Kulkarni–Nomizu-produkt

Inom det matematiska området differentialgeometri definieras Kulkarni–Nomizu-produkten (uppkallad efter Ravindra Shripad Kulkarni och Katsumi Nomizu) för två ( Kulkarni–Nomizu product (named for Ravindra Shripad Kulkarni and Katsumi Nomizu(0, 2)-tensors and gives as a result a (0, 4)-tensor.

Definition

Om h och k är symmetriska (0, 2) -tensorer, så definieras produkten via:

${\begin{aligned}(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(X_{1},X_{2}, X_{3},X_{4}):={}&h(X_{1},X_{3})k(X_{2},X_{4})+h(X_{2},X_{4} )k(X_{1},X_{3})\\&{}-h(X_{1},X_{4})k(X_{2},X_{3})-h(X_{2} ,X_{3})k(X_{1},X_{4})\\[3pt]{}={}&{\begin{vmatrix}h(X_{1},X_{3})&h(X_ {1},X_{4})\\k(X_{2},X_{3})&k(X_{2},X_{4})\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}k( X_{1},X_{3})&k(X_{1},X_{4})\\h(X_{2},X_{3})&h(X_{2},X_{4})\end {vmatrix}}\end{aligned}}$

där X _j är tangentvektorer och $|\cdot |$ är matrisdeterminanten . Observera att ${\displaystyle h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k=k{~\wedge \! \!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}h} ,$ som det framgår av det andra uttrycket.

Med avseende på en bas $\{\partial _{i}\}$ av tangentrymden, tar den den kompakta formen

$(h~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~k)_{ijlm}=(h{~\wedge \!\!\!\! \!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(\partial _{i},\partial _{j},\partial _{l},\partial _{m})=2h_{i[ l}k_{m]j}+2h_{j[m}k_{l]i}\,,$

där $[\dots ]$ anger den totala antisymmetriseringssymbolen .

Kulkarni–Nomizu-produkten är ett specialfall av produkten i den graderade algebra

$\bigoplus _{p=1}^{n}S^{2}\left(\Omega ^{p}M\right),$

där, på enkla element,

$(\alpha \cdot \beta ){~\wedge \!\!\!\!\!\! !\!\!\;\bigcirc ~}(\gamma \cdot \delta )=(\alpha \wedge \gamma )\odot (\beta \wedge \delta )$

( $\odot$ betecknar den symmetriska produkten ).

Egenskaper

Kulkarni-Nomizu-produkten av ett par symmetriska tensorer har de algebraiska symmetrierna från Riemann-tensoren . Till exempel, på rymdformer (dvs. utrymmen med konstant sektionskrökning ) och tvådimensionella jämna Riemann-grenrör, har Riemann-kurvaturtensorn ett enkelt uttryck i termer av Kulkarni–Nomizu-produkten av metrisk $g=g_{ij}dx^{i}\otimes dx^{j}$ med sig själv; nämligen om vi betecknar med

$\operatörsnamn {R} (\partial _{i},\partial _{j})\partial _{k}={ R^{l}}_{ijk}\partial _{l}$

(1, 3) -kurvaturtensorn och by

$\operatörsnamn {Rm} =R_{ijkl}dx^{i}\otimes dx^{j}\otimes dx ^{k}\otimes dx^{l}$

Riemann-kurvaturtensoren med ${\displaystyle R_{ijkl}=g_{im}{R^{m}}_{jkl}} ,$ sedan

$\operatörsnamn {Rm} ={\frac {\operatörsnamn {Scal} }{4}}g~\wedge \!\!\!\!\!\!\! \!\;\bigcirc ~g,$

där $\operatörsnamn {Scal} =\operatörsnamn {tr} _{g}\operatörsnamn {Ric} ={R^{i}}_{i}$ är skalären krökning och

$\operatorname {Ric} (Y,Z)=\operatörsnamn {tr} _{g}\lbrace X\ mapto \operatörsnamn {R} (X,Y)Z\rbrace$

är Ricci-tensorn , som i komponenter läser $R_{ij}={R^{k}}_{ikj}$ . Expandera Kulkarni–Nomizu-produkten ${\displaystyle g~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~g} med hjälp av definitionen$ från ovan, får man

$R_{ijkl}={\frac {\operatörsnamn {Scal} }{4}}g_{i[k}g_{l]j}={\frac {\operatörsnamn {Scal} }{2}}( g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})\,.$

Detta är samma uttryck som anges i artikeln om Riemanns krökningstensor .

Av just detta skäl används det ofta för att uttrycka det bidrag som Ricci-krökningen (eller snarare Schouten-tensoren ) och Weyl-tensoren var och en ger till krökningen av en Riemann-grenrör . Denna så kallade Ricci-nedbrytning är användbar i differentialgeometri .

När det finns en metrisk tensor g , är Kulkarni–Nomizu-produkten av g med sig själv identitetsendomorfismen för utrymmet av 2-former, Ω ² ( M ), under identifieringen (med hjälp av metriken) av endomorfismen End(Ω) ² ( M )) med tensorprodukten Ω ² ( M ) ⊗ Ω ² ( M ).

Ett Riemann-grenrör har konstant tvärsnittskurvatur k om och endast om Riemann-tensorn har formen

$R={\frac {k}{2}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~} g$

där g är den metriska tensorn .

Anteckningar

•   Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag , s. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8 .
• Gallot, S., Hullin, D. och Lafontaine, J. (1990). Riemannsk geometri . Springer-Verlag. {{ citera bok }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )