ] ​​.

Elementära egenskaper hos korrekta mutationer

• Mutationen A ^y är enhetlig om och endast om y är inverterbar i vilket fall enheten ges av y ⁻¹ .
• Mutationen A ^y är en enhetlig Jordanalgebra om y är inverterbar
• Den kvadratiska representationen av A ^y ges av Q _y ( x ) = Q ( x ) Q ( y ) .

Faktum är att multiplikation i algebra A ^y ges av

$\displaystyle {a\circ b=\{a,y,b\},}$

så per definition är kommutativ. Det följer att

$\displaystyle {a\circ b=L_{y}(a)b,}$

med

$\displaystyle {L_{y}(a)=[L(a),L(y)]+L(ay).}$

Om e uppfyller a ∘ e = a , så ger det att ta a = 1

$\displaystyle {ye=1.}$

Att ta a = e ger

$\displaystyle {e(ya)=y(ea)}$

så att L ( y ) och L ( e ) pendlar. Därför y inverterbar och e = y ⁻¹ .

Nu för y inverterbara set

$\displaystyle {Q_{y}(a)=Q(a)Q(y),\,\,\,R_{y}(a,b)=R(a,Q(y)b). }$

Sedan

$\displaystyle {Q_{y}(e)=Q_{y}(y^{-1})=Q(y^{-1})Q(y)=I.}$

Dessutom,

$\displaystyle {Q_{y}(a)Q_{y}(b)Q_{y}(a)=Q(a)Q(y)Q(b)Q(y)Q(a)Q( y)=Q(a)Q(Q(y)b)Q(a)Q(y)=Q(Q(a)Q(y)b)Q(y)=Q_{y}(Q_{y} (a)b).}$

Till sist

$\displaystyle {Q(y)R(c,Q(y) d)Q(y)^{-1}=R(Q(y)c,d),}$

eftersom

$\displaystyle {Q(y)R(c,Q(y)d)x=2Q(y)Q(c,x)Q(y)d=2Q(Q(y)c,Q(y) x)d=R(Q(y)c,d)Q(y)x.}$

Därav

$\displaystyle {Q_{y}(a)R_{y}(b,a)=Q(a)Q(y)R(b,Q(y)a)=Q(y^{-1} )Q(Q(y)a)R(b,Q(y)a)=Q(y)^{-1}R(Q(y)a,b)Q(Q(y)a)=R_{ y}(a,b)Q_{y}(a).}$

Således ( A , Q ^y , y ⁻¹ ) är en enhetlig kvadratisk Jordanalgebra. Den motsvarar därför en linjär Jordanalgebra med den associerade Jordanmultiplikationsoperatorn M ( a ) given av

$\displaystyle {M(a)b={\frac {1}{2}}R_{y}(a,e)b={\frac {1}{2}}R(a,Q(y )e)b={\frac {1}{2}}R(a,y)b=\{a,y,b\}=L_{y}(a)b.}$

Detta visar att operatorerna L _y ( a ) uppfyller Jordan-identiteten så att den korrekta mutationen eller isotopen A ^y är en enhetlig Jordan-algebra. Överensstämmelsen med kvadratiska Jordanalgebror visar att dess kvadratiska representation ges av Q _y .

Icke-enhetliga mutationer

Definitionen av mutation gäller även för icke-inverterbara element y . Om A är finitdimensionell över R eller C är inverterbara element a i A täta, eftersom inverterbarhet är ekvivalent med villkoret att det Q ( a ) ≠ 0. Så genom kontinuitet innebär Jordan-identiteten för korrekta mutationer Jordan-identiteten för godtycklig mutationer. I allmänhet kan Jordan-identiteten härledas från Macdonalds teorem för Jordan-algebror eftersom den bara involverar två delar av Jordan-algebra. Alternativt kan Jordan-identiteten härledas genom att realisera mutationen inuti en enhetlig kvadratisk algebra.

För a i A definiera en kvadratisk struktur på A ₁ = A ⊕ k by

$\displaystyle {Q_{1}(a\oplus \alpha 1)(b\oplus \beta 1)=\alpha ^{2}\beta 1\oplus [\alpha ^{2}a+\alpha ^{ 2}b+2\alpha \beta a+\alpha \{a,y,b\}+\beta Q(a)y+Q(a)Q(y)b].}$

Det kan sedan verifieras att ( A ₁ , Q ₁ , 1 ) är en enhetlig kvadratisk Jordanalgebra. Den enhetliga Jordanalgebra som den motsvarar har A ^y som ideal, så att i synnerhet A ^y tillfredsställer Jordans identitet. Identiteterna för en enhetlig kvadratisk Jordanalgebra följer av följande kompatibilitetsegenskaper för den kvadratiska kartan Q _y ( a ) = Q ( a ) Q ( y ) och kvadraturkartan S _y ( a ) = Q ( a ) y :

• Ry ( a , a ) = Ly ₍ Sy ( a ) _{) .}
• [ Q _y ( a ), L _y ( a )] = 0.
• Qy ( a ) Sy ( a ) = Sy ( _Sy ( _{a ) )} . _
• Q _y ∘ S _y = S _y ∘ Q _y .
• Q _y ( a ) Q _y ( b ) Sy ₍ a ) = Sy ₍ Q y ( a ) _b ) .
• Q _y ( Q _y ( a ) b ) = Q _y ( a ) Q _y ( b ) Q _y ( a ) .

Huas identitet

Låt A vara en enhetlig Jordanalgebra. Om a , b och a – b är inverterbara, gäller Huas identitet :

$\displaystyle {a^{-1}=(ab)^{-1}+(aQ(a)b^{-1})^{-1}=(ab)^{-1}+Q (a)^{-1}(a^{-1}-b^{-1})^{-1}.}$

I synnerhet om x och 1 – x är inverterbara, så är det också 1 – x ⁻¹ med

$\displaystyle {(1-x)^{-1}+(1-x^{-1})^{- 1}=1.}$

För att bevisa identiteten för x , sätt y = (1 – x ) ⁻¹ . Då är L ( y ) = Q (1 – x ) ⁻¹ L (1 – x ) . Således L ( y ) med L ( x ) och Q ( x ) . Eftersom Q ( y ) = Q ( 1 -- x ) ⁻¹ , pendlar den också med L ( x ) och Q ( x ) . Eftersom L ( x ⁻¹ ) = Q ( x ) ^−1L ( x ) , pendlar L ( y ) också med L ( x ⁻¹ . ) och Q ( x ⁻ ) 1

Det följer att ( x ⁻¹ – 1) xy =(1 – x ) y = 1 . Dessutom är y – 1 = xy eftersom (1 – x ) y = 1 . Så L ( xy ) pendlar med L ( x ) och därmed L ( x ⁻¹ – 1) . Således 1 – x ⁻¹ invers 1 – y .

Låt nu A ^a vara mutationen av A definierad av a . Identitetselementet för A ^a är a ⁻¹ . Dessutom är ett inverterbart element c i A också inverterbart i A ^a med invers Q ( a ) ⁻¹ c ⁻¹ .

Låt x = Q ( a ) ⁻¹ b i A ^a . Den är inverterbar i A , liksom a ⁻¹ – Q ( a ) ⁻¹ b = Q ( a ) ⁻¹ ( a – b ) . Så genom det speciella fallet av Huas identitet för x i A ^a

$\displaystyle {a^{-1}=Q(a)^{-1}(a^{-1}-Q(a)^{-1}b)^{-1}+Q(a )^{-1}(a^{-1}-b^{-1})^{-1}=(ab)^{-1}+(aQ(a)b^{-1})^{ -1}.}$

Bergman operatör

Om A är en enhetlig Jordanalgebra, definieras Bergman-operatorn för a , b i A by

$\displaystyle {B(a,b)=IR(a,b)+Q(a)Q(b).}$

Om a är inverterbar då

$\displaystyle {B(a,b)=Q(a)Q(a^{-1}-b);}$

medan om b är inverterbar då

$\displaystyle {B(a,b)=Q(ab^{-1})Q(b).}$

Faktum är att a är inverterbar

Q ( a ) Q ( a ⁻¹ − b ) = Q ( a )[ Q ( a ⁻¹ − 2 Q ( a ⁻¹ , b ) + Q ( b )]= I − 2 Q ( a ) Q( a ⁻¹ , b ) + Q ( a ) Q ( b ) = I − R ( a , b ) + Q ( a ) Q ( b )

och på liknande sätt om b är inverterbar.

Mer generellt uppfyller Bergman-operatören en version av kommuterings- eller homotopiidentiteten:

$\displaystyle {B(a,b)Q(a)=Q (a)B(b,a)=Q(aQ(a)b)}$

och en version av den grundläggande identiteten:

$\displaystyle {Q(B(a,b)c)=B(a,b)Q(c)B(b,a).}$

Det finns också en tredje mer teknisk identitet:

$\displaystyle {2Q(B(a,b)c,aQ(a)b)=B(a,b)(2Q(a,c)-R(c,b)Q(a))=( 2Q(a,c)-Q(a)R(b,c))B(b,a).}$

Kvasi-inverterbarhet

Låt A vara en ändlig dimensionell jordansk algebra över ett fält k med karakteristik ≠ 2. För ett par ( a , b ) med a och a ⁻¹ − b definieras inverterbar

$\displaystyle {a^{b}=(a^{-1}-b)^{-1}.}$

I detta fall definierar Bergmanoperatorn B ( a , b ) = Q ( a ) Q ( a ⁻¹ − b ) en inverterbar operator på A och

$\displaystyle {a^{b}=B(a,b)^{-1}(aQ(a)b).}$

Faktiskt

$\displaystyle {B(a,b)^{-1}(aQ(a)b)=Q(a^{b})Q(a^{-1})(aQ(a)b)= Q(a^{b})(a^{b})^{-1}=a^{b}.}$

a ⁻¹ − b − c per definition inverterbar om och endast om ( a ^b ) ⁻¹ − c är inverterbar. Isåfall

$\displaystyle {a^{b+c}=(a^{b})^{c}.}$

Verkligen,

$\displaystyle {a^{b+c}=((a^{-1}-b)-c)^{-1}=((a^{b})^{-1}-c) ^{-1}=(a^{b})^{c}.}$

Antagandet att a är inverterbar kan släppas eftersom a ^b kan definieras endast under förutsättning att Bergman-operatorn B ( a , b ) är inverterbar. Paret ( a , b ) sägs då vara kvasi-inverterbart . I så fall a ^b av formeln

$\displaystyle {a^{b}=B(a,b)^{-1}(aQ(a)b).}$

Om B ( a , b ) är inverterbar så är B ( a , b ) c = 1 för vissa c . Den grundläggande identiteten innebär att B ( a , b ) Q ( c ) B ( b , a ) = I. Så genom ändlig dimensionalitet är B ( b , a ) inverterbar. Således ( a , b ) inverterbar om och endast om ( b , a ) är inverterbar och i detta fall

$\displaystyle {a^{b}=a+Q(a)b^{a}.}$

Faktiskt

B ( a , b )( a + Q ( a ) b ^a ) = a − 2 R ( a , b ) a + Q ( a ) Q ( b ) a + Q ( a )( b − Q ( b ) a ) = a − Q ( a ) b ,

så formeln följer genom att tillämpa B ( a , b ) ⁻¹ på båda sidor.

