Lista över formler i Riemannsk geometri

Detta är en lista över formler som påträffas i Riemannsk geometri . Einstein-notation används i hela den här artikeln. Den här artikeln använder "analytikerns" teckenkonvention för Laplacians, utom när det nämns på annat sätt.

Christoffel symboler, kovariant derivata

I ett jämnt koordinatdiagram ges Christoffel-symbolerna av det första slaget av

$\Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}g_{ki}+{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}g_{kj}-{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}g_{ij}\right)={\frac {1} {2}}\left(g_{ki,j}+g_{kj,i}-g_{ij,k}\right)\,,$

och Christoffel-symbolerna av det andra slaget av

${\begin{aligned}\Gamma ^{m}{}_{ij}&=g^{mk}\Gamma _{kij}\\&={\frac {1}{2}}\, g^{mk}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}g_{ki}+{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}g_{kj }-{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}g_{ij}\right)={\frac {1}{2}}\,g^{mk}\left(g_{ki ,j}+g_{kj,i}-g_{ij,k}\right)\,.\end{aligned}}$

Här är $g^{ij}$ den inversa matrisen till den metriska tensorn $g_{ij}$ . Med andra ord,

$\delta ^{i}{}_{j}=g^{ik}g_{kj}$

och sålunda

$n=\delta ^{i}{}_{i}=g^{i}{}_{i}=g^{ij }g_{ij}$

grenrörets dimension .

Christoffel-symboler tillfredsställer symmetrirelationerna

$\Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}$ eller $\Gamma ^{i}{} _{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}$ ,

varav den andra motsvarar torsionsfriheten hos Levi-Civita-förbindelsen .

Kontraktsförhållandena på Christoffel-symbolerna ges av

$\Gamma ^{i}{}_{ki}={\frac {1}{2}}g^{im}{\frac {\partial g_{im}}{\partial x^ {k}}}={\frac {1}{2g}}{\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}={\frac {\partial \log {\sqrt {|g| }}}{\partial x^{k}}}$

och

$g^{k\ell }\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {-1}{\sqrt {|g |}}}\;{\frac {\partial \left({\sqrt {|g|}}\,g^{ik}\right)}{\partial x^{k}}}$

där | g | är det absoluta värdet av determinanten för den metriska tensorn $g_{ik}$ . Dessa är användbara när man hanterar divergenser och Laplacians (se nedan).

Den kovarianta derivatan av ett vektorfält med komponenter $v^{i}$ ges av:

$v^{i}{}_{;j}=(\nabla _{j}v)^{i }={\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}+\Gamma ^{i}{}_{jk}v^{k}$

och på liknande sätt ges den kovarianta derivatan av en $(0,1)$ - tensorfält med komponenter $v_{i}$ av:

$v_{i;j}=(\nabla _{j}v)_{i}={\frac { \partial v_{i}}{\partial x^{j}}}-\Gamma ^{k}{}_{ij}v_{k}$

För ett $(2,0)$ - tensorfält med komponenter $v^{ij}$ blir detta

$v^{ij}{}_{;k}=\nabla _ {k}v^{ij}={\frac {\partial v^{ij}}{\partial x^{k}}}+\Gamma ^{i}{}_{k\ell}v^{\ ell j}+\Gamma ^{j}{}_{k\ell}v^{i\ell }$

och likaså för tensorer med fler index.

Den kovarianta derivatan av en funktion (skalär) $\phi$ är bara dess vanliga differential:

$\nabla _{i}\phi =\phi _{;i}=\phi _{,i}={\frac {\partial \phi }{\ partiell x^{i}}}$

Eftersom Levi-Civita-kopplingen är metrisk-kompatibel, försvinner de kovarianta derivatorna av metrik,

$(\nabla _{k}g)_{ij}=0,\quad (\nabla _{k}g)^{ij }=0$

samt de kovarianta derivatorna av måttets determinant (och volymelement)

$\nabla _{k}{\sqrt {|g|}}=0$

Det geodetiska $X(t)$ som börjar vid origo med initial hastighet $v^{i}$ har Taylor-expansion i diagrammet:

