Kvadratisk Jordan algebra

Inom matematiken är kvadratiska Jordanalgebror en generalisering av Jordanalgebror som introducerades av Kevin McCrimmon ( 1966 ) . De grundläggande identiteterna för den kvadratiska representationen av en linjär Jordanalgebra används som axiom för att definiera en kvadratisk Jordanalgebra över ett fält med godtyckliga egenskaper. Det finns en enhetlig beskrivning av ändliga dimensionella enkla kvadratiska Jordanalgebror, oberoende av karaktäristika. Om 2 är inverterbar inom koefficientområdet, reduceras teorin för kvadratiska Jordanalgebror till den för linjära Jordanalgebror.

Definition

En kvadratisk Jordanalgebra består av ett vektorrum A över ett fält K med ett framstående element 1 och en kvadratisk karta av A till K -endomorfismerna av A , a ↦ Q ( a ), som uppfyller villkoren:

• Q (1) = id ;
• Q ( Q ( a ) b ) = Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ) ("grundläggande identitet");
• Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) ("kommuteringsidentitet"), där R ( a , b ) c = ( Q ( a + c ) − Q ( a ) − Q ( c )) b .

Vidare måste dessa egenskaper hållas under alla skalärförlängningar .

Element

Ett element a är inverterbart om Q ( a ) är inverterbart och det finns b så att Q ( b ) är inversen av Q ( a ) och Q ( a ) b = a : sådan b är unik och vi säger att b är invers av a . En Jordan-divisionsalgebra är en där varje element som inte är noll är inverterbart.

Strukturera

Låt B vara ett delrum till A . Definiera B som ett kvadratiskt ideal eller ett inre ideal om bilden av Q ( b ) finns i B för alla b i B ; definiera B som ett yttre ideal om B mappas in i sig själv av varje Q ( a ) för alla a i A. Ett ideal av A är ett delrum som är både ett inre och ett yttre ideal. En kvadratisk Jordanalgebra är enkel om den inte innehåller några icke-triviala ideal.

För givet b är bilden av Q ( b ) ett inre ideal: vi kallar detta det huvudsakliga inre idealet på b .

Centroiden Γ av A är delmängden av End _K ( A ) som består av endomorfismer T som " pendlar" med Q i den meningen att för alla a

• T Q ( a ) = Q ( a ) T ;
• Q ( Ta ) = Q ( a ) T2 ^.

Centroiden för en enkel algebra är ett fält: A är central om dess tyngdpunkt bara är K .

Exempel

Kvadratisk Jordanalgebra från en associativ algebra

Om A är en enhetlig associativ algebra över K med multiplikation × så kan en kvadratisk karta Q definieras från A till End _K ( A ) med Q ( a ): b ↦ a × b × a . Detta definierar en kvadratisk Jordan algebrastruktur på A . En kvadratisk Jordanalgebra är speciell om den är isomorf till en subalgebra av en sådan algebra, annars exceptionell .

Kvadratisk Jordanalgebra från en kvadratisk form

Låt A vara ett vektorrum över K med en kvadratisk form q och tillhörande symmetrisk bilinjär form q ( x , y ) = q ( x + y ) - q ( x ) - q ( y ). Låt e vara en "baspunkt" för A , det vill säga ett element med q ( e ) = 1. Definiera en linjär funktionell T ( y ) = q ( y , e ) och en "reflektion" y ^∗ = T ( y ) e - y . För varje x definierar vi Q ( x ) med

Q ( x ) : y ↦ q ( x , y ^∗ ) x − q ( x ) y ^∗ .

Sedan definierar Q en kvadratisk Jordanalgebra på A .

Kvadratisk Jordanalgebra från en linjär Jordanalgebra

Låt A vara en enhetlig Jordanalgebra över ett fält K med karakteristik som inte är lika med 2. För a i A , låt L beteckna den vänstra multiplikationskartan i den associativa envelopperande algebra

$L(a):x\mapsto ax\$

och definiera en K -endomorfism av A , kallad kvadratisk representation , av

$\displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}$

Sedan definierar Q en kvadratisk Jordanalgebra.