Som tidigare är ( a , b + c ) kvasi-inverterbar om och endast om ( a ^b , c ) är kvasi-inverterbar; och i så fall

$\displaystyle {a^{b+c}=(a^{b})^{c}.}$

Om k = R eller C , skulle detta följa av kontinuitet från specialfallet där a och a ⁻¹ − b var inverterbara. I allmänhet kräver beviset fyra identiteter för Bergman-operatören:

• $\displaystyle {B(a,b)Q(a^{b})=Q (a^{b})B(b,a)=Q(a)}$
• $\displaystyle {B(a,b)Q(a^{b},c)+Q(a)R(b,c)=Q(a^{b},c) B(b,a)+R(c,b)Q(a)=Q(a,c)}$
• $\displaystyle {B(a,b)R(a^{b) },c)=R(a,c)-2Q(a)Q(b,c)}$
• $\displaystyle {B(a,b)B(a^{b},c)=B(a,b +c)}$

Q på identiteten B ( a , b ) a ^b = a − Q ( a ) b ger faktiskt

$\displaystyle {B(a,b)Q(a^{b})B(b,a)=B(a,b)Q(a)=Q(a)B(b,a).}$

Den första identiteten följer genom att avbryta B ( a , b ) och B ( b , a ) . Den andra identiteten följer av liknande annullering i

B ( a , b ) Q ( a ^b , c ) B ( b , a ) = Q ( B ( a , b ) a ^b , B ( a , b ) c ) = Q ( a − Q ( a ) b , B ( a , b ) c ) = B ( a , b ) ( Q ( a , c ) − R ( c , b ) Q ( a )) = ( Q ( a , c ) − Q ( a ) R ( b ) , c ) ) B ( b , a ) .

Den tredje identiteten följer genom att tillämpa den andra identiteten på ett element d och sedan byta rollerna för c och d . Den fjärde följer eftersom

B ( a , b ) B ( a ^b , c ) = B ( a , b )( I − R ( a ^b , c ) + Q ( a ^b ) Q ( c )) = I − R ( a , b + c ) + Q ( a ) Q ( b + c ) = B ( a , b + c ) .

Faktum är att Ab ⁽ a , b ) är kvasi-inverterbar om och endast om a är kvasi-inverterbar i mutationen . Eftersom denna mutation kanske inte nödvändigtvis är enhetlig betyder det att när en identitet är adjoint 1 − blir a inverterbar i A ^b ⊕ k 1 . Detta tillstånd kan uttryckas enligt följande utan att nämna mutationen eller homotopen:

( a , b ) är kvasi-inverterbar om och endast om det finns ett element c så att B ( a , b ) c = a − Q ( a ) b och B ( a , b ) Q ( c ) b = Q ( a ) b . I detta fall c = a ^b .

Faktum är att om ( a , b ) är kvasi-inverterbar, så uppfyller c = a ^b den första identiteten per definition. Den andra följer eftersom B ( a , b ) Q ( a ^b ) = Q ( a ) . Omvänt anger villkoren att i A ^b ⊕ k 1 innebär villkoren att 1 + c är inversen av 1 − a . Å andra sidan, ( 1 − a ) ∘ x = B ( a , b ) x för x i A ^b . Därför B ( a , b ) inverterbar.

Ekvivalensförhållande

Låt A vara en finitdimensionell enhetlig Jordanalgebra över ett fält k med karakteristik ≠ 2. Två par ( a _i , b _i ) med en _i invertibel sägs vara ekvivalenta om ( a ₁ ) ⁻¹ − b ₁ + b ₂ är inverterbar och a ₂ = ( a ₁ ) ^{b ₁ − b ₂} .

Detta är en ekvivalensrelation, eftersom om a är inverterbar ⁰ a = a så att ett par ( a , b ) är ekvivalent med sig själv. Den är symmetrisk eftersom a ₁ = ( a ₂ ) ^{b ₂ − b ₁} från definitionen . Det är transitivt. För anta att ( a ₃ , b ₃ ) är ett tredje par med ( a ₂ ) ⁻¹ − b ₂ + b ₃ inverterbar och a ₃ = ( a ₂ ) ^{b ₂ − b ₃} . Från ovan

$\displaystyle {a_{1} ^{-1}-b_{1}+b_{3}=(a_{1}^{-1}-b_{1}+b_{2})-b_{2}+b_{3}=a_{ 2}^{-1}-b_{2}+b_{3}}$

är inverterbar och

$\displaystyle {a_{3}=a_{2}^{b_{2}-b_{3}}=(a_{1}^{b_{1}-b_{2}})^{b_{ 2}-b_{3}}=a_{1}^{b_{1}-b_{3}}.}$

När det gäller kvasi-invertibilitet kan denna definition utvidgas till fallet där a och a ⁻¹ − b inte antas vara inverterbara.

Två par ( a _i , b _i ) sägs vara ekvivalenta om ( a ₁ , b ₁ − b ₂ ) är kvasi-inverterbar och a ₂ = ( a ₁ ) ^{b ₁ − b ₂} . När k = R eller C kan det faktum att denna mer allmänna definition också ger en ekvivalensrelation härledas från det inverterbara fallet genom kontinuitet. För allmän k kan den också verifieras direkt:

• Relationen är reflexiv eftersom ( a ,0) är kvasi-inverterbar och ⁰ a = a .
• Relationen är symmetrisk, eftersom a ₁ = ( a ₂ ) ^{b ₂ − b ₁} .
• Relationen är transitiv. För anta att ( a ₃ , b ₃ ) är ett tredje par med ( a ₂ , b ₂ − b ₃ ) kvasi-inverterbar och a ₃ = ( a ₂ ) ^{b ₂ − b ₃} . I detta fall

$\displaystyle {B(a_{1},b_{ 1}-b_{3})=B(a_{1},b_{1}-b_{2})B(a_{2},b_{2}-b_{3}),}$

så att ( a ₁ , b ₁ − b ₃ ) är kvasi-inverterbar med

$\displaystyle {a_{3}=a_{2}^{b_{2}-b_{3}}=(a_{1}^{b_{1}-b_{2}})^{b_{ 2}-b_{3}}=a_{1}^{b_{1}-b_{3}}.}$

Ekvivalensklassen för ( a , b ) betecknas med ( a : b ) .

Strukturera grupper

Se även: Strukturgrupp (Jordan algebra)

Låt A vara en ändlig dimensionell komplex halvenkel enhetlig Jordanalgebra. Om T är en operator på A , låt T ^t vara dess transponering med avseende på spårformen. Alltså L ( a ) ^t = L ( a ) , Q ( a ) ^t = Q ( a ) , R ( a , b ) ^t = R ( b , a ) och B ( a , b ) ^t = B ( b , a ) . Strukturgruppen av A GL( A består av g i ) så att

$\displaystyle {Q(ga)=gQ(a)g^{t}.}$

De bildar en grupp Γ( A ) . Automorfismgruppen Aut A av A består av inverterbara komplexa linjära operatorer g så att L ( ga ) = gL ( a ) g ⁻¹ och g1 = 1. Eftersom en automorfism g bevarar spårformen, g ⁻¹ = g ^t .

• Strukturgruppen är sluten under att transponera g ↦ g ^t och adjoints g ↦ g *.
• Strukturgruppen innehåller automorfismgruppen. Automorfismgruppen kan identifieras med stabilisatorn 1 i strukturgruppen.
• Om a är inverterbar ligger Q ( a ) i strukturgruppen.
• Om g är i strukturgruppen och a är inverterbar är ga också inverterbar med ( ga ) ⁻¹ = ( g ^t ) ⁻¹ a ⁻¹ .
• Strukturgruppen Γ( A ) verkar transitivt på mängden inverterbara element i A .
• Varje g i Γ( A ) har formen g = h Q ( a ) med h en automorfism och en invertibel.

Den komplexa Jordanalgebra A är komplexiseringen av en verklig euklidisk Jordanalgebra E , för vilken spårformen definierar en inre produkt. Det finns en associerad involution a ↦ a * på A som ger upphov till en komplex inre produkt på A . Enhetsstrukturgruppen Γ _u ( A ) är undergruppen av Γ( A ) som består av enhetsoperatorer, så att Γ _u ( A ) = Γ( A ) ∩ U A ) ( . Identitetskomponenten för Γ _u ( A ) betecknas med K . Det är en sammankopplad sluten undergrupp av U( A ) .

• Stabilisatorn för 1 i Γ u ₍ A ) är Aut E.
• Varje g i Γ _u ( A ) har formen g = h Q ( u ) med h i Aut E och u inverterbar i A med u * = u ⁻¹ .
• Γ( A ) är komplexbildningen av Γ _u ( A ).
• Mängden S av inverterbara element u i A så att u * = u ⁻¹ kan karakteriseras ekvivalent antingen som de u för vilka L ( u ) är en normaloperator med uu * = 1 eller som de u av formen exp ia för några a i E . Särskilt S är ansluten.
• Identitetskomponenten för Γ _u ( A ) verkar transitivt på S
• Givet en Jordan-ram ( e _i ) och v i A , finns det en operator u i identitetskomponenten för Γ _u ( A ) så att uv = Σ α _i e _i med α _i ≥ 0. Om v är inverterbar, då α _jag > 0.

Strukturgruppen Γ( A ) verkar naturligt på X . För g i Γ( A ), sätt

$\displaystyle {g(a,b)=(ga,(g^{t})^{-1}b).}$

Då är ( x , y ) kvasi-inverterbar om och endast om ( gx ,( g ^t ) ⁻¹ y ) är kvasi-inverterbar och

$\displaystyle {g(x^{y})=(gx)^{(g^{t})^{-1}y}.}$

Faktum är att kovariansrelationerna för g med Q och inversen antyder det

$\displaystyle {gB(x,y)g^{-1}=B(gx,(g^ {t})^{-1}y)}$

om x är inverterbar och så överallt efter densitet. Detta innebär i sin tur relationen för kvasi-inversen. Om a är inverterbar så ligger Q ( a ) i Γ( A ) och om ( a , b ) är kvasi-inverterbar ligger B ( a , b ) i Γ( A ). Så båda typerna av operatörer agerar på X .

De definierande relationerna för strukturgruppen visar att den är en sluten undergrupp av ${\mathfrak {g}}_{0}$ av GL( A ) . Eftersom Q ( e ^a ​​) = e ^{2 L ( a )} , innehåller motsvarande komplexa Lie algebra operatorerna L ( a ) . Kommutatorerna [ L ( a ), L ( b )] spänner över den komplexa Lie-algebra av härledningar av A . Operatörerna R ( a , b ) = [ L ( a ), L ( b )] + L ( ab ) spänner över ${\mathfrak {g}}_{0}$ och uppfyller R ( a , b ) ^t = R ( b , a ) och [ R ( a , b ), R ( c , d )] = R ( R ( a , b ) c , d ) − R ( c , R ( b , a ) d ) .