$X(t)^{i}=tv^{i}-{\frac {t ^{2}}{2}}\Gamma ^{i}{}_{jk}v^{j}v^{k}+O(t^{3})$

Krökningstensorer

Definitioner

(3,1) Riemann krökningstensor

• ${R_{ijk}}^{l}={\frac {\partial \Gamma _{ik}^{l}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial \Gamma _{jk}^{l}}{\partial x^{i}}}+{\big (}\Gamma _{ik}^{p}\Gamma _{jp}^{l}-\Gamma _{ jk}^{p}\Gamma _{ip}^{l}{\big )}$
• $R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v} w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w$

(3,1) Riemann krökningstensor

• ${R_{jkl }^{i}}={\frac {\partial \Gamma _{lj}^{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \Gamma _{kj}^{i }}{\partial x^{l}}}+{\big (}\Gamma _{kp}^{i}\Gamma _{lj}^{p}-\Gamma _{lp}^{i}\ Gamma _{kj}^{p}{\big )}$

Ricci krökning

• $R_{ik}={R_{ijk}}^{j}$
• $\operatorname {Ric} (v,w)=\operatörsnamn {tr} (u\mapsto R(u,v) w)$

Skalär krökning

• $R=g^{ik}R_{ik}$
• $R=\operatörsnamn {tr} _{g}\operatörsnamn {Ric}$

Spårlös Ricci-tensor

• $Q_{ik}=R_{ik}-{\frac {1}{n}}Rg_{ik}$
• $Q(u,v)=\operatörsnamn {Ric} (u,v)-{\frac {1 }{n}}Rg(u,v)$

(4,0) Riemann krökningstensor

• $R_{ijkl}={R_{ijk}}^{p}g_{pl}$
• $\operatörsnamn {Rm} (u,v,w,x)=g{\big (}R( u,v)w,x{\big )}$

(4,0) Weyl-tensor

• $W_{ijkl}=R_{ijkl}-{\frac {1}{n(n-1)}}R{\big (} g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}{\big )}-{\frac {1}{n-2}}{\big (}Q_{ik}g_{jl}-Q_ {jk}g_{il}-Q_{il}g_{jk}+Q_{jl}g_{ik}{\big )}$
• $W(u,v,w,x)=\operatörsnamn {Rm} (u,v,w,x)-{\frac {1}{n(n- 1)}}R{\big (}g(u,w)g(v,x)-g(u,x)g(v,w){\big )}-{\frac {1}{n- 2}}{\big (}Q(u,w)g(v,x)-Q(v,w)g(u,x)-Q(u,x)g(v,w)+Q(v ,x)g(u,w){\big )}$

Einstein tensor

• $G_{ik}=R_{ik}-{\frac {1}{2}}Rg_{ik}$
• $G(u,v)=\operatörsnamn {Ric} (u,v)-{\frac {1 }{2}}Rg(u,v)$

Identiteter

Grundläggande symmetrier

• ${R_{ijk}}^{l}=-{R_{jik}}^{l}$
• $R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}=R_{klij}$

Weyl-tensoren har samma grundläggande symmetrier som Riemann-tensoren, men dess "analog" av Ricci-tensoren är noll:

• $W_{ijkl}=-W_{jikl}=-W_{ijlk}=W_{klij}$
• $g^{il}W_{ijkl}=0$

Ricci-tensoren, Einstein-tensoren och den spårlösa Ricci-tensoren är symmetriska 2-tensorer:

• $R_{jk}=R_{kj}$
• $G_{jk}=G_{kj}$
• $Q_{jk}=Q_{kj}$

Första Bianchi-identiteten

• $R_{ijkl}+R_{jkil}+R_{kijl}=0$
• $W_{ijkl}+W_{jkil}+W_{kijl}=0$

Andra Bianchi-identitet

• $\nabla _{p}R_{ijkl}+\nabla _{i}R_{jpkl}+\ nabla _{j}R_{pikl}=0$
• $(\nabla _{u}\operatörsnamn {Rm} )(v,w,x,y)+(\nabla _{v}\operatörsnamn {Rm} )(w,u,x,y)+( \nabla _{w}\operatörsnamn {Rm} )(u,v,x,y)=0$

