Siegel-domän

Inom matematik är en Siegel-domän eller Piatetski-Shapiro-domän en speciell öppen delmängd av komplext affint rymd som generaliserar Siegels övre halva plan som studerats av Siegel ( 1939 ). De introducerades av Piatetski-Shapiro ( 1959 , 1969 ) i hans studie av avgränsade homogena domäner.

Definitioner

En Siegel-domän av det första slaget (eller första typen, eller släkte 1) är den öppna delmängden av C ^m av element z så att

$\Im (z)\in V\,$

där V är en öppen konvex kon i Rm ^. Detta är specialfall av rördomäner . Ett exempel är Siegels övre halvplan , där V ⊂ R ^{k ( k + 1)/2} är konen av positiva bestämda kvadratiska former i R ^k och m = k ( k + 1)/2.

domän , är den öppna delmängden av C ^m × C ⁿ av element ( z , w ) så att

$\Im (z)-F(w,w)\in V\,$

där V är en öppen konvex kon i Rm och F är en V - ^värderad hermitisk form på C ⁿ . Om n = 0 är detta en Siegel-domän av det första slaget.

En Siegel-domän av det tredje slaget (eller tredje typen, eller genus 3) är den öppna delmängden av C ^m × C ⁿ × C ^k av element ( z , w , t ) så att

$\Im (z)-\Re L_{t}(w,w)\in V\,$ och t ligger i något avgränsat område

där V är en öppen konvex kon i Rm och Lt är en V - _värderad semi -hermitisk form ^på Cn ^.

Avgränsade homogena domäner

En avgränsad domän är en öppen ansluten avgränsad delmängd av ett komplext affint utrymme. Den kallas homogen om dess grupp av automorfismer verkar transitivt, och kallas symmetrisk om det för varje punkt finns en automorfism som fungerar som –1 på tangentrymden. Avgränsade symmetriska domäner är homogena.

Élie Cartan klassificerade de homogena avgränsade domänerna i dimension som mest 3 (upp till isomorfism), vilket visar att de alla är hermitiska symmetriska utrymmen . Det finns 1 i dimension 1 (enhetsbollen), två i dimension 2 (produkten av två 1-dimensionella komplexa bollar eller en 2-dimensionell komplex boll). Han frågade om alla avgränsade homogena domäner är symmetriska. Piatetski-Shapiro ( 1959 , 1959b ) svarade på Cartans fråga genom att hitta en Siegel-domän av typ 2 i 4 dimensioner som är homogen och biholomorf till en avgränsad domän men inte symmetrisk. I dimensionerna minst 7 finns det oändliga familjer av homogena avgränsade domäner som inte är symmetriska.

È. B. Vinberg, SG Gindikin och II Piatetski-Shapiro ( 1963 ) visade att varje avgränsad homogen domän är biholomorf till en Siegel-domän av typ 1 eller 2.

Wilhelm Kaup, Yozô Matsushima och Takushiro Ochiai ( 1970 ) beskrev isomorfismerna hos Siegel-domäner av typ 1 och 2 och Lie-algebra för automorfismer i en Siegel-domän. I synnerhet två Siegel-domäner är isomorfa om och endast om de är isomorfa genom en affin transformation.

j-algebror

Antag att G är Lie-algebra för en transitiv kopplad grupp av analytiska automorfismer av en avgränsad homogen domän X , och låt K vara subalgebra som fixerar en punkt x . Då inducerar den nästan komplexa strukturen j på X en vektorrumsendomorfism j av G sådan att

• j ² =–1 på G / K
• [ x , y ] + j [ jx , y ] + j [ x , jy ] – [ jx , jy ] = 0 i G / K ; detta följer av det faktum att den nästan komplexa strukturen hos X är integrerbar
• Det finns en linjär form ω på G så att ω[ jx , jy ]=ω[ x , y ] och ω[ jx , x ]>0 om x ∉ K
• om L är en kompakt subalgebra av G med jL ⊆ K + L så L ⊆ K

En j -algebra är en Lie-algebra G med en subalgebra K och en linjär karta j som uppfyller egenskaperna ovan.

Lie-algebra för en sammankopplad Lie-grupp som verkar transitivt på en homogen avgränsad domän är en j -algebra, vilket inte är förvånande eftersom j -algebra definieras för att ha de uppenbara egenskaperna hos en sådan Lie-algebra. Det omvända är också sant: vilken j -algebra som helst är Lie-algebra för någon transitiv grupp av automorfismer i en homogen avgränsad domän. Detta ger inte en 1:1-överensstämmelse mellan homogena avgränsade domäner och j -algebror, eftersom en homogen avgränsad domän kan ha flera olika Lie-grupper som verkar transitivt på sig.

• Chu, Cho-Ho (2021), "Siegel-domäner över Finslers symmetriska koner", J. reine angew. Matematik. , 778 : 145-169
•    Kaup, Wilhelm; Matsushima, Yozô; ) , "On the automorphisms and equivalences of generalized Siegel domains", American Journal of Mathematics , 92 ( 2): 475–498, doi : 10.2307/2373335 , ISSN 0002-9327 0002-9327 0002-9327 0727 0002-9327 0002-9327 0002-9327 0002-9327  
•    Murakami, Shingo (1972), On automorphisms of Siegel-domäner , Lecture Notes in Mathematics, vol. 286, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0058567 , ISBN 978-3-540-05985-1 , MR 0364690
•    Piatetski-Shapiro, II (1959), "Om ett problem som föreslås av E. Cartan", Doklady Akademii Nauk SSSR , 124 : 272–273, ISSN 0002-3264 , MR 0101922
• Piatetski-Shapiro, II (1959b), "Geometri av homogena domäner och teorin om automorfa funktioner. Lösningen av ett problem av E. Cartan" , Uspekhi Mat. Nauk (på ryska), 14 (3): 190–192
•   Piatetski-Shapiro, II (1963), "Domäner av övre halvplanstyp i teorin om flera komplexa variabler", Proc . Internat. kongr. Matematiker (Stockholm, 1962) (på ryska), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, s. 389–396, MR 0176105 , arkiverad från originalet 2011-07-17
•    Piatetski-Shapiro, II (1969) [1961], Automorphic functions and the geometry of classical domäner , Mathematics and Its Applications, vol. 8, New York: Gordon and Breach Science Publishers, ISBN 9780677203102 , MR 0136770
•   Siegel, Carl Ludwig (1939), "Einführung in die Theorie der Modulfunktionenn-ten Grades", Mathematische Annalen , 116 : 617–657, doi : 10.1007/BF01597381 , ISSN 0025-5831 , 525-5831 , 525-5831 , 525-5831 , 7C 9   
• Vinberg, EB (2001) [1994], "Siegel-domän" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Vinberg, È. B.; Gindikin, SG; Piatetski -Shapiro, II (1963), "Classification and canonical realization of complex homogeneous bounded domains", Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva , 12 : 359–388,    0134-8663 , MR 0158415 , MR 0158415. ISSN -Shapiro 1969 ).
•    Xu, Yichao (2005), Theory of complex homogeneous bounded domäner , Mathematics and its Applications, vol. 569, Beijing: Science Press, ISBN 978-1-4020-2132-9 , MR 2217650