Geometriska egenskaper hos kvotutrymme

Låt A vara en finitdimensionell komplex enhetlig Jordanalgebra som är semisenkel , dvs. spårformen Tr L ( ab ) är icke-degenererad. Låt X vara kvoten av A × A genom ekvivalensrelationen. Låt X _b vara delmängden av X av klasser ( a : b ) . Kartan φ _b : X _b → A , ( a : b ) ↦ a är injektiv. En delmängd U av X definieras som öppen om och endast om U ∩ X _b är öppen för alla b .

X är en komplex mångfald .

Atlasens övergångskartor med _ges diagram φ b av

$\displaystyle {\varphi _{cb}=\varphi _{c}\circ \varphi _{b}^{-1}:\varphi _{b}(X_{b}\cap X_{c} )\rightarrow \varphi _{c}(X_{b}\cap X_{c}).}$

och är injektiva och holomorfa sedan

$\displaystyle {\varphi _{cb}(a)=a^{bc}}$

med derivat

$\displaystyle {\varphi _{cb}^{\prime }(a)=B(a,bc)^{-1}.}$

Detta definierar strukturen för ett komplext grenrör på X eftersom φ _dc ∘ φ _cb = φ _db på φ _b ( X _b ∩ X _c ∩ X _d ) .

Givet en ändlig uppsättning punkter ( a _i : b _i ) i X , ingår de i ett gemensamt X _b .

_{. Faktum är att} alla pi ( b ) = det B ( ai , bi _- b ) är polynomfunktioner pi ( b _{i icke} = 1 -triviala eftersom ) Därför finns det ett b så att p _i ( b ) ≠ 0 för all i , vilket är just kriteriet för att ( a _i : b _i ) ska ligga i X _b .

X är kompakt.

Loos (1977) använder Bergman-operatorerna för att konstruera en explicit biholomorfism mellan X och en sluten slät algebraisk subvarietet av komplext projektivt rum . Detta innebär i synnerhet att X är kompakt. Det finns ett mer direkt bevis på kompakthet med hjälp av symmetrigrupper.

₀₀₀₀ Givet en Jordan-ram ( e _i ) i E , för varje a i A finns det ett k i U = Γ _u ( A ) så att a = k (Σ α _i e _i ) med α _i ≥ 0 (och α _i > 0 om a är inverterbar). Faktum är att om ( a , b ) är i X så är det ekvivalent med k ( c , d ) med c och d i den enhetliga Jordaniska subalgebra A _e = ⊕ C e _i , vilket är komplexiseringen av E _e = ⊕ R e _jag . Låt Z vara det komplexa grenröret konstruerat för A _e . Eftersom A _e är en direkt summa av kopior av C , är Z bara en produkt av Riemann-sfärer, en för varje e _i . I synnerhet är den kompakt. Det finns en naturlig karta över Z till X som är kontinuerlig. Låt Y vara bilden av Z . Den är kompakt och sammanfaller därför med stängningen av Y = A _e ⊂ A = X . Uppsättningen U ⋅ Y är den kontinuerliga bilden av den kompakta uppsättningen U × Y . Den är därför kompakt. Å andra sidan U ⋅ Y = X , så den innehåller en tät delmängd av X och måste därför sammanfalla med X . Så X är kompakt.

Ovanstående argument visar att varje ( a , b ) i X är ekvivalent med k ( c , d ) med c och d i A _e och k i Γ _u ( A ) . Mappningen av Z till X är i själva verket en inbäddning. Detta är en följd av att ( x , y ) är kvasi-inverterbar i A _e om och endast om den är kvasi-inverterbar i A . Faktum är att om B ( x , y ) är injektiv på A är dess begränsning till A _e också injektiv. Omvänt innebär de två ekvationerna för kvasi-inversen i A _e att den också är en kvasi-invers i A .

Möbiusförvandlingar

Låt A vara en ändlig dimensionell komplex halvenkel enhetlig Jordanalgebra. Gruppen SL(2, C ) verkar genom Möbius-transformation på Riemann-sfären C ∪ {∞}, enpunktskomprimeringen av C . Om g i SL(2, C ) ges av matrisen

$\displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},}$

sedan

$\displaystyle {g(z)=(\alpha z+\beta )(\gamma z+\delta )^{-1}.}$

Det finns en generalisering av denna verkan av SL(2, C ) till A och dess kompaktering X . För att definiera denna åtgärd, notera att SL(2, C ) genereras av de tre undergrupperna av nedre och övre entriangulära matriser och de diagonala matriserna. Den genereras också av de nedre (eller övre) entriangulära matriserna, de diagonala matriserna och matrisen

$\displaystyle {J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

Matrisen J motsvarar Möbius-transformationen j ( z ) = − z ⁻¹ och kan skrivas

$\displaystyle {J={\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\ -1&1\end{pmatrix}}.}$

Möbius-transformationerna som fixerar ∞ är bara de övre triangulära matriserna. Om g inte fixar ∞, skickar den ∞ till en ändlig punkt a . Men då g vara sammansatt med en övre enhetstriangulär för att skicka a till 0 och sedan med J för att skicka 0 till oändlighet.

För ett element a av A definieras verkan av g i SL(2, C ) av samma formel

$\displaystyle {g(a)=(\alpha a+\beta 1)(\gamma a+\delta 1)^{-1}.}$

Detta definierar ett element av C [ a ] ​​förutsatt att γ a + δ1 är inverterbart i A . Handlingen definieras alltså överallt på A om g är övre triangulär. Å andra sidan är åtgärden på X enkel att definiera för lägre triangulära matriser.

• För diagonala matriser g med diagonala poster A ^α och α −1 ^är g ( a , b ) = (α ² a , α ⁻² b ) en väldefinierad holomorf verkan på 2 som övergår till kvoten X . På ₀ X = A stämmer det överens med Möbius-åtgärden.
• För lägre entriangulära matriser, med off-diagonal parameter γ, definiera g ( a , b ) = ( a , b − γ1) . Återigen är detta holomorft på A ² och går över till kvoten X . När b = 0 och γ ≠ 0 ,

${\displaystyle \displaystyle {g(a:0)=(a:-\ gamma )=(a^{-\gamma }:0)=(a(\gamma a+1)^{-1}:0)}} om γ a + 1 är inverterbar, så detta$

är en förlängning av Möbius handling. För övre entriangulära matriser, med off-diagonal parameter β,

• definieras verkan på ₀ X = ( A :0) ​​av g ( a ,0) = ( a + β1) . Loos (1977) visade att detta definierade ett komplext enparameterflöde på A . Det motsvarande holomorfa komplexa vektorfältet sträckte sig till X , så att verkan på det kompakta komplexa grenröret X kunde definieras av det associerade komplexa flödet. En enklare metod är att notera att operatorn J kan implementeras direkt genom att använda dess sammanflätade relationer med den enhetliga strukturgruppen.

Faktum är att på de inverterbara elementen i A , uppfyller operatorn j ( a ) =−a −1 ^j ( ga ) =( g ^t ) ⁻¹ j ( a ) . För att definiera en biholomorfism j på X så att j ∘ g = ( g ^t ) ⁻¹ ∘ j , räcker det att definiera dessa för ( a : b ) i någon lämplig omloppsbana av Γ( A ) eller Γ _u ( A ). Å andra sidan, som indikerat ovan, givet en Jordan-ram ( e _i ) i E , för varje a i A finns det ett k i U = Γ _u ( A ) så att a = k (Σ α _i e _i ) med α _i ≥ 0 .

Beräkningen av j i den associativa kommutativa algebra A _e är enkel eftersom det är en direkt produkt. För c = Σ α _i e _i och d = Σ β _i e _i , har Bergman-operatorn på A _e determinanten det B ( c , d ) = Π(1 − α _i β _i ) ² . I synnerhet det B ( c , d − λ) ≠ 0 för vissa λ ≠ 0. Så att ( c , d ) är ekvivalent med ( x ,λ) . Låt μ = −λ ⁻¹ . På A , för en tät mängd av a , är paret ( a ,λ) ekvivalent med ( b ,0) med b inverterbar. Då (− b ⁻¹ ,0) ekvivalent med (μ − μ ² a ,μ) . Eftersom a ↦ μ − μ ² a är holomorf följer det att j har en unik kontinuerlig förlängning till X så att j ∘ g = ( g ^t ) ⁻¹ ∘ j för g i Γ( A ) , förlängningen är holomorf och för λ ≠ 0 , μ = −λ ⁻¹

$\displaystyle {j(a,\lambda )=(\mu -\mu ^{2}a,\mu ).}$

De holomorfa transformationerna som motsvarar övre entriangulära matriser kan definieras genom att använda det faktum att de är konjugat av J av lägre entriangulära matriser, för vilka verkan redan är känd. En direkt algebraisk konstruktion ges i Dineen, Mackey & Mellon (1999) .

Denna åtgärd av SL(2, C ) är kompatibel med inneslutningar. Mer allmänt om e ₁ , ..., e _m är en Jordan-ram, finns det en verkan av SL(2, C ) ^m på A _e som sträcker sig till A . Om c = Σ γ _i e _i och b = Σ β _i e _i , så ger S ( c ) och T ( b ) verkan av produkten av de nedre och övre entriangulära matriserna. Om a = Σ α _i e _{i är} inverterbar W = Q ( a ) , fungerar motsvarande produkt av diagonala matriser som . I synnerhet ger de diagonala matriserna en verkan av ( C *) ^m och T ^m .

Holomorf symmetrigrupp

Låt A vara en ändlig dimensionell komplex halvenkel enhetlig Jordanalgebra. Det finns en transitiv holomorf verkan av en komplex matrisgrupp G på det kompakta komplexa grenröret X. Koecher (1967) beskrev G analogt med SL(2, C ) i termer av generatorer och relationer. G verkar på motsvarande änddimensionella Lie-algebra av holomorfa vektorfält begränsade till ₀ X = A , så att G realiseras som en sluten matrisgrupp. Det är komplexiseringen av en kompakt Lie-grupp utan centrum, alltså en halvenkel algebraisk grupp. Identitetskomponenten H i den kompakta gruppen verkar transitivt på X , så att X kan identifieras som ett hermitiskt symmetriskt utrymme av kompakt typ.

Gruppen G genereras av tre typer av holomorf transformation på X :

• Operatorer W som motsvarar elementen W i Γ( A ) givet av W ( a , b ) = ( Wa , ( W ^t ) ⁻¹ b ) . Dessa har redan beskrivits ovan. På ₀ X = A ges de av a ↦ Wa .
• Operatörer Sc definieras av Sc ( a , b ) = ( a b + c ₎ . _, Dessa är analogen till lägre entriangulära matriser och bildar en subgrupp som är isomorf till den additiva gruppen av A , med den givna parametriseringen. Återigen verkar dessa holomorfiskt på A ² och handlingen övergår till kvoten X . På A ges åtgärden av a ↦ a ^c om ( a , c ) är kvasi-inverterbar.
• Transformationen j som motsvarar J i SL(2, C ) . Den konstruerades ovan som en del av verkan av PSL(2, ) = SL(2, C )/{±I C } på X. På inverterbara element i A ges den av a ↦ − a ⁻¹ .