Kontrakterad andra Bianchi-identitet

• $\nabla _{j}R_{pk}-\nabla _{p}R_{jk}=-\nabla ^{ l}R_{jpkl}$
• $(\nabla _{u}\operatörsnamn {Ric} )(v,w)-(\nabla _{v}\operatörsnamn {Ric} )(u,w)=-\operatörsnamn {tr} _{g }{\big (}(x,y)\mapsto (\nabla _{x}\operatörsnamn {Rm} )(u,v,w,y){\big )}$

Två gånger kontrakterad andra Bianchi-identitet

• $g^{pq}\nabla _{p}R_{qk}={\frac {1}{2}}\nabla _{k}R$
• $\operatörsnamn {div} _{g}\operatörsnamn {Ric} ={\frac {1}{2}}dR$

Motsvarande:

• $g^{pq}\nabla _{p}G_{qk}=0$
• $\operatörsnamn {div} _{g}G=0$

Ricci identitet

Om $X$ är ett vektorfält då

$\nabla _{i}\nabla _{j}X^{k}-\nabla _{j} \nabla _{i}X^{k}=-{R_{ijp}}^{k}X^{p},$

vilket bara är definitionen av Riemann-tensoren. Om $\omega$ är en enform då

$\nabla _{i}\nabla _{j}\omega _{k}-\nabla _{j}\nabla _{i}\omega _{k}={R_{ijk}}^{p }\omega _{p}.$

Mer allmänt, om $T$ är ett (0,k)-tensorfält då

$\nabla _{i}\nabla _{j}T_{l_{1}\cdots l_{k}}-\nabla _{j}\nabla _{i}T_{l_{1}\cdots l_ {k}}={R_{ijl_{1}}}^{p}T_{pl_{2}\cdots l_{k}}+\cdots +{R_{ijl_{k}}}^{p}T_{ l_{1}\cdots l_{k-1}p}.$

Anmärkningar

Ett klassiskt resultat säger att $W=0$ om och endast om $(M,g)$ är lokalt konformt platt, dvs om och bara om $M$ kan vara täckt av jämna koordinatdiagram i förhållande till vilka den metriska tensorn har formen $g_{ij}=e^{\varphi }\delta _{ij}$ för någon funktion ${ \displaystyle \varphi }$ på diagrammet.

Gradient, divergens, Laplace–Beltrami-operator

Gradienten för en funktion $\phi$ erhålls genom att höja indexet för differentialen $\displaystyle \partial _{i}\phi dx^{i}} ,$ i vars komponenter ges av :

$\nabla ^{i}\phi =\phi ^{;i}=g^{ik}\ phi _{;k}=g^{ik}\phi _{,k}=g^{ik}\partial _{k}\phi =g^{ik}{\frac {\partial \phi }{\ partiell x^{k}}}$

Divergensen för ett vektorfält med komponenterna $V^{m$ } är

$\nabla _{m}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{m}}}+V^{k}{\frac {\partial \ log {\sqrt {|g|}}}{\partial x^{k}}}={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial (V^{m} {\sqrt {|g|}})}{\partial x^{m}}}.$

Laplace –Beltrami-operatorn som verkar på en funktion $f$ ges av divergensen av gradienten:

${\begin{aligned}\Delta f&=\nabla _{i}\nabla ^{i}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial } {\partial x^{j}}}\left(g^{jk}{\sqrt {|g|}}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}\right)\\ &=g^{jk}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g^{jk}}{ \partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}+{\frac {1}{2}}g^{jk}g^{il}{\ frac {\partial g_{il}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}=g^{jk}{\frac {\partial ^ {2}f}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}-g^{jk}\Gamma ^{l}{}_{jk}{\frac {\partial f}{\ partiell x^{l}}}\end{aligned}}$