Kvadratisk Jordanalgebra definierad av en linjär Jordanalgebra

De kvadratiska identiteterna kan bevisas i en ändlig dimensionell Jordan algebra över R eller C efter Max Koecher , som använde ett inverterbart element. De är också lätta att bevisa i en jordansk algebra definierad av en enhetlig associativ algebra (en "särskild" jordansk algebra) eftersom i så fall Q ( a ) b = aba . De är giltiga i vilken jordansk algebra som helst över ett fält med karakteristik som inte är lika med 2. Detta antogs av Jacobson och bevisades i Macdonald (1960 ) : Macdonald visade att om en polynomidentitet i tre variabler, linjär i den tredje, är giltig i alla speciell Jordanalgebra, då gäller den i alla Jordanalgebror. I Jacobson (1969 , s. 19–21) ges ett elementärt bevis, på grund av McCrimmon och Meyberg, för Jordan algebror över ett fält av karakteristik som inte är lika med 2.

Koechers bevis

Koechers argument gäller för finita dimensionella Jordanalgebror över de reella eller komplexa talen.

Grundläggande identitet I

Ett element a i A kallas inverterbart om det är inverterbart i R [ a ] ​​eller C [ a ]. Om b betecknar inversen, så visar kraftassociativiteten för a att L ( a ) och L ( b ) pendlar.

Faktum är att a är inverterbart om och endast om Q ( a ) är inverterbar. Isåfall

$\displaystyle {Q(a)^{-1}a=a^{-1},\,\,\,Q(a^{-1})=Q(a)^{-1}. }$

Om Q ( a ) är inverterbar bär den R [ a ] på sig själv. Å andra sidan Q ( a )1 = a2 ^, alltså

$\displaystyle {( Q(a)^{-1}a)a=aQ(a)^{-1}a=L(a)Q(a)^{-1}a=Q(a)^{-1}a^ {2}=1.}$

Jordans identitet

$\displaystyle {[L(a),L(a^{2})](b)=0}$

kan polariseras genom att ersätta a med a + tc och ta koefficienten för t . Att skriva om detta som en operator tillämpas på c ger

$\displaystyle {2L(ab)L(a)+L(a^{2})L(b)=2L(a)L(b)L(a)+L(a^{2}b) .}$

Att ta b = a ⁻¹ i denna polariserade Jordan-identitet ger

$\displaystyle {Q(a)L(a^{-1})=L(a).}$

a ersätts med dess invers, följer relationen om L ( a ) och L ( a ⁻¹ ) är inverterbara. Om inte gäller det för a + ε1 med ε godtyckligt liten och därmed också i gränsen.

• Om a och b är inverterbara så är Q ( a ) b det också och det uppfyller den inversa identiteten:

${\displaystyle \displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q(a^{-1})b^{-1}.}} Den kvadratiska representationen uppfyller följande grundläggande identitet$

• :

$\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a).}$

För c i A och F ( a ) en funktion på A med värden i End A , låt D _c F ( a ) vara derivatan vid t = 0 av F ( a + tc ). Sedan

$\displaystyle {c=D_{c}( Q(a)a^{-1})=2Q(a,c)a^{-1}+Q(a)D_{c}(a^{-1}),}$

där Q ( a , b ) om polariseringen av Q

$\displaystyle {Q(a,c)={1 \över 2}(Q(a+c)-Q(a)-Q(c))=L(a)L(c)+L(c )L(a)-L(ac).}$

Eftersom L ( a ) pendlar med L ( a ⁻¹ )

$\displaystyle {Q(a,c)a^{-1}=(L(a)L(c)+L(c)L(a)-L(ac))a^{-1}= c.}$

Därav

$\displaystyle {c=2c+Q(a)D_{c}(a^{-1}),}$

så att

$\displaystyle {D_{c}(a^{-1})=-Q(a)^{-1}c.}$

Att applicera D _c på L ( a ⁻¹ ) Q ( a ) = L ( a ) och agera på b = c ⁻¹ ger

$\displaystyle {(Q(a)b)(Q(a^{-1})b^{-1} )=1.}$

Å andra sidan är L ( Q ( a ) b ) inverterbar på en öppen tät uppsättning där Q ( a ) b också måste vara inverterbar med

$\displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q(a^{-1})b^{-1}.}$

Att ta derivatan D _c i variabeln b i uttrycket ovan ger

$\displaystyle {-Q(Q(a)b)^{-1}Q(a)c=-Q(a)^{-1}Q(b)^{-1}c.}$

Detta ger den grundläggande identiteten för en tät uppsättning inverterbara element, så det följer i allmänhet av kontinuitet. Den grundläggande identiteten innebär att c = Q ( a ) b är inverterbar om a och b är inverterbara och ger en formel för inversen av Q ( c ). Att tillämpa det på c ger den omvända identiteten i full allmänhet.