Operatörerna W normaliserar gruppen av operatorer Sc _. På liknande sätt normaliserar operatorn j strukturgruppen, j ∘ W = ( W ^t ) ⁻¹ ∘ j . Operatörerna T _c = j ∘ S _{− c} ∘ j bildar också en grupp holomorfa transformationer som är isomorfa till den additiva gruppen av A . De generaliserar den övre entriangulära undergruppen av SL(2, C ) . Denna grupp normaliseras av operatörerna W i strukturgruppen. Operatören T _c verkar på A som a ↦ a + c . Om c är en skalär sammanfaller operatorerna Sc ₎ och Tc ₍ med operatorerna som motsvarar nedre och övre entriangulära matriser i 2, C SL . Följaktligen finns det ett samband j = S ₁ ∘ T ₁ ∘ S ₁ och PSL(2, C ) är en undergrupp av G . Loos (1977) definierar operatorerna Tc _X i termer av flödet associerat med ett holomorft vektorfält på , medan Dineen, Mackey & Mellon (1999) ger en direkt algebraisk beskrivning.

G verkar transitivt på X .

Faktum är a : b ) _. att _SbTa ( 0:0) = (

Låt G ₋₁ och G _{+1 vara de komplexa} abelska grupperna som bildas av symmetrierna T _c respektive Sc _. Låt ₀ G = Γ( A ) .

$\displaystyle {G=G_{0}G_{+1}G_{-1}G_{+1}=G_{0}G_{-1}G_{+1}G_{-1}.}$

De två uttrycken för G är ekvivalenta enligt följande genom att konjugera med j .

För en inverterbar kan Huas identitet skrivas om

$\displaystyle {Q(a)=T_{a}\circ j\circ T_{a^{-1}}\circ j\circ T_{a}\circ j.}$

Dessutom är j = S ₁ ∘ T ₁ ∘ S ₁ och Sc = j ∘ T _{− c} ∘ j _.

Konvariansrelationerna visar att elementen i G faller in i mängder ₀ G G ₁ , ₀ G G ₁ jG ₁ , ₀ G G ₁ jG ₁ jG ₁ , ₀ G G ₁ jG ₁ jG ₁ jG ₁ . ... Det första uttrycket för G följer när det är fastställt att inga nya element dyker upp i den fjärde eller efterföljande mängderna. För detta räcker det att visa det

₀ j ∘ G ₁ ∘ j ∘ G ₁ ∘ j ⊆ G G ₁ ∘ j ∘ G ₁ ∘ j ∘ G ₁ .

För sedan om det finns tre eller flera förekomster av j , kan talet reduceras rekursivt till två. Givet a , b i A , välj λ ≠ 0 så att c = a − λ och d = b − λ ⁻¹ är inverterbara. Sedan

$\displaystyle {jT_{a}jT_{b}j=jT_{c}T_{\lambda }jT_{\lambda ^{-1}}T_{d}\circ j=\lambda ^{2}jT_{c}jT_{-\lambda }jT_{d}\ j=\lambda ^{2}T_{ -c^{-1}}jQ(c^{-1})T_{-c^{-1}-\lambda -d^{-1}}jQ(d^{-1})jT_{-d ^{-1}},}$

som ligger i ₀ G G ₁ ∘ j ∘ G ₁ ∘ j ∘ G ₁ .

Stabilisatorn för (0:0 ) i G är ₀ GG ₋₁ .

Det räcker att kontrollera att om S _a T _b (0:0) = (0:0) så är b = 0 . Om så är fallet ( b :0) = (0: − a ) = (0:0) , så är b = 0 .

Utbytesrelationer

G genereras av G _±1 .

För en inverterbar kan Huas identitet skrivas om

$\displaystyle {Q(a)=T_{a}\circ j\circ T_{a^{-1}}\circ j\circ T_{a}\circ j.}$

Eftersom j = S ₁ ∘ T ₁ ∘ S ₁ tillhör operatorerna Q ( a ) gruppen som genereras av G _±1 .

För kvasi-inverterbara par ( a , b ) finns "utbytesrelationerna"

S _b T _a = T _{a ^b} B ( a , b ) ⁻¹ S _{b ^a} .

Denna identitet visar att B ( a , b ) är i gruppen som genereras av G _±1 . Om man tar inverser är det ekvivalent med identiteten T _a S _b = S _{b ^a} B ( a , b ) T _{a ^b} .

För att bevisa utbytesrelationerna räcker det att kontrollera att den är giltig när den tillämpas på punkter den täta uppsättningen av punkter ( (a+c c b) : c:0) in X for which is quasi-invertible. It then reduces to the identity:

$\displaystyle {(a+c)^{b}=a^{b}+B(a,b)^{-1}c^{(b^{a})}.}$

Faktum är att om ( a , b ) är kvasi-inverterbar, så är ( a + c , b ) kvasi-inverterbar om och endast om ( c , b ^a ) är kvasi-inverterbar. Detta följer eftersom ( x , y ) är kvasi-inverterbar om och endast om ( y , x ) är det. Dessutom gäller ovanstående formel i detta fall.

För beviset krävs ytterligare två identiteter:

$\displaystyle {B(c+b,a)=B(c,a^{b})B(b ,a)}$

$\displaystyle {R(a,b )=R(a^{b},bQ(b)a)=R(aQ(a)b,b^{a})}$

Den första följer av en tidigare identitet genom att tillämpa transponeringen. För det andra, på grund av införlivandet, räcker det för att bevisa den första jämlikheten. Inställning c = b − Q ( b ) a i identiteten B ( a , b ) R ( a ^b , c ) = R ( a , c ) − Q ( a ) Q ( b , c ) ger

B ( a , b ) R ( a ^b , b − Q ( b ) c ) = B ( a , b ) R ( a , b ),

så identiteten följer genom att avbryta B ( a , b ) .

För att bevisa formeln, relationerna ( a + c ) ^b = B ( a , c ) ⁻¹ ( a + c − Q ( a + c ) b ) och a ^b + B ( a , b ) ⁻¹ c ^{( b ) a )} = B ( a + c , b ) ⁻¹ ( B ( c , b ^a ) ( a − Q ( a ) b ) + c − Q ( c ) b ^a ) visar att det räcker för att bevisa att

a + c − Q ( a + c ) b = B ( c , b ^a ) ( a − Q ( a ) b ) + c − Q ( c ) b ^a .

Faktum är att B ( c , b ^a ) ( a − Q ( a ) b ) + c − Q ( c ) b ^a = a + c − Q ( a ) b + 2 R ( c , b ^a ) ( a − Q ) ( a ) b ) − Q ( c ) [ b ^a − Q ( b ^a )( a − Q ( a ) b )] . Å andra sidan, 2 R ( c , b ^a ) ( a − Q ( a ) b ) = 2 R ( c , a − Q ( a ) b ) b ^a = R ( a , b ) c = 2 Q ( a , c ) b och b ^a − Q ( b ^a ) ( a − Q ( a ) b ) = b ^a − Q ( b ) B ( a , b ) ⁻¹ ( a − Q ( a ) b ) = b ) ^a − Q ( b ) a ^b = b . Så B ( c , b ^a ) ( a − Q ( a ) b ) + c − Q ( c ) b ^a = a + c − Q ( a ) b − 2 Q ( a , c ) b − Q ( c ) b = a + c - Q ( a + c ) b .

Ställ nu in ₀ Ω = G ₊₁ G G ₋₁ . Då innebär utbytesrelationerna att S _b T _a ligger i Ω om och endast om ( a , b ) är kvasi-inverterbar; och att g ligger i Ω om och endast om g (0:0) är i X ₀ .

Faktum är att om S _b T _a ligger i Ω , så är ( a , b ) ekvivalent med ( x ,0) , så det är ett kvasi-inverterbart par; det omvända följer av utbytesförhållandena. Tydligen Ω(0:0) = G ₁ (0:0) = X ₀ . Det omvända följer av ₀ G = G ₋₁ G ₁ G G ₋₁ och kriteriet för att S _b T _a ska ligga i Ω .

Lie algebra av holomorfa vektorfält

Se även: Kantor–Koecher–Tits konstruktion

₀ Det kompakta komplexa grenröret X är modellerat på utrymmet A . Övergångskartornas derivator beskriver tangentknippet genom holomorfa övergångsfunktioner F _bc : X _b ∩ X _c → GL( A ) . Dessa ges av F _bc ( a , b ) = B ( a , b − c ) , så strukturgruppen för motsvarande huvudsakliga fiberknippe reduceras till Γ( A ) , strukturgruppen för A . Det motsvarande holomorfa vektorknippet med fiber A är tangentknippet för det komplexa grenröret X. Dess holomorfa sektioner är bara holomorfa vektorfält på X . De kan bestämmas direkt med hjälp av det faktum att de måste vara invarianta under den naturliga samverkan av de kända holomorfa symmetrierna av X . De bildar en ändlig-dimensionell komplex halvenkel Lie-algebra. Begränsningen av dessa vektorfält till X kan beskrivas explicit. En direkt följd av denna beskrivning är att Lie-algebra är tregradig och att gruppen av holomorfa symmetrier av X , som beskrivs av generatorer och relationer i Koecher (1967) och Loos (1979) , är en komplex linjär semisimpel algebraisk grupp som sammanfaller med gruppen av biholomorfismer av X .

Lie-algebrorna för de tre undergrupperna av holomorfa automorfismer av X ger upphov till linjära utrymmen av holomorfa vektorfält på X och därmed ₀ X = A .

• Strukturgruppen Γ( A ) har Lie algebra ${\mathfrak {g}}_{0}$ omspännd av operatorerna R ( x , y ) . Dessa definierar en komplex Lie-algebra av linjära vektorfält a ↦ R ( x , y ) a på A .
• Översättningsoperatorerna agerar på A som T _c ( a ) = a + c . De motsvarande enparameterundergrupperna ges av T _tc och motsvarar de konstanta vektorfälten a ↦ c . Dessa ger en Abelsk Lie-algebra ${\mathfrak {g}}_{-1}$ av vektorfält på A .
• Operatörerna Sc ₎ definierade på X av _. Sc ( a , b ) = ( a , b − c De motsvarande enparametersgrupperna S _tc definierar kvadratiska vektorfält a ↦ Q ( a ) c på A . Dessa ger en Abelsk Lie-algebra ${\mathfrak {g}}_{1}$ av vektorfält på A .