Divergensen för ett antisymmetriskt tensorfält av typen $(2,0)$ förenklar till

$\nabla _{k}A^{ik}={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial (A^{ik}{\sqrt {|g| }})}{\partial x^{k}}}.$

Hessian för en karta $\phi :M\rightarrow N$ ges av

$\left(\nabla \left(d\phi \right)\right)_{ij}^{\gamma }={\frac {\partial ^{2}\phi ^{\gamma }}{\ partiell x^{i}\partial x^{j}}}-^{M}\Gamma ^{k}{}_{ij}{\frac {\partial \phi ^{\gamma }}{\partial x ^{k}}}+^{N}\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}} }{\frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x^{j}}}.$

Kulkarni–Nomizu-produkt

Kulkarni –Nomizu-produkten är ett viktigt verktyg för att konstruera nya tensorer från befintliga tensorer på ett Riemann-grenrör. Låt $A$ och $B$ vara symmetriska kovarianta 2-tensorer. I koordinater,

$A_{ij}=A_{ji}\qquad \qquad B_{ij}=B_{ji}$

Sedan kan vi multiplicera dessa på ett sätt för att få en ny kovariant 4-tensor, som ofta betecknas $A{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\ ;\bigcirc ~}B$ . Den definierande formeln är

$\left(A{~\wedge \ !\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}B\right)_{ijkl}=A_{ik}B_{jl}+A_{jl}B_{ik}-A_{ il}B_{jk}-A_{jk}B_{il}$

Det är klart att produkten uppfyller

$A{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}B=B{~\wedge \!\! \!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}A$

I en tröghetsram

En ortonormal tröghetsram är ett koordinatdiagram så att man vid origo har relationerna $g_{ij}=\delta _{ij}$ och $\Gamma ^{i}{}_{jk}=0$ (men dessa kanske inte håller på andra punkter i ramen). Dessa koordinater kallas även normala koordinater. I en sådan ram är uttrycket för flera operatörer enklare. Observera att formlerna nedan endast är giltiga vid utgångspunkten för ramen .

$R_{ik\ell m}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}g_{im}}{\partial x^{k }\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial ^{2}g_{k\ell}}{\partial x^{i}\partial x^{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{i\ell }}{\partial x^{k}\partial x^{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{km}}{\partial x^{i}\partial x^{\ell }}}\right)$

$R^{\ell }{}_{ijk}={\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\Gamma ^{\ell }{}_{ik}-{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\Gamma ^{\ell }{}_{ij}$

Konform förändring

Låt $g$ vara ett Riemann- eller pseudo-Riemannann-mått på ett jämnt grenrör $M$ , och $\varphi$ en jämn verklig funktion på $M$ . Sedan

${\tilde {g}}=e^{2\varphi }g$

är också ett riemannsk mått på $M$ . Vi säger att ${\tilde {g}}$ är (punktvis) överensstämmande med $g$ . Uppenbarligen är överensstämmelse av mått en ekvivalensrelation. Här är några formler för konforma förändringar i tensorer associerade med måtten. (Mängder markerade med en tilde kommer att associeras med ${\displaystyle {\tilde {g}}} ,$ medan de som inte är markerade med sådan kommer att associeras med $g$ .)

Levi-Civita-anslutning

• ${\widetilde {\Gamma }}_{ij}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}} \delta _{j}^{k}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{j}}}\delta _{i}^{k}-{\frac {\partial \varphi } {\partial x^{l}}}g^{lk}g_{ij}$
• ${\widetilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+d\varphi (X)Y+d\varphi (Y)Xg(X,Y)\nabla \varphi$

(4,0) Riemann krökningstensor

• ${\widetilde {R}}_{ijkl}=e^{2\varphi }R_{ijkl}-e^{2\varphi }{\big (}g_{ik}T_{jl}+g_{ jl}T_{ik}-g_{il}T_{jk}-g_{jk}T_{il}{\big )}$ där $T_{ij}=\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi -\nabla _{i}\varphi \nabla _{j}\varphi +{\frac {1} {2}}|d\varphi |^{2}g_{ij}$

