Noll semigrupp
I matematik är en nollhalvgrupp (även kallad nollhalvgrupp ) en halvgrupp med ett absorberande element , kallat noll , där produkten av två element är noll. Om varje element i en halvgrupp är en vänster nolla kallas halvgruppen en vänster noll halvgrupp ; en halvgrupp med höger noll definieras analogt. Enligt Clifford och Preston, "Trots deras trivialitet uppstår dessa semigrupper naturligt i ett antal undersökningar."
Noll semigrupp
Låt S vara en halvgrupp med nollelement 0. Då kallas S en nollhalvgrupp om xy = 0 för alla x och y i S .
Cayley-bord för en noll-semigrupp
Låt S = {0, a , b , c } vara (den underliggande mängden av) en nollhalvgrupp. Då Cayley-tabellen för S enligt nedan:
| 0 | a | b | c | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| a | 0 | 0 | 0 | 0 |
| b | 0 | 0 | 0 | 0 |
| c | 0 | 0 | 0 | 0 |
Vänster noll semigrupp
En halvgrupp där varje element är ett vänsternollelement kallas en vänsternollhalvgrupp . En halvgrupp S är alltså en vänsternoll-halvgrupp om xy = x för alla x och y i S .
Cayley-bord för en vänster-noll-semigrupp
Låt S = { a , b , c } vara en vänsternollhalvgrupp. Då är Cayley-tabellen för S enligt nedan:
| a | b | c | |
|---|---|---|---|
| a | a | a | a |
| b | b | b | b |
| c | c | c | c |
Höger noll semigrupp
En halvgrupp där varje element är ett högra nollelement kallas en höger nollhalvgrupp . En halvgrupp S är alltså en halvgrupp med höger noll om xy = y för alla x och y i S .
Cayley-bord för en halvgrupp med höger noll
Låt S = { a , b , c } vara en halvgrupp med höger noll. Då är Cayley-tabellen för S enligt nedan:
| a | b | c | |
|---|---|---|---|
| a | a | b | c |
| b | a | b | c |
| c | a | b | c |
Egenskaper
En icke-trivial null (vänster/höger noll) semigrupp innehåller inte ett identitetselement . Det följer att den enda noll (vänster/höger noll) monoiden är den triviala monoiden.
Klassen av noll-semigrupper är:
- stängt företag som tar delsemigrupper
- stängt företag tar kvot av undersemigrupp
- stängd under godtyckliga direktprodukter .
Det följer att klassen av noll (vänster/höger noll) semigrupper är en variation av universell algebra, och därmed en mängd ändliga semigrupper . Variationen av finita noll-semigrupper definieras av identiteten ab = cd .