Cartans kriterium

Inom matematiken ger Cartans kriterium förutsättningar för att en Lie-algebra i karakteristiken 0 ska vara lösbar , vilket innebär att ett relaterat kriterium för Lie-algebra ska vara semisimple . Den är baserad på begreppet Killing-formen , en symmetrisk bilinjär form på ${\mathfrak {g}}$ definierad av formeln

$B(u,v)=\operatörsnamn {tr} (\operatörsnamn {ad} (u)\operatörsnamn {ad } (v)),$

där tr anger spåret av en linjär operator . Kriteriet infördes av Élie Cartan ( 1894 ).

Cartans kriterium för lösbarhet

Cartans kriterium för lösbarhet säger:

En Lie-subalgebra ${\mathfrak {g}}$ av endomorfismer av ett ändligt dimensionellt vektorutrymme över ett fält med karakteristisk noll är lösbart om och endast om $\operatornamn {tr } (ab)=0$ när $a\in {\mathfrak {g}},b\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}].$

Det faktum att $\operatorname {tr} (ab)=0$ i det lösbara fallet följer av Lies sats som sätter ${\mathfrak {g}}$ i den övre triangeln bildas över den algebraiska stängningen av markfältet (spåret kan beräknas efter utvidgning av markfältet). Det omvända kan härledas från nilpotenskriteriet baserat på Jordan–Chevalley-nedbrytningen (för bevis, följ länken).

Att tillämpa Cartans kriterium på den angränsande representationen ger:

En änddimensionell Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ över ett fält med karakteristisk noll är lösbar om och endast om $K({\mathfrak { g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0$ (där K är dödandeformen).

Cartans kriterium för halvenkelhet

Cartans kriterium för halvenkelhet säger:

En ändlig dimensionell Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ över ett fält med karakteristisk noll är semisenkel om och endast om Killing-formen är icke-degenererad .

Jean Dieudonné ( 1953 ) gav ett mycket kort bevis på att om en änddimensionell Lie-algebra (i vilken egenskap som helst) har en icke-degenererad invariant bilinjär form och inga icke-noll abelska ideal, och i synnerhet om dess dödande form är icke-degenererad , då är det en summa av enkla Lie-algebror.

Omvänt följer det lätt av Cartans kriterium för löslighet att en semisenkel algebra (i karakteristik 0) har en icke-degenererad Killing-form.

Exempel

Cartans kriterier misslyckas i egenskap $p>0$ ; till exempel:

• Lie-algebra $\operatorname {SL} _{p}(k)$ är enkel om k har egenskapen inte 2 och har försvinnande dödande form, även om den har en icke-noll invariant bilinjär form som ges av $(a,b)=\operatörsnamn {tr} (ab)$ .
• Lie-algebra med bas $a_{n}$ för $n\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ och parentes [ a _i , a _j ] = ( i − j ) a _{i + j} är enkelt för $p>2$ men har ingen invariant bilinjär form som inte är noll.
• Om k har karakteristik 2 så är den halvdirekta produkten gl ₂ ( k ). k ² är en lösbar Lie-algebra, men Killing-formen är inte identiskt noll på sin härledda algebra sl ₂ ( k ). k ² .

Om en änddimensionell Lie-algebra är nilpotent, så är Killing-formen identiskt noll (och mer generellt försvinner Killing-formen på alla nilpotenta ideal). Det omvända är falskt: det finns icke-nilpotenta Lie-algebror vars dödande form försvinner. Ett exempel ges av den halvdirekta produkten av en abelsk Lie-algebra V med en 1-dimensionell Lie-algebra som verkar på V som en endomorfism b så att b inte är nilpotent och Tr( b ² )=0.

I karakteristik 0 har varje reduktiv Lie-algebra (en som är summan av abelska och enkla Lie-algebra) en icke-degenererad invariant symmetrisk bilinjär form. Men det omvända är falskt: en Lie-algebra med en icke-degenererad invariant symmetrisk bilinjär form behöver inte vara en summa av enkla och abelska Lie-algebror. Ett typiskt motexempel är G = L [ t ]/ t ⁿ L [ t ] där n >1, L är en enkel komplex Lie-algebra med en bilinjär form (,), och den bilinjära formen på G ges genom att ta koefficienten för t ^{n −1} av den C [ t ]-värderade bilinjära formen på G inducerad av formen på L . Den bilinjära formen är icke-degenererad, men Lie-algebra är inte en summa av enkla och abelska Lie-algebror.

Anteckningar

• Cartan, Élie (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus , Thesis, Nony
•     Dieudonné, Jean (1953), "On semi-simple Lie algebras", Proceedings of the American Mathematical Society , 4 (6): 931–932, doi : 10.2307/2031832 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 20318200 , 9MR 26200
•    Serre, Jean-Pierre (2006) [1964], Lie algebras and Lie groups , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1500, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-70634-2 , ISBN 978-3-540-55008-2 , MR 2179691

Se även

• Modulär Lie algebra