Trippelsystem

För en redogörelse för det konceptet inom kombinatorik , se Steiner trippelsystem och blockdesign .

I algebra är ett trippelsystem (eller ternar ) ett vektorrum V över ett fält F tillsammans med en F -trilinjär karta

$(\cdot ,\cdot ,\cdot )\colon V\times V\times V\to V.$

De viktigaste exemplen är Lie trippelsystem och Jordan trippelsystem . De introducerades av Nathan Jacobson 1949 för att studera delrum av associativa algebror stängda under trippelkommutatorer [[ u , v ], w ] och trippelantikommutatorer { u , { v , w }}. I synnerhet definierar vilken Lie-algebra som helst ett Lie-trippelsystem och vilken Jordan-algebra som helst definierar ett Jordan-trippelsystem. De är viktiga i teorierna om symmetriska utrymmen , särskilt hermitiska symmetriska utrymmen och deras generaliseringar ( symmetriska R-utrymmen och deras icke-kompakta dualer).

Lie trippelsystem

Ett trippelsystem sägs vara ett Lie trippelsystem om den trilinjära kartan, betecknad $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]$ , uppfyller följande identiteter:

$[u,v,w]=-[v,u,w]$

$[u,v,w]+[w,u,v]+[v,w,u]=0$

$[u,v,[w,x,y]]=[[u,v,w],x,y]+[w,[u,v,x],y]+[w,x, [u,v,y]].$

De två första identiteterna abstraherar skevsymmetrin och Jacobi-identiteten för trippelkommutatorn, medan den tredje identiteten innebär att den linjära kartan L _{u , v} : V → V , definierad av Lu _{, v (} w ) = [ u , v , w ] är en härledning av trippelprodukten. Identiteten visar också att mellanrummet k = span {L _{u , v} : u , v ∈ V } är stängt under kommutatorparentes, därav en Lie-algebra.

Om du skriver m i stället för V , följer det att

${\mathfrak {g}}:=k\oplus {\mathfrak {m}}$

kan göras till en $\mathbb {Z} _{2}$ -graderad Lie-algebra, standardinbäddningen av m , med parentes

$[(L,u),(M,v)]=([L,M]+L_{u,v},L(v)-M(u)).$

Nedbrytningen av g är helt klart en symmetrisk nedbrytning för denna Lie-parentes, och därför om G är en sammankopplad Lie-grupp med Lie-algebra g och K är en undergrupp med Lie-algebra k , så är G / K ett symmetriskt rymd .

Omvänt, givet en Lie-algebra g med en sådan symmetrisk nedbrytning (dvs. det är Lie-algebra för ett symmetriskt utrymme), gör trippelparentesen [[ u , v ], w ] m till ett Lie-trippelsystem.

Jordan trippelsystem

Ett trippelsystem sägs vara ett Jordan-trippelsystem om den trilinjära kartan, betecknad {.,.,.}, uppfyller följande identiteter:

$\{u,v,w\}=\{u,w,v\}$

$\{u,v,\{w,x,y\}\}=\{w,x,\{u,v,y\}\}+\{w,\{u,v,x \},y\}-\{\{v,u,w\},x,y\}.$

Den första identiteten abstraherar symmetrin hos den trippelantikommutatorn, medan den andra identiteten betyder att om Lu , _{v : V} → V definieras av Lu , _{v ( y} ) = { u , v , y } då

$[L_{u,v},L_{w,x}]:=L_{u,v}\circ L_{w,x}-L_{w,x}\circ L_{u ,v}=L_{w,\{u,v,x\}}-L_{\{v,u,w\},x}$

₀ så att utrymmet för linjära kartor spänner {L _{u , v} : u , v ∈ V } stängs under kommutatorparentes, och är därför en Lie-algebra g .

Alla Jordans trippelsystem är ett Lie trippelsystem med avseende på produkten

$[u,v,w]=\{u,v,w\}-\{v,u,w\}.$

₀ Ett Jordan-trippelsystem sägs vara positivt definitivt (resp. nondegenerate ) om den bilinjära formen på V definierad av spåret av L _{u , v} är positiv definit (resp. icke-degenerat). I båda fallen finns det en identifiering av V med dess dubbla utrymme, och en motsvarande involution på g . De framkallar en involution av

$V\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V^{*}$

₀₀ vilket i det positiva fallet är en kartansk involution. Det motsvarande symmetriska utrymmet är ett symmetriskt R-utrymme . Den har en icke-kompakt dual som ges genom att ersätta Cartan-involutionen med dess komposit med involutionen lika med +1 på g och −1 på V och V ^* . Ett specialfall av denna konstruktion uppstår när g bevarar en komplex struktur på V . I det här fallet får vi dubbla hermitiska symmetriska utrymmen av kompakt och icke-kompakt typ (de senare är avgränsade symmetriska domäner) .