Kommuteringsidentitet I

Som visas ovan, om a är inverterbar,

$\displaystyle {Q(a,b)a^{-1}=b.}$

Att ta D _c med a som variabel ger

$\displaystyle {0=Q(c,b)a^{-1}+Q(a,b)D_{c}(a^{-1})=Q(c,b)a^{- 1}-Q(a,b)Q(a)^{-1}c.}$

Att ersätta a med a ⁻¹ ger, tillämpar Q ( a ) och använder den grundläggande identiteten ger

$\displaystyle {Q(a)Q(b,c)a=Q(a)Q(a^{-1},b)Q(a)c={\frac {1}{2}}Q (a)[Q(a^{-1}+b)-Q(a^{-1})-Q(b)]Q(a)c=Q(Q(a)b,a)c.}$

Därav

$\displaystyle {Q(a)Q(b,c)a=Q(Q(a)b,a)c.}$

Att byta b och c ger

$\displaystyle {Q(a)Q(b,c)a=Q(a,Q(a)c)b.}$

Å andra sidan definieras R ( x , y ) av R ( x , y ) z = 2 Q ( x , z ) y , så detta innebär

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=R(a,b)Q( a)c,}$

så att för en inverterbar och därmed genom kontinuitet för alla en

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a).}$

Mccrimmon–Meyberg bevis

Kommuteringsidentitet II

Jordan-identiteten a ^a a ^ta ( a2b ) = a2 ( ab ) kan polariseras genom att ersätta med + tc och koefficienten för t . Detta ger

$\displaystyle {c(a^{2}b)+2a(ac)b)=a^{2}(cb)+2(ac)(ab).}$

I operatornotation innebär detta

$\displaystyle {[L(a^{2}),L(c)] +2[L(ac),L(a)]=0.}$

Polariserande i en igen ger

$\displaystyle {c((ad)b)+d((ac)b)+a((dc)b)=(cd)(ab)+(da)(cb)+(ac)(db) .}$

Skrivet som operatörer som agerar på d , detta ger

$\displaystyle {L(c)L(b)L(a)+L((ac)b)+L(a)L(b)L(c)=L(ab)L(c)+L (cb)L(a)+L(ac)L(b).}$

Att ersätta c med b och b med a ger

$\displaystyle {L(b)L(a)^{2}+L(a(ab))+L(a)^{2}L(b)=L(a^{2})L( b)+2L(ab)L(a).}$

Dessutom, eftersom den högra sidan är symmetrisk i b och ' c , växlar b och c till vänster och subtraherar, följer det att kommutatorerna [ L ( b ),L( c )] är härledningar av Jordanalgebra.

Låta

$\displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}$

Sedan pendlar Q ( a ) med L ( a ) med Jordan-identiteten.

Från definitionerna om Q ( a , b ) = ½ ( Q ( a = b ) − Q ( a ) − Q ( b )) är den associerade symmetriska bilinjära mappningen, då Q ( a , a ) = Q ( a ) och

$\displaystyle {Q(a,b)=L(a)L(b)+L(b)L(a)-L(ab).}$

Dessutom

$\displaystyle {2Q(ab,a)=L(b)Q(a)+Q(a)L(b).}$

Verkligen

2 Q ( ab , a ) − L ( b ) Q ( a ) − Q ( a ) L ( b ) = 2 L ( ab ) L ( a ) + 2 L ( a ) L ( ab ) − 2 L ( a ) ( ab )) − 2 L ( a ) ² L ( b ) − 2 L ( b ) L ( a ) ² + L ( a ² ) L ( b ) + L ( b ) L ( a ² ).

Genom den andra och första polariserade Jordan-identiteten innebär detta

2 Q ( ab , a ) − L ( b ) Q ( a ) − Q ( a ) L ( b ) = 2[ L ( a ), L ( ab )] + [ L ( b ), L ( a ² ) ] = 0.

Den polariserade versionen av [ Q ( a ), L ( a )] = 0 är

$\displaystyle {2[Q(a,b),L(a)]=2[L(b),Q(a)].}$

Nu med R ( a , b ) = 2[ L ( a ), L ( b )] + 2 L ( ab ) , följer det att

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=2[Q(a)L(b),L(a)]+2Q(a)L(ab)=2[Q(ab,a) ),L(a)]+2[L(a),L(b)]Q(a)+2Q(a)L(ab).}$

