Jacobi fält

I Riemannsk geometri är ett Jacobi-fält ett vektorfält längs ett geodetiskt $\gamma$ i ett Riemannskt grenrör som beskriver skillnaden mellan geodetik och en "oändligt nära" geodetik. Med andra ord, Jacobi-fälten längs en geodetik bildar tangentrymden till geodetiken i alla geodetiska utrymmen. De är uppkallade efter Carl Jacobi .

Definitioner och egenskaper

Jacobi-fält kan erhållas på följande sätt: Ta en jämn enparameterfamilj av geodesik $\gamma _{\tau }$ med ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma } ,$ sedan

J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}

är ett Jacobi-fält och beskriver geodetikernas beteende i en infinitesimal grannskap av en given geodetisk $\gamma$ .

Ett vektorfält J längs en geodetisk $\gamma$ sägs vara ett Jacobi-fält om det uppfyller Jacobi-ekvationen :

{\frac {D^{2}}{dt^{2}} }J(t)+R(J(t),{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t)=0,

där D betecknar den kovarianta derivatan med avseende på Levi-Civita-kopplingen , R Riemann- kurvaturtensorn , ${\dot {\gamma }}(t)= d\gamma (t)/dt$ tangentvektorfältet, och t är parametern för geodetiken. På en komplett Riemann-manifold finns det för alla Jacobi-fält en familj av geodesik $\gamma _{\tau }$ som beskriver fältet (som i föregående stycke).

Jacobi-ekvationen är en linjär , andra ordningens vanlig differentialekvation ; i synnerhet värdena på $J$ och ${\frac {D}{dt}}J$ vid en punkt av $\gamma$ bestämmer unikt Jacobi-fältet. Vidare bildar uppsättningen av Jacobi-fält längs en given geodesik ett verkligt vektorrum av dimension som är dubbelt så stor som mångfalden.

Som triviala exempel på Jacobi-fält kan man betrakta ${\dot {\gamma }}(t)$ och $t{\dot {\gamma }}(t )$ . Dessa motsvarar respektive familjer av omparametriseringar: $\gamma _{\tau }(t)=\gamma (\tau +t)$ och $\gamma _{\tau }(t)=\gamma ((1+\tau)t)$ .

Alla Jacobi-fält $J$ kan representeras på ett unikt sätt som en summa $T+I$ , där ${\displaystyle T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)} är$ en linjär kombination av triviala Jacobi-fält och $I(t)$ är ortogonal mot ${\dot {\gamma }}(t)$ , för alla $t$ . Fältet $I$ motsvarar då samma variant av geodesik som $J$ , endast med ändrade parametreringar.

Motiverande exempel

På en enhetssfär är geodesiken genom nordpolen storcirklar . Betrakta två sådana geodesiker $\gamma _{0}$ och $\gamma _{\tau }$ med naturlig parameter, $t\in [0,\pi ]$ , åtskilda av en vinkel $\tau$ . Det geodetiska avståndet

d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))\,

är

d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau}(t))=\sin ^{-1}{\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt { 1+\cos ^{2}t\tan ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.

Att beräkna detta kräver att man känner till geodetik. Den mest intressanta informationen är just det

{\displaystyle d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0\,} , för

alla

\tau

.

Istället kan vi betrakta derivatan med avseende på $\tau$ vid $\tau =0$ :

{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau}(t ))=|J(t)|=\sin t.

Lägg märke till att vi fortfarande detekterar skärningspunkten mellan geodetikerna vid $t=\pi$ . Lägg även märke till att för att beräkna denna derivata behöver vi faktiskt inte veta

d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))\,

,

det enda vi behöver göra är att lösa ekvationen

y''+y=0\,

,

för vissa givna initiala data.

Jacobi-fält ger en naturlig generalisering av detta fenomen till godtyckliga Riemannska mångfalder .

Löser Jacobis ekvation

Låt ${\displaystyle e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|} och slutför detta för att få$ en ortonormal bas ${\big \{}e_{i}(0){\big \}}$ vid $T_{\gamma (0)}M$ . Parallelltransportera den för att få en bas $\{e_{i}(t)\}$ längs $\gamma$ . Detta ger en ortonormal bas med $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|$ . Jacobi-fältet kan skrivas i koordinater i termer av denna bas som $J(t)=y^{k}(t)e_{k }(t)$ och därmed

{\frac {D}{ dt}}J=\summa _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D^{2}}{dt^{2 }}}J=\summa _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),

och Jacobi-ekvationen kan skrivas om som ett system

{\frac {d^{2}y^ {k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\summa _{j}y^{j}(t)\langle R(e_{j}( t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0

för varje $k$ . På så sätt får vi en linjär ordinär differentialekvation (ODE). Eftersom denna ODE har jämna koefficienter har vi att lösningar finns för alla $t$ och är unika, givet $y^{k}(0)$ och ${ y^{k}}'(0)$ , för alla $k$ .

Exempel

Betrakta en geodetisk $\gamma (t)$ med parallell ortonormal ram $e_{i}(t)$ , ${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|} ,$ konstruerad enligt ovan.

Vektorfälten längs $\gamma$ ges av ${\dot {\gamma }}(t)$ och $t{\dot {\gamma }}(t)$ är Jacobi-fält.
I det euklidiska rummet (liksom för utrymmen med konstant nollsektionskrökning ) är Jacobi-fält helt enkelt de fält som är linjära i $t$ .
För Riemannska grenrör med konstant negativ tvärsnittskurvatur $-k^{2}$ är vilket Jacobi-fält som helst en linjär kombination av ${\dot {\gamma }}(t)$ , $t{\dot {\gamma }}(t)$ och $\exp(\pm kt)e_{i} (t)$ , där $i>1$ .
För Riemannska grenrör med konstant positiv tvärsnittskurvatur $k^{2}$ är vilket Jacobi-fält som helst en linjär kombination av ${\dot {\gamma }}(t)$ , $t{\dot {\gamma }}(t)$ , $\sin(kt)e_{i}(t)$ och $\cos(kt)e_{i}(t)$ , där $i>1$ .
Begränsningen av ett Killing-vektorfält till ett geodetiskt är ett Jacobi-fält i vilket Riemannsk mångfald som helst.

Se även

Manfredo Perdigão do Carmo . Riemannsk geometri. Översatt från den andra portugisiska upplagan av Francis Flaherty. Matematik: Teori & tillämpningar. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv+300 s. ISBN 0-8176-3490-8
Jeff Cheeger och David G. Ebin . Jämförelsesatser i Riemannsk geometri. Reviderat nytryck av 1975 års original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. x+168 s. ISBN 978-0-8218-4417-5
Shoshichi Kobayashi och Katsumi Nomizu . Fundament för differentialgeometri. Vol. II. Omtryck av originalet från 1969. Wiley Classics Library. En Wiley-Interscience-publikation. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1996. xvi+468 s. ISBN 0-471-15732-5
Barrett O'Neill . Semi-Riemannsk geometri. Med tillämpningar till relativitetsteori. Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York, 1983. xiii+468 s. ISBN 0-12-526740-1