Låta

$\displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{ 1}.}$

Definiera sedan $}}_{i}=(0)}$ g för i ≠ −1, 0, 1 ${\mathfrak {g}}$ former en komplex Lie-algebra med

$\displaystyle {[{\mathfrak {g}}_{p},{\mathfrak {g}}_{q}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{p+q}}.$

Detta ger strukturen för en 3-gradig Lie-algebra . För element ( a , T , b ) i ${\mathfrak {g}}$ ges Lie-parentesen av

$\displaystyle {[(a_{1},T_{1},b_{1}),(a_{ 2},T_{2},b_{2})]=(T_{1}a_{2}-T_{2}a_{1},[T_{1},T_{2}]+R(a_{ 1},b_{2})-R(a_{2},b_{1}),T_{2}^{t}b_{1}-T_{1}^{t}b_{2})}$

Gruppen PSL(2, C ) av Möbius-transformationer av X normaliserar Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ . Transformationen j ( z ) = − z ⁻¹ som motsvarar Weyl-gruppelementet J inducerar den involutiva automorfismen σ som ges av

$\displaystyle {\sigma (a,T,b)=(b,-T^{t},a).}$

Mer allmänt verkan av en Möbius-förvandling

$\displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

kan beskrivas uttryckligen. När det gäller generatorer fungerar diagonala matriser som

$\displaystyle {{\begin{pmatrix}\alpha &0\\0&\alpha ^{- 1}\end{pmatrix}}(a,T,b)=(\alpha ^{2}a,T,\alpha ^{-2}b),}$

övre entriangulära matriser fungerar som

$\displaystyle {{\begin{pmatrix}1& \beta \\0&1\end{pmatrix}}(a,T,b)=(a+\beta T(1)-\beta ^{2}b,T-\beta L(a),b),}$

och lägre entriangulära matriser fungerar som

$\displaystyle {{\begin{pmatrix}1&0\\\gamma &1\end{pmatrix}}(a,T,b)=(a,T-\gamma L(b),b-\gamma T^ {t}(1)-\gamma ^{2}a).}$

Detta kan skrivas enhetligt i matrisnotation som

$\displaystyle {{\begin{pmatrix}g(T)&g(a)\\g(b)&g(T)^{t}\end{pmatrix}}=g{\begin{pmatrix}T&a\ \b&T^{t}\end{pmatrix}}g^{-1}.}$

I synnerhet motsvarar graderingen verkan av den diagonala undergruppen av SL(2, C ) , även med |α| = 1, så en kopia av T .

Dödningsformuläret ges av

$\displaystyle {\mathbf {B} ((a_{1},T_{1},b_{1}),(a_{2},T_{2},b_{2}))=(a_{ 1},b_{2})+(b_{1},a_{2})+\beta (T_{1},T_{2}),}$

där β( T ₁ , T ₂ ) är den symmetriska bilinjära formen definierad av

$\displaystyle {\beta ( R(a,b),R(c,d))=(R(a,b)c,d)=(R(c,d)a,b),}$

med den bilinjära formen ( a , b ) som motsvarar spårformen: ( a , b ) = Tr L ( ab ) .

Mer allmänt agerar generatorerna av gruppen G genom automorfismer på ${\mathfrak {g}}$ som

• $\displaystyle {W(a,T,b)=(Wa,WTW^{- 1},(W^{t})^{-1}b),}$
• $\displaystyle {J(a,T,b)=(-b,-T^{t},-a) ,}$
• $\displaystyle {T_{x}(a,T,b )=(a+Tx-Q(x)b,TR(x,b),b),}$
• $\displaystyle {S_{y}(a,T,b)=(a,TR(a,y),bT^{t}yQ(y)a).}$

Killing-formen är icke degenererad på ${\mathfrak {g}}$ .

Oförändelsen av Killing-formen är omedelbar från den explicita formeln. Enligt Cartans kriterium är ${\mathfrak {g}}$ halvenkel . I nästa avsnitt realiseras gruppen G som komplexiseringen av en sammankopplad kompakt Lie-grupp H med trivialt centrum, så halvenkelt. Detta ger ett direkt sätt att verifiera halvenkelhet. Gruppen H verkar också transitivt på X .

${\mathfrak {g}}$ är Lie-algebra för alla holomorfa vektorfält på X .

För att bevisa att ${\mathfrak {g}}$ förbrukar de holomorfa vektorfälten på X , notera att gruppen T verkar på holomorfa vektorfält. Begränsningen av ett sådant vektorfält till ₀ X = A ger en holomorf karta av A till A . Potensseriens expansion runt 0 är en konvergent summa av homogena delar av grad m ≥ 0 . Verkan av T skalar delen av grad m med α ^{2 m − 2} . Genom att ta Fourier-koefficienter med avseende på T är delen av graden m också ett holomorft vektorfält. Eftersom konjugering med J ger inversen på T , följer det att de enda möjliga graderna är 0, 1 och 2. Grad 0 står för de konstanta fälten. Eftersom konjugering med J växlar grad 0 och grad 2, följer det att ${\mathfrak {g}}_{\pm 1}$ står för alla dessa holomorfa vektorfält. Varje ytterligare holomorft vektorfält skulle behöva förekomma i grad 1 och skulle därför ha formen a ↦ Ma för något M i End A . Konjugering med J skulle ge en annan sådan karta N . Dessutom, e ^tM ( a ,0,0)= ( e ^tM a ,0,0) . Men då

$\displaystyle {e^{tM}(0,0,b)=Je^{tN}J(0,0,b)=Je^{tN}(b,0,0)=(0,0 ,e^{tN}b).}$

Ställ in U _t = e ^tM och V _t = e ^tB . Sedan

$\displaystyle {Q(U_{t}a)b=U_{t}Q(a)V_{-t}b.}$

Det följer att U _t ligger i Γ( A ) för alla t och därmed att M ligger i ${\mathfrak {g}}_{0}$ . Så ${\mathfrak {g}}$ är exakt utrymmet för holomorfa vektorfält på X .

Kompakt verklig form

Handlingen av G på ${\mathfrak {g}}$ är trogen.

Antag att g = WT _x S _y T _z verkar trivialt på ${\mathfrak {g}}$ . Då S _y T _z lämna subalgebra (0,0, A ) invariant. Därför måste S _{y också} . Detta tvingar y = 0 , så att g = WT _{x + z} . Men då T _x+z lämna subalgebra ( A ,0,0) invariant, så att x + z = 0 och g = W . Om W agerar trivialt är W = I .

Gruppen G kan alltså identifieras med sin bild i GL ${\mathfrak {g}}$ .

Låt A = E + iE vara komplexiseringen av en euklidisk Jordanalgebra E . För a = x + iy anger du a * = x − iy . Spårformen på E definierar en komplex inre produkt på A och därmed en adjoint operation. Enhetsstrukturgruppen Γ _u ( A ) består av de g i Γ( A ) som finns i U ( A ) , dvs uppfyller gg *= g * g = I . Det är en sluten undergrupp av U ( A ). Dess Lie-algebra består av skew-adjoint-elementen i ${\mathfrak {g}}_{0}$ . Definiera en konjugerad linjär involution θ på ${\mathfrak {g}}$ med

$\displaystyle {\theta (a,T,b)=(b^{*},-T^{*},a^{*}).}$

Detta är en period 2 konjugat-linjär automorfism av Lie-algebra. Det inducerar en automorfism av G , som på generatorerna ges av

$\displaystyle {\theta (S_{a})=T_{a^{*}},\,\,\,\theta (j)=j,\,\,\,\theta (T_{b })=S_{b^{*}},\,\,\,\theta (W)=(W^{*})^{-1}.}$

Låt H vara fixpunktsundergruppen för θ i G . Låt ${\mathfrak {h}}$ vara fixpunktssubalgebra för θ in ${\mathfrak {g}}$ . Definiera en sesquilinjär form på ${\mathfrak {g}}$ med ( a , b ) = −B( a ,θ( b )) . Detta definierar en komplex inre produkt på ${\mathfrak {g}}$ som begränsar till en verklig inre produkt på ${\mathfrak {h}}$ . Båda är bevarade av H . Låt K vara identitetskomponenten för Γ _u ( A ) . Den ligger i H . Låt K _e = T ^m vara den diagonala torus associerad med en Jordan-ram i E . Åtgärden av SL(2, C ) ^m är kompatibel med θ som skickar en unimodulär matris ${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix} }}$ till ${\begin{pmatrix}{\overline {\delta }}&-{\overline {\gamma }}\\-{\overline { \beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}$ . I synnerhet ger detta en homomorfism av SU(2) ^m in i H .

Nu kan varje matris M i SU(2) skrivas som en produkt

$\displaystyle {M={\begin{pmatrix}\zeta _{1}&0\\0&\zeta _{1}^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \ varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta _{2}&0\\0&\zeta _{2}^{-1 }\end{pmatrix}}.}$

Faktorn i mitten ger ytterligare en maximal torus i SU(2) erhållen genom konjugering med J . Om a = Σ α _i e _i med |α _i | = 1, då Q ( a ) verkan av den diagonala torusen T = T ^m och motsvarar ett element av K ⊆ H . Elementet J ligger i SU(2) ^m och dess bild är en Möbiustransformation j som ligger i H . Således S = j ∘ T ∘ j en annan torus i H och T ∘ S ∘ T sammanfaller med bilden av SU(2) ^m .

H verkar transitivt på X . Stabilisatorn för (0:0) är K . Dessutom H = KSK , så att H är en sammankopplad sluten undergrupp av den enhetliga gruppen på ${\mathfrak {g}}$ . Dess Lie-algebra är ${\mathfrak {h}}$ .

Eftersom Z = SU(2) ^m (0:0) för det kompakta komplexa grenröret som motsvarar A ^e , om följer att Y = T S (0:0) , där Y är bilden av Z . Å andra sidan är X = KY , så att X = KTS (0:0) = KS (0:0) . Å andra sidan är stabilisatorn för (0:0) i H K , eftersom fixpunktsundergruppen för ₀ G G ₋₁ under θ är K . Därav H = KSK . I synnerhet H kompakt och sammankopplad eftersom både K och S är det. Eftersom det är en sluten undergrupp av U ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} ,$ är det en Lie-grupp. Den innehåller K och därför innehåller dess Lie-algebra operatorerna (0, T ,0) med T * = − T . Den innehåller bilden av SU(2) ^m och därav elementen ( a ,0, a *) med a i A _e . Eftersom A = KA _e och ( k ^t ) ⁻¹ ( a *) = ( ka )* , följer det att Lie-algebra ${\mathfrak {h}}_{1}$ av H innehåller ( a ,0, a *) för alla a i A . Den innehåller alltså ${\mathfrak {h}}$ .

