Medial magma

I abstrakt algebra är en medial magma eller medial groupoid en magma eller groupoid (det vill säga en mängd med en binär operation ) som uppfyller identiteten

(x\cdot y)\cdot (u\cdot v)=(x\cdot u)\cdot ( y\cdot v)

, eller mer enkelt

xy\cdot uv=xu\cdot yv

för alla x , y , u och v , med användning av konventionen att juxtaposition betecknar samma operation men har högre prioritet. Denna identitet har på olika sätt kallats medial , abelisk , alternerande , transponering , utbyte , bi-kommutativ , bisymmetrisk , surkommutativ , entropisk etc.

Varje kommutativ semigrupp är en medial magma, och en medial magma har ett identitetselement om och endast om det är en kommutativ monoid . Den "enda om"-riktningen är Eckmann–Hilton-argumentet . En annan klass av semigrupper som bildar mediala magma är normala band . Mediala magma behöver inte vara associativa: för någon icke-trivial abelisk grupp med operation $+$ och heltal $m \neq n ,$ ger den nya binära operationen definierad av ${\displaystyle x\cdot y=mx+ny} en$ medial magma som i allmänhet varken är associativ eller kommutativ.

Genom att använda den kategoriska definitionen av produkt , för en magma $M$ , kan man definiera den kartesiska kvadratiska magman $M \times M$ med operationen

(x, y) ∙ (u, v) = (x ∙ u, y ∙ v)

.

Den binära operationen $∙$ av $M$ , betraktad som en avbildning från $M \times M$ till $M$ , mappar $(x, y)$ till $x ∙ y$ , $(u, v)$ till $u ∙ v$ , och $(x ∙ u, y ∙ v)$ till $(x ∙ u) ∙ (y ∙ v)$ . Därför är en magma $M$ medial om och endast om dess binära operation är en magmahomomorfism från $M \times M$ till $M$ . Detta kan lätt uttryckas i termer av ett kommutativt diagram och leder därmed till föreställningen om ett medialt magmaobjekt i en kategori med en kartesisk produkt . (Se diskussionen i auto magma object.)

Om $f$ och $g$ är endomorfismer av en medial magma, så definieras mappningen $f ∙ g genom punktvis multiplikation$

(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)

är i sig en endomorfism. Det följer att mängden End( $M$ ) av alla endomorfismer av en medial magma $M$ i sig själv är en medial magma.

Bruck–Murdoch–Toyodas sats

Bruck -Murdoch-Toyoda-satsen ger följande karakterisering av medial kvasigrupper . Givet en abelsk grupp $A$ och två pendlande automorfismer φ och ψ av $A$ , definiera en operation $*$ på $A$ med

x * y = φ(x) + ψ(y) + c,

där $c$ något fast element av $A$ . Det är inte svårt att bevisa att $A$ bildar en medial kvasigrupp under denna operation. Bruck–Toyoda-satsen säger att varje medial kvasigrupp är av denna form, dvs är isomorf till en kvasigrupp definierad från en abelsk grupp på detta sätt. I synnerhet är varje medial kvasigrupp isotop för en abelsk grupp.

Resultatet erhölls oberoende 1941 av DC Murdoch och K. Toyoda. Den återupptäcktes sedan av Bruck 1944.

Generaliseringar

Termen medial eller (vanligare) entropisk används också för en generalisering till flera operationer. En algebraisk struktur är en entropisk algebra om varannan operation uppfyller en generalisering av den mediala identiteten. Låt f och g vara operationer av aritet m respektive n . Då krävs f och g för att uppfylla

f(g(x_{11},\ldots,x_{1n}),\ldots,g(x_{m1},\ldots,x_{mn}))=g(f(x_{11}, \ldots ,x_{m1}),\ldots ,f(x_{1n},\ldots ,x_{mn})).

Icke-associativa exempel

Ett särskilt naturligt exempel på en icke-associativ medial magma ges av kolinjära punkter på elliptiska kurvor . Operationen $x\cdot y=-(x+y)$ för punkter på kurvan, motsvarande att rita en linje mellan x och y och definiera $x\cdot y$ som den tredje skärningspunkten för linjen med den elliptiska kurvan, är en (kommutativ) medial magma som är isotopisk för driften av elliptisk kurvaddition.

Till skillnad från elliptisk kurvaddition är $x\cdot y$ oberoende av valet av ett neutralt element på kurvan, och tillfredsställer vidare identiteterna $x\cdot ( x\cdot y)=y$ . Denna egenskap används ofta i rent geometriska bevis på att addition av elliptisk kurva är associativ.

Se även

Kategori av mediala magma

^ Historiska kommentarer Arkiverade 2011-07-18 på Wayback Machine J.Jezek och T.Kepka: Mediala groupoids Rozpravy CSAV, Rada mat. en prir. ved 93/2 (1983), 93 s
^ Yamada, Miyuki (1971), "Note on exklusiva semigroups", Semigroup Forum , 3 (1): 160–167, doi : 10.1007/BF02572956 .
^ Kuzʹmin, EN & Shestakov, IP (1995). "Icke-associativa strukturer". Algebra VI . Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 6. Berlin, New York: Springer-Verlag . s. 197–280. ISBN 978-3-540-54699-3 .
^ Davey, BA; Davis, G. (1985). "Tensorprodukter och entropiska varianter". Algebra Universalis . 21 : 68–88. doi : 10.1007/BF01187558 .

Murdoch, DC (maj 1941), "Structure of abelian quasi-groups", Trans. Amer. Matematik. Soc. , 49 (3): 392–409, doi : 10.1090/s0002-9947-1941-0003427-2 , JSTOR 1989940
Toyoda, K. (1941), "Om linjära funktioners axiom" , Proc. Imp. Acad. Tokyo , 17 (7): 221–7, doi : 10.3792/pia/1195578751
Bruck, RH (januari 1944), "Några resultat i teorin om kvasigrupper", Trans. Amer. Matematik. Soc. , 55 (1): 19–52, doi : 10.1090/s0002-9947-1944-0009963-x , JSTOR 1990138
Ježek, J.; Kepka, T. (1983), "Medial groupoids", Rozpravy Československé Akad. Věd Řada Mat. Přírod. Věd , 93 (2): 93 s

[Jezek-1] Historiska kommentarer Arkiverade 2011-07-18 på Wayback Machine J.Jezek och T.Kepka: Mediala groupoids Rozpravy CSAV, Rada mat. en prir. ved 93/2 (1983), 93 s

[2] Yamada, Miyuki (1971), "Note on exklusiva semigroups", Semigroup Forum , 3 (1): 160–167, doi : 10.1007/BF02572956 .

[3] Kuzʹmin, EN & Shestakov, IP (1995). "Icke-associativa strukturer". Algebra VI . Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 6. Berlin, New York: Springer-Verlag . s. 197–280. ISBN 978-3-540-54699-3 .

[generaliation-4] Davey, BA; Davis, G. (1985). "Tensorprodukter och entropiska varianter". Algebra Universalis . 21 : 68–88. doi : 10.1007/BF01187558 .