Så med den sista identiteten med ab i stället för b antyder detta kommuteringsidentiteten:

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=2[L(a),L(b)]Q(a)+2L(ab)Q(a)=R(a,b)Q (a).}$

Identiteten Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) kan förstärkas till

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a).}$

Verkligen tillämpat på c , ger de två första termerna

$\displaystyle {2Q(a)Q(b,c)a=2Q(Q(a)c,a)b.}$

Att byta b och c ger då

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=2Q(Q(a)b,a)c.}$

Grundläggande identitet II

Identiteten Q ( Q ( a ) b ) = Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ) bevisas med hjälp av Lie-parentesrelationer

$\displaystyle {[R(a,b),R(c,d)]=R(R(a,b)c,d)-R(c,R(b,a)d).}$

ger polariseringen i c av identiteten Q ( c ) L ( x ) + L ( x ) Q ( c ) = 2 Q ( cx , c )

$\displaystyle {Q(c,y)L(x)+L(x)Q(c,y)=Q(yx,c)+Q(cx,y).}$

Om du applicerar båda sidorna på d visar detta det

$\displaystyle {[L(x),R(c,d)]=R(xc,d)-R(c,xd).}$

I synnerhet gäller dessa ekvationer för x = ab . Å andra sidan om T = [ L ( a ), L ( b )] så är D ( z ) = Tz en härledning av Jordanalgebra, så att

$\displaystyle {[T,R(c,d)]=R(Dc,d)+R(c,Dd).}$

Lie-parentesrelationerna följer eftersom R ( a , b ) = T + L ( ab ).

Eftersom Lie-konsolen på vänster sida är antisymmetrisk,

$\displaystyle {R(R(a,b)c,d)-R(c,R(b,a)d)=-R(R(c,d)a,b)+R(a, R(d,c)b).}$

Som en konsekvens

$\displaystyle {R(y,Q(x)y)=R(y,x)^{2}-2Q(y)Q(x).}$

Sätt verkligen a = y , b = x , c = z , d = x och få båda sidor att agera på y .

Å andra sidan

$\displaystyle {2Q(Q(a)b)=2R(a,b)Q(Q(a)b,a)-Q(a)R(b,Q(a)b).}$

Detta följer faktiskt genom att sätta x = Q ( a ) b in

$\displaystyle {[R(a,b),R(x,y)]a=-R(R(x,y)a,b)a+R(a,R(y,x)b) a.}$

Därför, genom att kombinera dessa ekvationer med den förstärkta kommuteringsidentiteten,

$\displaystyle {2Q(Q(a)b)=2R(a,b)Q(Q(a)b,a)-R(b,a)Q(a)R(a,b)+2Q (a)Q(b)Q(a)=2Q(a)Q(b)Q(a).}$

Linjär Jordanalgebra definierad av en kvadratisk Jordanalgebra

Låt A vara en kvadratisk Jordanalgebra över R eller C . Efter Jacobson (1969) kan en linjär Jordan algebrastruktur associeras med A så att, om L ( a ) är Jordan multiplikation, då den kvadratiska strukturen ges av Q ( a ) = 2 L ( a ) ² − L ( a ² ).

För det första kan axiomet Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) förstärkas till

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a).}$

Verkligen tillämpat på c , ger de två första termerna

$\displaystyle {2Q(a)Q(b,c)a=2Q(Q(a)c,a)b.}$

Att byta b och c ger då

$\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=2Q(Q(a)b,a)c.}$

Låt nu

$\displaystyle {L(a)={\frac {1}{2}}R(a,1).}$

Att ersätta b med a och a med 1 i identiteten ovan ger

$\displaystyle {R(a,1)=R(1,a)=2Q(a,1).}$

Särskilt

$\displaystyle {L(a)=Q(a,1),\,\,\,L(1)=Q(1,1)=I.}$

Om dessutom a är inverterbart då

$\displaystyle {R(a,b)=2Q(Q(a)b,a)Q(a)^{-1}=2Q(a)Q(b,a^{-1}).}$

På samma sätt om ' b är inverterbar

$\displaystyle {R(a,b)=2Q(a,b^{-1})Q(b).}$

Jordan-produkten ges av

$\displaystyle {a\circ b=L(a)b={\frac {1 }{2}}R(a,1)b=Q(a,b)1,}$

så att

$\displaystyle {a\circ b=b\circ a.}$

Formeln ovan visar att 1 är en identitet. Om du definierar a ² med a ∘ a = Q ( a )1, är det enda återstående villkoret som ska verifieras Jordan-identiteten

$\displaystyle {[L(a),L(a^{2})]=0.}$

I den grundläggande identiteten

$\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a), }$

Ersätt a med a + t , sätt b = 1 och jämför koefficienterna för t ² på båda sidor:

$\displaystyle {Q(a)=2Q(a,1)^{2}-Q(a^{2},1)=2L(a)^{2}-L(a^{2}) .}$

Inställning b = 1 i det andra axiomet ger

$\displaystyle {Q(a)L(a)=L(a)Q(a),}$

och därför måste L ( a ) pendla med L ( a ² ).