Jordan par

Ett Jordan-par är en generalisering av ett Jordan-trippelsystem som involverar två _vektorrum V ₊ och V− . Den trilinjära kartan ersätts sedan av ett par trilinjära kartor

$\{\cdot ,\cdot ,\cdot \}_{+}\colon V_{-}\times S^{2 }V_{+}\to V_{+}$

$\{\cdot ,\cdot ,\cdot \}_{-} \colon V_{+}\times S^{2}V_{-}\to V_{-}$

som ofta ses som kvadratiska kartor V ₊ → Hom( V ₋ , V ₊ ) och V ₋ → Hom( V ₊ , V ₋ ). Det andra Jordanaxiomet (bortsett från symmetri) är likaledes ersatt av två axiom, varav ett är

$\{u,v,\{w,x,y\}_{+}\}_{+}=\{w,x,\{ u,v,y\}_{+}\}_{+}+\{w,\{u,v,x\}_{+},y\}_{+}-\{\{v, u,w\}_{-},x,y\}_{+}$

och den andra är den analoga med + och − subskript utbytta.

Som i fallet med Jordans trippelsystem kan man definiera, för u i V ₋ och v i V ₊ , en linjär karta

$L_{u,v}^{+}:V_{+}\to V_ {+}\quad {\text{by}}\quad L_{u,v}^{+}(y)=\{u,v,y\}_{+}$

och på liknande sätt L ⁻ . Jordanaxiomen (förutom symmetri) kan då skrivas

$[L_{u,v}^ {\pm },L_{w,x}^{\pm }]=L_{w,\{u,v,x\}_{\pm }}^{\pm }-L_{\{v,u ,w\}_{\mp },x}^{\pm }$

vilket innebär att bilderna av L ⁺ och L ⁻ stängs under kommutatorparenteser i End( V ₊ ) och End( V ₋ ). Tillsammans bestämmer de en linjär karta

$V_{+}\otimes V_{-}\to {\mathfrak {gl}}(V_{+})\oplus { \mathfrak {gl}}(V_{-})$

vars bild är en Lie subalgebra ${\mathfrak {g}}_{0}$ och Jordan-identiteterna blir Jacobi-identiteter för en graderad Lie-parentes på

$V_{+}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V_{-},$

så att omvänt, om

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{+1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus { \mathfrak {g}}_{-1}$

är en graderad Lie-algebra, då är paret $({\mathfrak {g}}_{+1},{\mathfrak {g}}_{-1})$ ett Jordan-par, med fästen

$\{X_{\mp },Y_{\pm },Z_{\pm }\}_{\pm }:=[[X_{\mp },Y_{\pm }],Z_{\pm }].$

Jordan-trippelsystem är Jordan-par med V ₊ = V ₋ och lika trilinjära kartor. Ett annat viktigt fall inträffar när V ₊ och V ₋ är dubbla till varandra, med dubbla trilinjära kartor som bestäms av ett element av

$\mathrm {End} (S^{2}V_{+})\cong S^{2}V_{+}^{*}\otimes S^{2}V_{-}^{*}\ cong \mathrm {Slut} (S^{2}V_{-}).$

Dessa uppstår särskilt när ${\mathfrak {g}}$ ovan är halvenkel, när Killing-formen ger en dualitet mellan ${\mathfrak {g}}_{+1}$ och ${\mathfrak {g}}_{-1}$ .

Se även

• Associator
• Kvadratisk Jordan algebra

•   Bertram, Wolfgang (2000), The geometry of Jordan and Lie structures , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1754, Springer, ISBN 978-3-540-41426-1
•   Helgason, Sigurdur (2001) [1978], Differentialgeometri, Lie groups, and symmetric spaces , Graduate Studies in Mathematics, vol. 34, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2848-9

•   Jacobson, Nathan (1949), "Lie and Jordan triple systems", American Journal of Mathematics , 71 (1): 149–170, doi : 10.2307/2372102 , JSTOR 2372102
• Kamiya, Noriaki (2001) [1994], "Lie triple system" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
• Kamiya, Noriaki (2001) [1994], "Jordan triple system" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
• Koecher, M. (1969), An elementary approach to bounded symmetric domains , Lecture Notes, Rice University
•   Loos, Ottmar (1969), General Theory , Symmetric spaces, vol. 1, WA Benjamin, OCLC 681278693
• Loos, Ottmar (1969), Compact Spaces and Classification , Symmetric spaces, vol. 2, WA Benjamin
• Loos, Ottmar (1971), "Jordan triple systems, R -spaces, and bounded symmetric domains", Bulletin of the American Mathematical Society , 77 ( 4): 558–561, doi : 10.1090/s0002-9904-1971-12753- 2
•   Loos, Ottmar (2006) [1975], Jordan pairs , Lecture Notes in Mathematics, vol. 460, Springer, ISBN 978-3-540-37499-2
• Loos, Ottmar (1977), Bounded symmetric domains and Jordan pairs (PDF) , Matematiska föreläsningar, University of California, Irvine, arkiverad från originalet (PDF) 2016-03-03
• Meyberg, K. (1972), Föreläsningar om algebror och trippelsystem (PDF) , University of Virginia
•    Rosenfeld, Boris (1997), Geometry of Lie groups , Mathematics and its Applications, vol. 393, Kluwer, sid. 92, ISBN 978-0792343905 , Zbl 0867.53002
• Tevelev, E. (2002), "Moore-Penrose inverse, parabolic subgroups, and Jordan pairs" , Journal of Lie Theory , 12 : 461–481, arXiv : math/0101107 , Bibcode : 2001math......1107T