Använda Kulkarni–Nomizu-produkten :

• ${\widetilde {\operatörsnamn {Rm} }}=e ^{2\varphi }\operatörsnamn {Rm} -e^{2\varphi }g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}\left(\ operatornamn {Hess} \varphi -d\varphi \otimes d\varphi +{\frac {1}{2}}|d\varphi |^{2}g\right)$

Ricci tensor

• ${\widetilde {R}}_{ij}=R_{ij}-(n-2){\big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi -\nabla _{i }\varphi \nabla _{j}\varphi {\big )}-{\big (}\Delta \varphi +(n-2)|d\varphi |^{2}{\big )}g_{ij}$
• ${\widetilde {\operatörsnamn {Ric} }}=\operatörsnamn {Ric} -(n-2){\big (}\operatörsnamn {Hess} \varphi -d\varphi \otimes d\varphi {\big )}-{\big (}\Delta \varphi +(n-2)|d\varphi |^{2}{\big )}g$

Skalär krökning

• ${\widetilde {R}}=e^{-2\varphi }R-2(n-1)e^{-2\varphi }\Delta \varphi -(n-2)(n-1 )e^{-2\varphi }|d\varphi |^{2}$
• om $n\neq 2$ kan detta skrivas ${\tilde {R}}=e^{-2\varphi }\left[R-{\frac {4(n-1)}{(n-2)}}e^{-(n- 2)\varphi /2}\Delta \left(e^{(n-2)\varphi /2}\right)\right]$

Spårlös Ricci-tensor

• ${\widetilde {R}}_{ij}-{\frac {1}{n}}{\widetilde {R}}{\widetilde {g}}_{ij}=R_ {ij}-{\frac {1}{n}}Rg_{ij}-(n-2){\big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi -\nabla _{i} \varphi \nabla _{j}\varphi {\big )}+{\frac {(n-2)}{n}}{\big (}\Delta \varphi -|d\varphi |^{2}{ \big )}g_{ij}$
• ${\widetilde {\operatörsnamn {Ric} }}-{\frac {1}{n}}{\widetilde {R}}{\widetilde {g}}=\operatörsnamn {Ric} -{\frac { 1}{n}}Rg-(n-2){\big (}\operatörsnamn {Hess} \varphi -d\varphi \otimes d\varphi {\big )}+{\frac {(n-2)} {n}}{\big (}\Delta \varphi -|d\varphi |^{2}{\big )}g$

(3,1) Weyl-kurvatur

• ${{\widetilde {W}}_{ijk}}^{l}={W_{ijk}}^{l}$
• ${\widetilde {W}}(X,Y,Z)=W(X,Y,Z)$ för alla vektorfält $X,Y,Z$

Volymform

• ${\sqrt {\det {\widetilde {g}}}}=e^{n\varphi }{\sqrt {\det g}}$
• $d\mu _{\widetilde {g}}=e^{n\varphi }\,d\mu _{g}$

Hodge-operatör på p-formulär

• ${\widetilde {\ast }}_{i_ {1}\cdots i_{np}}^{j_{1}\cdots j_{p}}=e^{(n-2p)\varphi }\ast _{i_{1}\cdots i_{np}} ^{j_{1}\cdots j_{p}}$
• ${\widetilde {\ast }}=e^{(n-2p)\varphi }\ast$

Kodifferential på p-former

• ${\widetilde {d^{\ast }}}_{j_{1}\cdots j_{p-1}}^{i_{1}\cdots i_ {p}}=e^{-2\varphi }(d^{\ast })_{j_{1}\cdots j_{p-1}}^{i_{1}\cdots i_{p}}- (n-2p)e^{-2\varphi }\nabla ^{i_{1}}\varphi \delta _{j_{1}}^{i_{2}}\cdots \delta _{j_{p- 1}}^{i_{p}}$
• ${\widetilde {d^{\ast }}}=e^{-2\varphi }d^ {\ast }-(n-2p)e^{-2\varphi }\iota _{\nabla \varphi }$