De är lika eftersom alla skev-adjoint-avledningar av ${\mathfrak {h}}$ är inre. Faktum är att eftersom H normaliserar ${\mathfrak {h}}$ och åtgärden genom konjugation är trogen, kommer kartan av ${\mathfrak {h}}_{1}$ till Lie-algebra ${\mathfrak {d}}$ av härledningar av ${\mathfrak {h}}$ är trogen. Speciellt ${\mathfrak {h}}$ har trivial center. För att visa att ${\mathfrak {h}}$ är lika med ${\mathfrak {h}}_{1}$ räcker det att visa att ${\mathfrak {d}}$ sammanfaller med ${\mathfrak {h}}$ . Härledningar på ${\mathfrak {h}}$ är skew-adjoint för den inre produkten som ges av minus Killing-formen. Ta den invarianta inre produkten på ${\mathfrak {d}}$ som ges av −Tr D ₁ D ₂ . Eftersom ${\mathfrak {h}}$ är invariant under ${\mathfrak {d}}$ så är dess ortogonala komplement. De är båda ideal i ${\mathfrak {d}}$ , så Lie-parentesen mellan dem måste försvinna. Men då skulle varje härledning i det ortogonala komplementet ha 0 Lie-parentes med ${\displaystyle {\mathfrak {h}}} ,$ så måste vara noll. Därför ${\mathfrak {h}}$ Lie-algebra för H . (Detta följer också av en dimensionsräkning eftersom dim X = dim H − dim K .)

G är isomorft till en sluten undergrupp av den allmänna linjära gruppen på ${\mathfrak {g}}$ .

Formlerna ovan för verkan av W och S _y visar att bilden av ₀ G G ₋₁ är stängd i GL ${\mathfrak {g}}$ . Eftersom H verkar transitivt på X och stabilisatorn för (0:0) i G är ₀ . GG ₋₁ , följer det att ₀ G = HG G ₋₁ Kompaktheten hos H och slutenheten hos ₀ G G ₋₁ innebär att G är stängd i GL ${\mathfrak {g}}$ .

G är en sammankopplad komplex Lie-grupp med Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ . Det är komplexiseringen av H .

G är en sluten undergrupp av GL ${\mathfrak {g}}$ alltså en riktig Lie-grupp. Eftersom den innehåller G _i med i = 0 eller ±1 innehåller dess Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ . Eftersom ${\mathfrak {g}}$ är komplexiseringen av ${\mathfrak {h}}$ , liksom ${\mathfrak {h}}$ är alla dess härledningar inre och det har trivialt centrum. Eftersom Lie-algebra för G normaliserar ${\mathfrak {g}}$ och o är det enda elementet som centraliserar ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} , som i det kompakta fallet$ måste Lie-algebra för G vara ${\mathfrak {g}}$ . (Detta kan också ses av en dimensionsräkning eftersom ₀ . dim X = dim G − dim GG ₋₁ .) Eftersom det är ett komplext delrum är G en komplex Lie-grupp Den är ansluten eftersom den är den kontinuerliga bilden av den anslutna uppsättningen ₀ H × G G ₋₁ . Eftersom ${\mathfrak {g}}$ är komplexiseringen av ${\displaystyle {\mathfrak {h}}} ,$ är G komplexifieringen av H .

Icke-kompakt verklig form

För a i A spektralnormen || en || definieras som max α _i om a = u Σ α _i e _i med α _i ≥ 0 och u i K . Den är oberoende av val och definierar en norm på A . Låt D vara mängden av a med || en || < 1 och låt H * vara identitetskomponenten i den slutna undergruppen av G som bär D på sig själv. Den genereras av K , Möbius-transformationerna i PSU(1,1) och bilden av SU(1,1) ^m som motsvarar en Jordan-ram. Låt τ vara den konjugat-linjära period 2 automorfismen av ${\mathfrak {g}}$ definierad av

$\displaystyle {\tau (a,T,b)=(-a^{*},-T^{*},-b^{*}).}$

Låt ${\mathfrak {h}}^{*}$ vara fixpunktsalgebra för τ. Det är Lie-algebra för H * . Det inducerar en period 2-automorfism av G med fixpunktsundergrupp H * . Gruppen H * verkar transitivt på D . Stabilisatorn för 0 är K .

Den icke-kompakta verkliga halvenkla Lie-gruppen H * verkar på X med en öppen bana D . Som med verkan av SU(1,1) på Riemann-sfären, har den bara ändligt många banor. Denna omloppsstruktur kan uttryckligen beskrivas när Jordanalgebra A är enkel. Låt ₀ X ( r , s ) vara delmängden av A som består av element a = u Σ α _i a _i med exakt r av α _i mindre än en och exakt s av dem större än en. Således 0 ≤ r + s ≤ m . Dessa mängder är skärningspunkterna mellan banorna X ( r , s ) av H * med X. ₀ Banorna med r + s = m är öppna. Det finns en unik kompakt bana X (0,0) . Det är Shilov-gränsen S för D som består av element e ^ix med x i E , den underliggande euklidiska Jordanalgebra. X ( p , q ) är i slutet av X ( r , s ) om och endast om p ≤ r och q ≤ s . I synnerhet S i stängningen av varje omloppsbana.

Jordan algebror med involution

Den föregående teorin beskriver irreducerbara hermitiska symmetriska utrymmen av rörtyp i termer av enhetliga Jordanalgebror. I Loos (1977) beskrivs allmänna hermitiska symmetriska utrymmen genom en systematisk utvidgning av ovanstående teori till Jordan-par . I utvecklingen av Koecher (1969) , men irreducerbara hermitiska symmetriska utrymmen som inte är av rörtyp beskrivs i termer av period två automorfismer av enkla euklidiska Jordanalgebror. I själva verket definierar vilken period 2-automorfism som helst ett Jordan-par: de allmänna resultaten av Loos (1977) om Jordan-par kan specialiseras till den inställningen.

Låt τ vara en period två automorfism av en enkel euklidisk Jordanalgebra E med komplexisering A . Det finns motsvarande uppdelningar E = E ₊ ⊕ E ₋ och A = A ₊ ⊕ A ₋ till ±1 egenrum av τ. Låt V ≡ A _τ = A ₋ . τ antas uppfylla det ytterligare villkoret att spårformen på V definierar en inre produkt. För a i V , definiera Q _τ ( a ) som begränsningen av Q ( a ) till V. För ett par ( a , b ) i V ² , definiera B _τ ( a , b ) och R _τ ( a , b ) som begränsningen av B ( a , b ) och R ( a , b ) till V. Då är V enkel om och bara om de enda delrymden som är invarianta under alla operatorerna Q _τ ( a ) och R _τ ( a V b ) , är (0) och .

Villkoren för kvasi-invertibilitet i A B ( a , b ) visar att B _τ ( a , b ) är inverterbar om och endast om är inverterbar. Kvasi-inversen a ^b är densamma oavsett om den beräknas i A eller V . Ett utrymme med ekvivalensklasser X _τ kan definieras på paren V ² . Det är ett slutet delrum av X , så kompakt. Den har också strukturen av ett komplext grenrör, modellerat på V . Strukturgruppen Γ( V ) kan definieras i termer av Q _τ och den har som en undergrupp den enhetliga strukturgruppen Γ _u ( V ) = Γ( V ) ∩ U( V ) med identitetskomponent K _τ . Gruppen K _τ är identitetskomponenten för fixpunktsundergruppen av τ i K . Låt G _τ vara gruppen av biholomorfismer av X _τ som genereras av W i G _τ,0 , identitetskomponenten för Γ( V ) , och de abelska grupperna G _τ,−1 bestående av S _a och G _τ,+1 som består av av T _b med a och b i V . Den verkar transitivt på X _τ med stabilisatorn G _τ,0 G _τ,−1 och G _τ = G _τ,0 G _τ,−1 G _τ,+1 G _τ,−1 . Lie-algebra ${\mathfrak {g}}_{\tau }$ för holomorfa vektorfält på X _τ är en 3-gradig Lie-algebra,

$\displaystyle {{\mathfrak {g}}_{\tau }={\mathfrak {g}}_{\tau ,+1}\oplus {\mathfrak {g}}_{\tau ,0} \oplus {\mathfrak {g}}_{\tau ,-1}.}$

Begränsade till V genereras komponenterna som tidigare av konstantfunktionerna till V , av operatorerna R _τ ( a , b ) och av operatorerna Q _τ ( a ) . Lie-parenteserna ges av exakt samma formel som tidigare.

Den spektrala nedbrytningen i E _τ och V åstadkoms med hjälp av tripotenter , dvs element e så att e ³ = e . I detta fall f = e ² en idempotent i E ₊ . Det finns en Pierce-sönderdelning E ( f ) ₀ = E ( f ) ⊕ E _{1/2 av L} ( f ) ⊕ E ₁ ( f ) till egenrum . Operatörerna L ( e ) och L ( f ) pendlar, så L ( e ) lämnar egenutrymmena ovan invarianta. Faktum är _att E1 ( f ) L ( e ) ^{2 fungerar} E _{1/2 , som} ( f ) 0 på ₀ E ( f ) som 1/4 på och 1 på . Detta inducerar en Pierce-sönderdelning E _τ = E _τ,0 ( f ) ⊕ E _{τ, 1 / 2} ( f ) ⊕ E _τ,1 ( f ) . Delrummet E _τ,1 ( f ) blir en euklidisk Jordanalgebra med enhet f under mutationen Jordanprodukten x ∘ y = { x , e , y }.

Två tripotenter e ₁ och e ₂ sägs vara ortogonala om alla operatorerna [ L ( a ), L ( b )] = 0 när a och b är potenser av e ₁ och e ₂ och om motsvarande idempotenter f ₁ och f ₂ är ortogonala. I detta fall e ₁ och e ₂ en kommutativ associativ algebra och e ₁ e ₂ = 0 , eftersom ( e ₁ e ₂ , e ₁ e ₂ ) =( f ₁ , f ₂ ) =0 . Låt a vara i E _τ . Låt F vara det ändliga dimensionella reella underrummet som sträcks av udda potenser av a . De pendlande självanslutna operatörerna L ( x ) L ( y ) med x , y udda potenser av en handling på F , så kan samtidigt diagonaliseras av en ortonormal basis e _i . Eftersom ( e _i ) ³ är en positiv multipel av ei _. , omskalning vid behov, kan e _i väljas att vara en tripotent De bildar en ortogonal familj genom konstruktion. Eftersom a är i F kan det skrivas a = Σ α _i e _i med α _i real. Dessa kallas egenvärdena för a (med avseende på τ). Alla andra tripotenta e i F har formen a = Σ ε _i e _i med ε _i = 0, ±1 , så e _i är uppe för att signera de minimala tripotenterna i F .

En maximal familj av ortogonala tripotenter i E _τ kallas en Jordan-ram . Tripotenterna är nödvändigtvis minimala. Alla Jordanramar har samma antal element, som kallas rangen E _τ . Vilka två ramar som helst är relaterade av ett element i undergruppen av strukturgruppen av E _τ som bevarar spårformen. För en given Jordan-bildruta ( e _i ) kan vilket element a som helst i V skrivas i formen a = u Σ α _i e _i med α _i ≥ 0 och u en operator i K _τ . Spektralnormen för a definieras av || en || = sup α _i och är oberoende av val. Dess kvadrat är lika med operatornormen för Q _τ ( a ) . Sålunda V ett komplext normerat utrymme med öppen enhetskula D _τ .