Byt identitet

I en enhetlig linjär Jordanalgebra hävdar skiftidentiteten det

$\displaystyle {R(Q(a)b,b)=R(a,Q(b)a).}$

Efter Meyberg (1972) kan det fastställas som en direkt konsekvens av polariserade former av den grundläggande identiteten och kommuterings- eller homotopiidentiteten. Det är också en konsekvens av Macdonalds teorem eftersom det är en operatoridentitet som endast involverar två variabler.

För a i en enhetlig linjär Jordanalgebra A ges den kvadratiska representationen av

$\displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}),}$

så den motsvarande symmetriska bilinjära kartläggningen är

$\displaystyle {Q(a,b)=L(a)L(b)+L(b)L(a)-L(ab).}$

De andra operatorerna ges av formeln

$\displaystyle {{\frac {1}{2}}R (a,b)=L(a)L(b)-L(b)L(a)+L(ab),}$

så att

$\displaystyle {Q(a,b)=2L(a)L(b)-{\frac {1}{2}}R(a,b).}$

Kommuterings- eller homotopiidentiteten

$\displaystyle {R(a,b)Q(a) =Q(a)R(b,a)=2Q(Q(a)b,a),}$

kan polariseras i en . Att ersätta a med a + t 1 och ta koefficienten för t ger

$\displaystyle {L(b)Q(a)+R(a,b)L(a)=Q(a)L(b)+L(a)R(b,a)=L(Q( a)b)+2Q(ab,a).}$

Den grundläggande identiteten

$\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a)}$

kan polariseras i en . Att ersätta a med a + t 1 och ta koefficienterna för t ger (byte a och b )

$\displaystyle {2Q(ab,a)=Q(a)L(b)+L(b)Q(a).}$

Att kombinera de två tidigare visade identiteterna ger

$\displaystyle {L(Q(a)b)+L(b)Q(a)=L(a)R(b,a),\,\,\,\,L(Q(b)a )+Q(b)L(a)=R(b,a)L(b).}$

Att ersätta a med a + t 1 i grundidentiteten och ta koefficienten för t ² ger

$\displaystyle {2Q(Q(a)b,b)-L(a)Q(b)L(a)=Q(a)Q(b)+Q(b)Q(a)-Q( ab).}$

Eftersom den högra sidan är symmetrisk innebär detta

$\displaystyle {2Q(Q(a)b,b)-2Q(Q(b)a,a)=L(a)Q(b)L(a)-L(b)Q(a)L (b).}$

Dessa identiteter kan användas för att bevisa skiftets identitet:

$\displaystyle {R(Q(a)b,b)=R(a,Q(b)a).}$

Det är likvärdigt med identiteten

$\displaystyle {2L(Q(a)b)L(b)-Q(Q(a)b,b)=2L(a)L(Q(b)a)-Q(a,Q(b) )a).}$

Med den tidigare visade identiteten motsvarar detta

$\displaystyle {[L(Q(a)b)+L(b)Q(a)]L(b)=L(a)[L(Q(b)a)+Q(b)L( a)].}$

Å andra sidan kan termerna inom parentes förenklas med den tredje visade identiteten. Det innebär att båda sidorna är lika med ½ L ( a ) R ( b , a ) L ( b ) .

