Mutation (algebra)

I teorin om algebror över ett fält är mutation en konstruktion av en ny binär operation relaterad till multiplikationen av algebra. I specifika fall kan den resulterande algebra hänvisas till som en homotop eller en isotop av originalet.

Definitioner

Låt A vara en algebra över ett fält F med multiplikation (antas inte vara associativ ) betecknad med sida. För ett element a av A , definiera den vänstra a -homotopen $A(a)$ för att vara algebra med multiplikation

$x*y=(xa)y.\,$

Definiera på liknande sätt den vänstra ( a , b ) mutationen ${\displaystyle A(a,b)$

$x*y=(xa)y-(yb)x.\,$

Höger homotop och mutation definieras analogt. Eftersom den högra ( p , q ) mutationen av A är den vänstra (− q , − p ) mutationen av den motsatta algebra till A räcker det att studera vänstermutationer.

Om A är en enhetlig algebra och a är inverterbar hänvisar vi till isotopen med a .

Egenskaper

• Om A är associativ så är det också vilken homotop av A som helst , och varje mutation av A är Lie-tillåten .
• Om A är alternativ så är det också vilken homotop av A som helst, och varje mutation av A är Malcev-tillåten .
• Varje isotop av en Hurwitz-algebra är isomorf till originalet.
• En homotop av en Bernstein-algebra med ett element av vikt som inte är noll är återigen en Bernstein-algebra.

Jordan algebror

Huvudartikel: Mutation (Jordansk algebra)

En Jordan-algebra är en kommutativ algebra som uppfyller Jordan-identiteten $(xy)(xx)=x(y(xx))$ . Jordan trippelprodukten definieras av

$\{a,b,c\}=(ab)c+(cb)a-(ac)b.\,$

För y i A ^definieras mutationen eller homotopen Ay som vektorrummet A med multiplikation

$a\circ b=\{a,y,b\}.\,$

och om y är inverterbar kallas detta för en isotop . En homotop av en Jordanalgebra är återigen en Jordanalgebra: isotopi definierar en ekvivalensrelation. Om y är nukleär är isotopen av y isomorf till originalet.

•   Elduque, Alberto; Myung, Hyo Chyl (1994). Mutationer av alternativa algebror . Matematik och dess tillämpningar. Vol. 278. Springer-Verlag . ISBN 0792327357 .
•    Jacobson, Nathan (1996). Finita-dimensionell division algebror över fält . Berlin: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2 . Zbl 0874.16002 .
•    Koecher, Max (1999) [1962]. Krieg, Aloys; Walcher, Sebastian (red.). Minnesota-anteckningarna om Jordan Algebras och deras tillämpningar . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 1710 (omtryckt utg.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-66360-6 . Zbl 1072.17513 .
•    McCrimmon, Kevin (2004). En smak av Jordan algebror . Universitext. Berlin, New York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/b97489 . ISBN 0-387-95447-3 . MR 2014924 .
•    Okubo, Susumo (1995). Introduktion till Octonion och andra icke-associativa algebror i fysik . Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics. Berlin, New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-47215-6 . MR 1356224 . Arkiverad från originalet 2012-11-16 . Hämtad 2014-02-04 .