Observera att för x i E är operatorn Q ( x ) självadjoint så att normen || Q ( x ) ⁿ || = || Q ( x ) || ⁿ . Eftersom Q ( x ) ⁿ = Q ( x ⁿ ) , följer det att || x ⁿ || = || x || ⁿ . Speciellt x ² = Σ (α _i ) ² fi _är spektralnormen för x = Σ α _i e _i i A kvadratroten av spektralnormen av . Det följer att spektralnormen för x är densamma oavsett om den beräknas i A eller A _τ . Eftersom K _τ bevarar båda normerna, erhålls spektralnormen på A _τ genom att begränsa spektralnormen på A .

För en Jordan-ram e ₁ , ..., e _m , låt V _e = ⊕ C e _i . Det finns en åtgärd av SL(2, C ) ^m på V _e som sträcker sig till V . Om c = Σ γ _i e _i och b = Σ β _i e _i , så ger S ( c ) och T ( b ) verkan av produkten av de nedre och övre entriangulära matriserna. Om a = Σ α _i e _i med α _i ≠ 0 , så fungerar motsvarande produkt av diagonala matriser som W = B _τ ( a , e − a ) , där e = Σ e _i . I synnerhet ger de diagonala matriserna en verkan av ( C *) ^m och T ^m .

Som i fallet utan en automorfism τ, finns det en automorfism θ av G _τ . Samma argument visar att fixpunktsundergruppen H _τ genereras av K _τ och bilden av SU(2) ^m . Det är en kompakt sammankopplad Lie-grupp. Den verkar transitivt på X _τ ; stabilisatorn för (0:0 ) är Kτ _. Alltså X _τ = H _τ / K _τ , ett hermitiskt symmetriskt utrymme av kompakt typ.

Låt H _τ * vara identitetskomponenten i den slutna undergruppen av G _τ som bär D _τ på sig själv. Den genereras av K _τ och bilden av SU(1,1) ^m som motsvarar en Jordan-ram. Låt ρ vara den konjugat-linjära period 2 automorfismen av ${\mathfrak {g}}_{\tau }$ definierad av

$\displaystyle {\rho (a,T,b)=(-a^{*},-T^{*},-b^{*}).}$

Låt ${\mathfrak {h}}_{\tau }^{*}$ vara fixpunktsalgebra för ρ. Det är Lie-algebra för H _τ * . Det inducerar en period 2-automorfism av G med fixpunktsundergrupp H _τ * . Gruppen H _τ * verkar transitivt på D _τ . Stabilisatorn för 0 är K _τ * . H _τ */ K _τ är det hermitiska symmetriska utrymmet av icke-kompakt typ dubbelt till H _τ / K _τ .

Det hermitiska symmetriska utrymmet av icke-kompakt typ har en obegränsad realisering, analogt med det övre halvplanet i C . Möbius-transformationer i PSL(2, C ) motsvarande Cayley-transformen och dess invers ger biholomorfismer av Riemann-sfären som byter ut enhetsskivan och det övre halvplanet. När det hermitiska symmetriska utrymmet är av rörtyp, kartlägger samma Möbius-transformationer skivan D i A på rördomänen T = E + iC där C är den öppna självdubbla konvexa konen av kvadrater i den euklidiska Jordanalgebra E .

För hermitiskt symmetriskt utrymme som inte är av rörtyp finns det ingen verkan av PSL(2, C ) på X , så ingen analog Cayley-transform. En partiell Cayley-transform kan i det fallet definieras för varje given maximal tripotent e = Σ ε _i e _i i E _τ . Den tar skivan D _τ i A _τ = A _τ,1 ( f ) ⊕ A _{τ, 1 / 2} ( f ) till en Siegel-domän av det andra slaget.

I detta fall är E _τ,1 ( f ) en euklidisk Jordanalgebra och det finns en symmetrisk E _τ,1 ( f ) -värderad bilinjär form på E _{τ , 1 / 2} ( f ) så att motsvarande kvadratiska form q tar värden i dess positiva kon C _τ . Siegel-domänen består av par ( x + iy , u + iv ) så att y − q ( u ) − q ( v ) ligger i C _τ . Kvadratisk form q på E _{τ, 1 / 2} ( f ) och kvadratoperationen på E _τ,1 ( f ) ges av x ↦ Q _τ ( x ) e . Den positiva könen C _τ motsvarar x med Q _τ ( x ) inverterbar.

Exempel

För enkla euklidiska Jordanalgebror E med komplexisering A , kan de hermitiska symmetriska utrymmena av kompakt typ X beskrivas explicit enligt följande, med hjälp av Cartans klassificering.

Typ I _n . A är Jordanalgebra för n × n komplexa matriser x ∘ y = 1/2 ) operatorn ( xy + yx M n ₍ C ) med Jordanprodukt . Det är komplexifieringen av E = H _n ( C ) , den euklidiska Jordan-algebra av självtillslutande n × n komplexa matriser. I det här fallet G = PSL(2 n , C ) som agerar på A med $g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ fungerar som g ( z ) = ( az + b )( cz + d ) ⁻¹ . I Sc _{själva verket kan detta verifieras direkt för diagonala} Tb _, övre och nedre entriangulära matriser som motsvarar operatorerna W , och . Delmängden Ω motsvarar matriserna g med d inverterbar. Betrakta faktiskt utrymmet för linjära kartor från C ⁿ till C ^{2 n} = C ⁿ ⊕ C ⁿ . Ti _Det beskrivs av ett par ( T ₁ | T ₂ ) med i M _n ( C ) . Detta är en modul för GL(2n , C ) som verkar på målutrymmet. Det finns också en åtgärd av GL( n , C ) inducerad av åtgärden på källrummet. Utrymmet för injektiva kartor U är invariant och GL( n , C ) verkar fritt på det. Kvoten är Grassmannian M som består av n -dimensionella delrum av C ^{2 n} . Definiera en karta av A ² till M genom att skicka ( a , b ) till den injektiva kartan ( a | I − b ^t a ). Denna karta inducerar en isomorfism av X på M .

Låt faktiskt V vara ett n -dimensionellt delrum av C ⁿ ⊕ C ⁿ . Om den är i allmän position, dvs den och dess ortogonala komplement har trivial skärning med C ⁿ ⊕ (0) och (0) ⊕ C ⁿ , är det grafen för en inverterbar operator T . Så bilden motsvarar ( a | I − b ^t a ) med a = I och b ^t = I − T .

I den andra ytterligheten kan V och dess ortogonala komplement U skrivas som ortogonala summor V = V ₁ ⊕ V ₂ , U = U ₁ ⊕ U ₂ , där V ₁ och U ₁ är skärningspunkterna med C ⁿ ⊕ (0) och V ₂ och U ₂ med (0) Cn ^. ⊕ Dimma V ₁ = dämpa U ₂ sedan och dämpa V ₂ = dämpa U ₁ . Dessutom, ^Cn ₍ 0) ⊕ Cn = V ₂ ⊕ U2 ⊕ ⁽ 0) = V ₁ ⊕ U ₁ och . Delrummet V motsvarar paret ( e | I − e ), där e är den ortogonala projektionen av C ⁿ ⊕ (0) på V ₁ . Så a = e och b = I .

Det allmänna fallet är en direkt summa av dessa två fall. V kan skrivas som en ortogonal summa ₀ V = V ⊕ V ₁ ⊕ V ₂ där V ₁ och V ₂ är skärningspunkterna med C ⁿ ⊕ (0) och (0) ⊕ C ⁿ och V ₀ är deras ortogonala komplement i V . På liknande sätt kan det ortogonala komplementet U av V skrivas ₀ U = U ⊕ U ₁ ⊕ U ₂ . Således Cn ^⊕ 0) = V ₁ ⊕ U ₁ ⊕ W ₁ Wi ₍ och (0) ⊕ Cn = V ₂ ⊕ U ₂ ⊕ W ₂ ^, där är ortogonala komplement. Den direkta summan ( V ₁ ⊕ U ₁ ) ⊕ ( V ₂ ⊕ U ₂ ) ⊆ C ⁿ ⊕ C ⁿ är av det andra slaget och dess ortogonala komplement till det första.

Kartorna W i strukturgruppen motsvarar h i GL( n , C ) , med W ( a ) = hah ^t . Motsvarande avbildning på M sänder ( x | y ) till ( hx | ( h ^t ) ⁻¹ y ). På liknande sätt sänder kartan som motsvarar Sc _sänder ( x | y ) till ( x | y + c ), kartan som motsvarar T _b ( x | y ) till ( x + b | y ) och kartan som motsvarar J sänder ( x | y ) till ( y | − x ). Det följer att kartan som motsvarar g sänder ( x | y ) till ( ax + by | cx + dy ). Å andra sidan, om y är inverterbar, är ( x | y ) ekvivalent med ( xy ⁻¹ | I ), varav formeln för den linjära fraktionella transformationen.

Typ III _n . A är Jordanalgebra för n × n symmetriska komplexa matriser x ∘ y = ( xy + yx 1/2 S ) n ( _C ) med operatorn Jordanprodukt . Det är komplexiseringen av E = H _n ( R ) , den euklidiska Jordanalgebra av n × n symmetriska reella matriser. På C ^{2 n} = C ⁿ ⊕ C ⁿ , definiera en icke degenererad alternerande bilinjär form med ω( x ₁ ⊕ y ₁ , x ₂ ⊕ y ₂ ) = x ₁ • y ₂ − y ₁ • x ₂ . I matrisnotation om $J={\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}}$ ,

$\displaystyle {\omega (z_{1},z_{2})=zJz^{t}.}$

Låt Sp(2n, C ) beteckna den komplexa symplektiska gruppen , undergruppen av GL(2n, C ) bevarar ω. Den består av g så att gJg ^t = J och är stängd under g ↦ g ^t . Om $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ { tillhör Sp(2n, C )

$\displaystyle {g^{-1}={\begin{pmatrix}d^{t}&-c^{t}\\-b^{t}&a^{t}\end{pmatrix}} .}$

Den har mitten {± I }. I detta fall G = Sp(2 n , C )/{± I } som verkar på A som g ( z ) = ( az + b )( cz + d ) ⁻¹ . I Sc _{själva verket kan detta verifieras direkt för diagonala} Tb _, övre och nedre entriangulära matriser som motsvarar operatorerna W , och . Delmängden Ω motsvarar matriserna g med d inverterbar. Betrakta faktiskt utrymmet för linjära kartor från C ⁿ till C ^{2 n} = C ⁿ ⊕ C ⁿ . Ti _Det beskrivs av ett par ( T ₁ | T ₂ ) med i M _n ( C ) . Detta är en modul för Sp(2n, C ) som verkar på målutrymmet. Det finns också en åtgärd av GL( n , C ) inducerad av åtgärden på källrummet. Utrymmet för injektiv kartor U med isotrop bild, dvs ω försvinner på bilden, är invariant. Dessutom verkar GL( n , C ) fritt på den. Kvoten är den symplektiska Grassmannian M som består av n -dimensionella lagrangiska delrum av C ^{2 n} . Definiera en karta av A ² till M genom att skicka ( a , b ) till den injektiva kartan ( a | I − ba ). Denna karta inducerar en isomorfism av X på M .