Laplacian på funktioner

• ${\widetilde {\Delta }}\Phi =e^{-2\varphi }{\ Stor (}\Delta \Phi +(n-2)g(d\varphi ,d\Phi ){\Big )}$

Hodge Laplacian på p-former

• ${\widetilde {\Delta ^{d}}}\omega =e^{-2\varphi }{\Big (}\Delta ^{d}\ omega -(n-2p)d\circ \iota _{\nabla \varphi }\omega -(n-2p-2)\iota _{\nabla \varphi }\circ d\omega +2(n-2p) d\varphi \wedge \iota _{\nabla \varphi }\omega -2d\varphi \wedge d^{\ast }\omega {\Big )}$

"Geometerns" teckenkonvention används för Hodge Laplacian här. I synnerhet har den motsatt tecken på funktioner som den vanliga Laplacian.

Andra grundläggande formen av en nedsänkning

Antag att $(M,g)$ är Riemannian och $F:\Sigma \to (M,g)$ är en två gånger differentierbar nedsänkning. Kom ihåg att den andra grundformen är, för varje $p\in M,$ en symmetrisk bilinjär karta ${\displaystyle h_{p}:T_{p}\Sigma \times T_{p}\Sigma \to T_{F(p)}M,} som värderas$ i $g_{F(p)}$ -ortogonalt linjärt delrum till $dF_{p}(T_{p}\Sigma )\subset T_{F(p)}M.$ Sedan

• ${\widetilde {h}}(u,v)=h(u,v)-( \nabla \varphi )^{\perp }g(u,v)$ för alla $u,v\in T_{p}M$

Här betecknar $(\nabla \varphi )^{\perp }$ g $g_{F(p)}$ -ortogonal projektion $\nabla \varphi \in T_{F(p)}M$ på $g_{F(p)}$ -ortogonalt linjärt delrum till $dF_{p}(T_{p}\Sigma )\subset T_{F(p)}M.$

Genomsnittlig krökning av en nedsänkning

I samma inställning som ovan (och anta att $\Sigma$ har dimensionen $n$ ), kom ihåg att medelkurvaturvektorn är för varje $p\in \Sigma$ ett element ${\textbf {H}}_{p}\in T_{F(p)}M$ definierad som $g$ -spåret av den andra grundformen. Sedan

• ${\widetilde {\textbf {H}}}=e^{-2\varphi }({\textbf {H}}-n(\nabla \varphi )^{\perp }).$

Observera att denna transformationsformel är för medelkurvaturvektorn och formeln för medelkurvatur $H$ i hypersurface-fallet är

• ${\widetilde {H}}=e^{-\varphi }(Hn\langle \nabla \varphi ,\eta \rangle )$

där $\eta$ är ett (lokalt) normalt vektorfält.

Variationsformler

Låt $M$ vara ett jämnt grenrör och låt $g_{t}$ vara en enparametersfamilj av Riemanannian eller pseudo-Riemannian metrik. Antag att det är en differentierbar familj i den meningen att för varje jämnt koordinatdiagram, derivatorna $v_{ij}={\frac {\partial }{ \partial t}}{\big (}(g_{t})_{ij}{\big )}$ existerar och är själva så differentierbara som behövs för att följande uttryck ska vara meningsfulla. $v={\frac {\partial g}{\partial t}}$ är en enparameterfamilj av symmetriska 2-tensorfält.