För ändliga dimensionella enhetliga Jordanalgebror kan skiftidentiteten ses mer direkt med hjälp av mutationer . Låt a och b vara inverterbara och låt L _b ( a )= R ( a , b ) vara Jordanmultiplikationen i A ^b . Då Q ( b ) Lb ( a = La ( _b ) Q ( b ) _. _ ) Dessutom Q ( b ) Qb ( _a ) = Q ( b ) Q ( a ) Q ( b = Qa ( _b ) Q ( b ) . ) å andra sidan Q _b ( a )=2 L _b ( a ) ² − L _b ( a ^{2, b} ) och på liknande sätt med a och b utbytta. Därav

$\displaystyle {L_{a}(b^{2,a})Q(b)=Q(b)L_{b}(a^{2,b}).}$

Således

$\displaystyle {R(Q(b)a,a)Q(b)=Q(b)R(Q(a)b,b)=R(b,Q(a)b)Q(b),}$

så skiftidentiteten följer genom att avbryta Q ( b ). Ett densitetsargument tillåter att invertibilitetsantagandet tas bort.

Jordan par

Se även: Jordan-par

En linjär enhetlig Jordanalgebra ger upphov till en kvadratisk mappning Q och tillhörande mappning R som tillfredsställer den grundläggande identiteten, kommuteringen av homotopiidentitet och skiftidentiteten. Ett Jordan-par _avbildningar ( V ₊ , V− ) består av två vektorrum V _± och två kvadratiska Q _± från V _± till V _∓ . Dessa bestämmer bilinjära avbildningar R _± från V _± × V _∓ till V _± med formeln R ( a , b ) c = 2 Q ( a , c ) b där 2 Q ( a , c ) = Q ( a + c ) − Q ( a ) − Q ( c ) . Om ± prenumerationer utelämnas, måste dessa uppfylla

den grundläggande identiteten

$\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a), }$

kommuterings- eller homotopiidentiteten

$\displaystyle {R(a,b)Q(a) =Q(a)R(b,a)=2Q(Q(a)b,a),}$

och skiftidentiteten

$\displaystyle {R(Q(a)b,b)=R(a,Q(b)a).}$

En enhetlig Jordanalgebra A definierar ett Jordan-par genom att ta V _± = A med dess kvadratiska strukturkartor Q och R .

Se även

• Mutation (Jordansk algebra)

Anteckningar

•   Faraut, J.; Koranyi, A. (1994), Analysis on symmetric cones , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 0198534779
•   Jacobson, N. (1968), Structure and representations of Jordan algebras , American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 39, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4640-7 {{ citation }} : CS1 underhåll: datum och år ( länk )
•   Jacobson, N. (1969), Lectures on quadratic Jordan algebras (PDF) , Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, vol. 45, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0325715
•    Koecher, M. (1999), The Minnesota Notes on Jordan Algebras and Their Applications , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1710, Springer, ISBN 3-540-66360-6 , Zbl 1072.17513
•   Loos, Ottmar (2006) [1975], Jordan pairs , Lecture Notes in Mathematics, vol. 460, Springer, ISBN 978-3-540-37499-2
• Loos, Ottmar (1977), Bounded symmetric domains and Jordan pairs (PDF) , Matematiska föreläsningar, University of California, Irvine, arkiverad från originalet (PDF) 2016-03-03
• Macdonald, IG (1960), "Jordanska algebras med tre generatorer", Proc . London Math. Soc. , 10 : 395–408, doi : 10.1112/plms/s3-10.1.395 , arkiverad från originalet 2013-06-15
•       McCrimmon, Kevin (1966), "A general theory of Jordan rings", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 56 (4): 1072–9, doi : 10.1073/pnas.56.4.1072 , JSTOR 57792 , MR 0202783 , PMC 220000 , PMID 16591377 , Zbl 51029 .51029
• McCrimmon, Kevin (1975), "Quadratic methods in nonassociative algebras" (PDF) , Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, BC, 1974), Vol. 1 , s. 325–330
•     McCrimmon, Kevin (2004), A taste of Jordan algebras , Universitext, Springer-Verlag , doi : 10.1007/b97489 , ISBN 978-0-387-95447-9 , MR 2014924 , Zbl 10044 , Errat0014 .
• McCrimmon, Kevin (1978), "Jordan algebras and their applications", Bull . Amer. Matematik. Soc. , 84 (4): 612–627, doi : 10.1090/s0002-9904-1978-14503-0
• Meyberg, K. (1972), Föreläsningar om algebror och trippelsystem (PDF) , University of Virginia
•    Racine, Michel L. (1973), The aritmetics of quadratic Jordan algebras , Memoirs of the American Mathematical Society, vol. 136, American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1836-7 , Zbl 0348.17009

Vidare läsning

•    Faulkner, John R. (1970), Octonion Planes Defined by Quadratic Jordan Algebras , Memoirs of the American Mathematical Society, vol. 104, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-5888-2 , Zbl 0206.23301