Låt i själva verket V vara ett n -dimensionellt lagrangiskt delrum av C ⁿ ⊕ C ⁿ . Låt U vara ett lagrangiskt delrum som kompletterar V . Om de är i allmän position, dvs de har trivial skärningspunkt med C ⁿ ⊕ (0) och (0) ⊕ C ⁿ , så är V grafen för en inverterbar operator T med T ^t = T . Så bilden motsvarar ( a | I − ba ) med a = I och b = I − T .

I den andra ytterligheten kan V och U skrivas som direkta summor V = V ₁ ⊕ V ₂ , U = U ₁ ⊕ U ₂ , där V ₁ och U ₁ är skärningspunkterna med C ⁿ ⊕ (0) och V ₂ och U ₂ med (0) Cn ^. ⊕ Dimma V ₁ = dämpa U ₂ sedan och dämpa V ₂ = dämpa U ₁ . Dessutom, ^Cn ₍ 0) ⊕ Cn = V ₂ ⊕ U2 ⊕ ⁽ 0) = V ₁ ⊕ U ₁ och . Delrummet V motsvarar paret ( e | I − e ), där e är projektionen av C ⁿ ⊕ (0) på V ₁ . Notera att paret ( Cn ^⊕ (0) , (0) ⊕ Cn ) är ⁱ dualitet med avseende på ω och identifieringen mellan dem inducerar den kanoniska symmetriska bilinjära formen på C ⁿ . Speciellt identifieras Vi med _U2 och V2 med U1 _. _ _{_ _} Dessutom är de V ₁ och U ₁ är ortogonala med avseende på den symmetriska bilinjära formen på ( C ⁿ ⊕ (0) . Därför uppfyller den idempotenta e e ^t = e . Så a = e och b = I ligger i A och V är bilden av ( a | I − ba ).

Det allmänna fallet är en direkt summa av dessa två fall. V kan skrivas som en direkt summa ₀ V = V ⊕ V ₁ ⊕ V ₂ där V ₁ och V ₂ är skärningspunkterna med C ⁿ ⊕ (0) och (0) ⊕ C ⁿ och V ₀ är ett komplement i V . På liknande sätt U skrivas ₀ U = U ⊕ U ₁ ⊕ U ₂ . Således Cn ^⊕ (0) = V ₁ ⊕ U ₁ ⊕ W ₁ och (0) ⊕ Cn = V ₂ ⊕ U ₂ ⊕ W ₂ ^, där Wi _. är komplement Den direkta summan ( V ₁ ⊕ U ₁ ) ⊕ ( V ₂ ⊕ U ₂ ) ⊆ C ⁿ ⊕ C ⁿ är av det andra slaget. Den har ett komplement av det första slaget.

Kartorna W i strukturgruppen motsvarar h i GL( n , C ) , med W ( a ) = hah ^t . Motsvarande avbildning på M sänder ( x | y ) till ( hx | ( h ^t ) ⁻¹ y ). På liknande sätt sänder kartan som motsvarar Sc _sänder ( x | y ) till ( x | y + c ), kartan som motsvarar T _b ( x | y ) till ( x + b | y ) och kartan som motsvarar J sänder ( x | y ) till ( y | − x ). Det följer att kartan som motsvarar g sänder ( x | y ) till ( ax + by | cx + dy ). Å andra sidan, om y är inverterbar, är ( x | y ) ekvivalent med ( xy ⁻¹ | I ), varav formeln för den linjära fraktionella transformationen.

Typ II _2n . A är Jordan-algebra för 2 n × 2 n skevsymmetriska komplexa matriser A _n ( C ) och Jordan-produkten x ∘ y = − 1 / 2 ( x J y + y J x ) där enheten ges av $J={\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}}$ . Det är komplexifieringen av E = H _n ( H ) , den euklidiska Jordanalgebra av självtillslutande n × n matriser med poster i kvartjonerna. Detta diskuteras i Loos (1977) och Koecher (1969) .

Typ IV _n . A är Jordanalgebra C ⁿ ⊕ C med Jordanprodukten ( x ,α) ∘ ( y ,β) = (β x + α y ,αβ + x • y ) . Det är komplexiseringen av den euklidiska Jordanalgebra av rang 2 definierad av samma formler men med verkliga koefficienter. Detta diskuteras i Loos (1977) .

Typ VI. Den komplexiserade Albert algebra . Detta diskuteras i Faulkner (1972) , Loos (1978) och Drucker (1981) .

De hermitiska symmetriska utrymmena av kompakt typ X för enkla euklidiska Jordanalgebror E med period två automorfism kan uttryckligen beskrivas enligt följande, med hjälp av Cartans klassificering.

Typ I _p,q . Låt F vara rummet av q med p matriser över R med p ≠ q . Detta motsvarar automorfismen för E = H _{p + q} ( R ) som ges genom att konjugera av den diagonala matrisen med p diagonala poster lika med 1 och q till −1. Utan förlust av generalitet p tas större än q . Strukturen ges xytz ^. av trippelprodukten Utrymmet X kan identifieras med Grassmannian för p -dimensionellt delrum av C ^{p + q} = C ^p ⊕ C ^q . Detta har en naturlig inbäddning i C ^{2 p} = C ^p ⊕ C ^p genom att addera nollor i de sista p − q -koordinaterna. Eftersom vilket p -dimensionellt delrum som helst av C ^{2 p} kan representeras i formen [ I − y ^t x | x ], detsamma gäller för delrum som ligger i C ^{p + q} . De sista p − q raderna i x måste försvinna och mappningen ändras inte om de sista p − q raderna i y sätts lika med noll. Så en liknande representation gäller för mappningar, men nu med q av p -matriser. Precis som när p = q , följer det att det finns en verkan av GL( p + q , C ) genom linjära fraktionerade transformationer.

Typ II _n F är utrymmet för reella snedsymmetriska m gånger m matriser. Efter att ha tagit bort en faktor på √ -1 motsvarar detta period 2 automorfism som ges av komplex konjugering på E = H _n ( C ).

Typ V. F är den direkta summan av två kopior av Cayley-talen, betraktade som 1 gånger 2 matriser. Detta motsvarar den kanoniska period 2-automorfismen definierad av någon minimal idempotent i E = H ₃ ( O ).

Se även

• Mutation (algebra)
• Symmetrisk kon

Anteckningar

• Dineen, S.; Mackey, M.; Mellon, P. (1999), "Densitetsegenskapen för JB∗-trippel", Studia Math. , 137 : 143–160, hdl : 10197/7056
• Drucker, D. (1978), "Exceptional Lie algebras and the structure of Hermitian symmetric spaces", Mem. Amer. Matematik. Soc. , 16 (208)
•   Drucker, D. (1981), "Simplified descriptions of the exceptional bounded symmetric domains", Geom. Dedicata , 10 (1–4): 1–29, doi : 10.1007/bf01447407 , S2CID 120210279
•   Faraut, J.; Koranyi, A. (1994), Analysis on symmetric cones , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853477-8
• Faulkner, JR (1972), "A geometri for E ₇ ", Trans. Amer. Matematik. Soc. , 167 : 49–58, doi : 10.1090/s0002-9947-1972-0295205-4
•   Faulkner, JR (1983), "Stabil intervall och linjära grupper för alternativa ringar", Geom. Dedicata , 14 (2): 177–188, doi : 10.1007/bf00181623 , S2CID 122923381
•   Helgason, Sigurdur (1978), Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces , Academic Press, New York, ISBN 978-0-12-338460-7
•   Jacobson, Nathan (1968), Structure and representations of Jordan algebras , American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 39, American Mathematical Society , Zbl 0218.17010
•    Jacobson, Nathan (1969), Lectures on quadratic Jordan algebras (PDF) , Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, vol. 45, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0325715 , Zbl 0253.17013
•    Jacobson, Nathan (1996), Finite-dimensional division algebras over fields , Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-57029-5 , Zbl 0874.16002
•    Koecher, Max (1967), "Über eine Gruppe von rationalen Abbildungen", Invent. Matematik. , 3 (2): 136–171, doi : 10.1007/BF01389742 , S2CID 120969584 , Zbl 0163.03002
•   Koecher, Max (1969a), "Gruppen und Lie-Algebren von rationalen Funktionen", Math. Z. , 109 (5): 349–392, doi : 10.1007/bf01110558 , S2CID 119934963
• Koecher, Max (1969b), An elementary approach to bounded symmetric domains , Lecture Notes, Rice University
•    Koecher, Max (1999) [1962], Krieg, Aloys; Walcher, Sebastian (red.), The Minnesota Notes on Jordan Algebras and Their Applications , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1710, Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66360-7 , Zbl 1072.17513
• Koecher, Max (1971), "Jordanska algebras och differentialgeometri" (PDF) , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome I , Gauthier-Villars, s. 279–283
•   Kühn, Oda (1975), "Differentialgleichungen in Jordantripelsystemen", Manuscripta Math. , 17 (4): 363–381, doi : 10.1007/BF01170732 , S2CID 121509094
• Loos, Ottmar (1975), Jordan par , Lecture Notes in Mathematics, vol. 460, Springer-Verlag
• Loos, Ottmar (1977), Bounded symmetric domains and Jordan pairs (PDF) , Matematiska föreläsningar, University of California, Irvine, arkiverad från originalet (PDF) 2016-03-03 , hämtad 2013-05-12
•   Loos, Ottmar (1978), "Homogene algebraiska varianter definierade av Jordan-par", Monatsh. Matematik. , 86 (2): 107–129, doi : 10.1007/bf01320204 , S2CID 121527561
• Loos, Ottmar (1979), "Om algebraiska grupper definierade av Jordan-par" , Nagoya Math. J. , 74 : 23–66, doi : 10.1017/S0027763000018432
• Loos, Ottmar (1995), "Elementary groups and stabilitet för Jordan-par", K-Theory , 9 : 77–116, doi : 10.1007/bf00965460
• McCrimmon, Kevin (1978), "Jordanska algebror och deras tillämpningar", Bull. Amer. Matematik. Soc. , 84 (4): 612–627, doi : 10.1090/s0002-9904-1978-14503-0
•    McCrimmon, Kevin (2004), A taste of Jordan algebras , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b97489 , ISBN 978-0-387-95447-9 , MR 2014924 , Errata
• Meyberg, K. (1972), Föreläsningar om algebror och trippelsystem (PDF) , University of Virginia
• Roos, Guy (2008), "Exceptional symmetric domains", Symmetries in complex analysis , Contemp. Math., vol. 468, Amer. Matematik. Soc., s. 157–189
•   Springer, Tonny A. (1998), Jordan algebras and algebraic groups , Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-63632-8
• Wolf, Joseph A. (1972), "Fine struktur av hermitiska symmetriska utrymmen", i Boothby, William; Weiss, Guido (red.), Symmetric spaces (Short Courses, Washington University) , Pure and Applied Mathematics, vol. 8, Dekker, s. 271–357