• ${\frac {\partial }{\partial t}}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kp}{\Big (}\nabla _ {i}v_{jp}+\nabla _{j}v_{ip}-\nabla _{p}v_{ij}{\Big )}.$
• ${\frac {\partial }{\partial t}}R_{ijkl}={\frac {1}{2}}{\Big (}\ nabla _{j}\nabla _{k}v_{il}+\nabla _{i}\nabla _{l}v_{jk}-\nabla _{i}\nabla _{k}v_{jl}- \nabla _{j}\nabla _{l}v_{ik}{\Big )}+{\frac {1}{2}}{R_{ijk}}^{p}v_{pl}-{\frac {1}{2}}{R_{ijl}}^{p}v_{pk}$
• ${\frac {\partial }{\partial t}}R_{ik}={\frac {1}{2}}{\Big (}\nabla ^{ p}\nabla _{k}v_{ip}+\nabla _{i}(\operatörsnamn {div} v)_{k}-\nabla _{i}\nabla _{k}(\operatörsnamn {tr} _{g}v)-\Delta v_{ik}{\Big )}+{\frac {1}{2}}R_{i}^{p}v_{pk}-{\frac {1}{2 }}R_{i}{}^{p}{}_{k}{}^{q}v_{pq}$
• ${\frac {\partial }{\partial t}}R=\operatörsnamn {div} _{g}\operatörsnamn {div} _{g}v-\Delta (\operatörsnamn {tr} _{g}v)-\langle v,\operatörsnamn {Ric} \rangle _{g}$
• ${\frac {\partial }{\partial t}}d\mu _{g}={\frac {1}{2 }}g^{pq}v_{pq}\,d\mu _{g}$
• ${\frac {\partial }{\partial t}}\nabla _{i}\nabla _{j}\Phi =\nabla _{i}\nabla _{j}{\frac {\partial \ Phi }{\partial t}}-{\frac {1}{2}}g^{kp}{\Big (}\nabla _{i}v_{jp}+\nabla _{j}v_{ip} -\nabla _{p}v_{ij}{\Big )}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{k}}}$
• ${\frac {\partial }{\partial t} }\Delta \Phi =-\langle v,\operatörsnamn {Hess} \Phi \rangle _{g}-g{\Big (}\operatörsnamn {div} v-{\frac {1}{2}}d( \operatörsnamn {tr} _{g}v),d\Phi {\Big )}$

Huvudsymbol

Variationsformelberäkningarna ovan definierar den huvudsakliga symbolen för mappningen som skickar en pseudo-riemannisk metrik till dess Riemann-tensor, Ricci-tensor eller skalära krökning.

• Huvudsymbolen för kartan $g\mapsto \operatörsnamn {Rm} ^{g}$ tilldelar varje $\xi \in T_{p}^{\ast }M$ en karta från utrymmet för symmetriska (0,2)-tensorer på $T_{p}M$ till utrymmet för (0,4)-tensorer på $T_ {p}M,$ ges av

${\displaystyle v\mapsto {\frac {\xi _{j}\xi _{k}v_{il}+\xi _{i}\xi _{l}v_{jk}-\xi _{i} \xi _{k}v_{jl}-\xi _{j}\xi _{l}v_{ik}}{2}}=-{\frac {1}{2}}(\xi \otimes \ xi ){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}v.} Huvudsymbolen$

• för kartan $g\mapsto \operatorname { Ric} ^{g}$ tilldelar varje $\xi \in T_{p}^{\ast }M$ en endomorfism av rymden av symmetriska 2-tensorer på ${\ displaystyle T_{p}M}$ ges av

$v\mapsto v(\xi ^{\sharp},\cdot )\otimes \xi +\xi \otimes v(\xi ^{\sharp},\cdot )-(\operatörsnamn {tr} _{ g_{p}}v)\xi \otimes \xi -|\xi |_{g}^{2}v.$

• Huvudsymbolen för kartan $g\mapsto R^{g}$ tilldelar varje $\xi \in T_{p}^{\ast }M$ an element av det dubbla rummet till vektorrummet för symmetriska 2-tensorer på $T_{p}M$ med

$v\mapsto |\xi |_{g}^{2}\operatörsnamn {tr} _{g}v+v(\xi ^{\sharp},\xi ^{\sharp }).$

Se även

• Liouvilles ekvationer

Anteckningar

•   Arthur L. Besse. "Einsteins grenrör." Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 10. Springer-Verlag, Berlin, 1987. xii+510 s. ISBN 3-540-15279-2