Avbokning egendom
Inom matematiken är begreppet kansellerande en generalisering av begreppet invertibel .
Ett element a i en magma ( M , ∗) har den vänstra utsläckningsegenskapen (eller är vänsterutsläckande ) om för alla b och c i M , a ∗ b = a ∗ c alltid innebär att b = c .
Ett element a i en magma ( M , ∗) har den rätta upphävandeegenskapen (eller är högerupphävande ) om för alla b och c i M , b ∗ a = c ∗ a alltid innebär att b = c .
Ett element a i en magma ( M , ∗ ) har den tvåsidiga annulleringsegenskapen (eller är kansellerande ) om det är både vänster- och höger-släckande.
En magma ( M , ∗) har den vänstra utsläckningsegenskapen (eller är vänsterkansellerande) om alla a i magman är vänsterkansellerande, och liknande definitioner gäller för de högra kansellerande eller tvåsidiga kansellerande egenskaperna.
Ett vänsterinverterbart element är vänsterutsläckande, och analogt för höger och dubbelsidigt.
Till exempel är varje kvasigrupp , och därmed varje grupp , annullativ.
Tolkning
Att säga att ett element a i en magma ( M , ∗ ) är vänstercancellativt, är att säga att funktionen g : x ↦ a ∗ x är injektiv . Att funktionen g är injektiv innebär att givet viss likhet av formen a ∗ x = b , där det enda okända är x , finns det bara ett möjligt värde på x som uppfyller likheten. Mer exakt kan vi definiera någon funktion f , inversen av g , så att för alla x f ( g ( x )) = f ( a ∗ x ) = x . Med andra ord, för alla x och y i M , om a * x = a * y , så är x = y .
Exempel på kansellerande monoider och semigrupper
De positiva (lika icke-negativa) heltalen bildar en annullativ halvgrupp under addition. De icke-negativa heltalen bildar en cancellativ monoid under addition.
Faktum är att vilken fri halvgrupp eller monoid som helst följer den annullativa lagen, och i allmänhet kommer varje semigrupp eller monoid som bäddas in i en grupp (som exemplen ovan tydligt gör) att lyda den annullativa lagen.
På ett annat sätt har (en undersemigrupp av) den multiplikativa semigruppen av element i en ring som inte är nolldelare (som bara är mängden av alla element som inte är noll om ringen i fråga är en domän , som heltal) egenskapen annullering . Observera att detta förblir giltigt även om ringen i fråga är icke-kommutativ och/eller icke-enhetlig.
Icke-cancellativa algebraiska strukturer
Även om annulleringslagen gäller för addition, subtraktion, multiplikation och division av reella och komplexa tal (med undantag för multiplikation med noll och division av noll med ett annat tal), finns det ett antal algebraiska strukturer där annulleringslagen inte är giltig .
Korsprodukten av två vektorer följer inte annulleringslagen . Om a × b = a × c , så följer det inte att b = c även om a ≠ 0 .
Matrismultiplikation följer inte heller nödvändigtvis annulleringslagen. Om AB = AC och A ≠ 0 , så måste man visa att matris A är inverterbar (dvs har det ( A ) ≠ 0 ) innan man kan dra slutsatsen att B = C . Om det( A ) = 0 , så kanske B inte är lika med C , eftersom matrisekvationen AX = B inte kommer att ha en unik lösning för en icke-inverterbar matris A .
Observera också att om AB = CA och A ≠ 0 och matrisen A är inverterbar (dvs. har det ( A ) ≠ 0 ), är det inte nödvändigtvis sant att B = C . Avbokning fungerar endast för AB = AC och BA = CA (förutsatt att matris A är inverterbar ) och inte för AB = CA och BA = AC .