Affin krökning

Ej att förväxla med krökningen av en affin anslutning .

Special affin krökning , även känd som den ekviaffina krökningen eller affin krökning , är en speciell typ av krökning som definieras på en plan kurva som förblir oförändrad under en speciell affin transformation (en affin transformation som bevarar området ). Kurvorna för konstant ekviaffin krökning k är precis alla icke-singulära plana koner . De med k > 0 är ellipser , de med k = 0 är paraboler och de med k < 0 är hyperboler .

Den vanliga euklidiska krökningen av en kurva vid en punkt är krökningen av dess oskulerande cirkel , den unika cirkeln gör andra ordningens kontakt (har trepunktskontakt) med kurvan vid punkten. På samma sätt är den speciella affina krökningen av en kurva i en punkt P den speciella affina krökningen av dess hyperoskulerande koniska , som är den unika koniska koniska som gör fjärde ordningens kontakt (med fempunktskontakt) med kurvan vid P . Med andra ord är det gränsläget för den (unika) koniska genom P och fyra punkter P ₁ , P ₂ , P ₃ , P ₄ på kurvan, när var och en av punkterna närmar sig P :

$P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}\till P.$

I vissa sammanhang hänvisar den affina krökningen till en differentiell invariant κ av den allmänna affina gruppen , som lätt kan erhållas från den speciella affina krökningen k med κ = k ^{− 3 / 2} dk / ds , där s är den speciella affina båglängden. Där den allmänna affina gruppen inte används kallas den speciella affina krökningen k ibland också för den affina krökningen.

Formell definition

Speciell affin båglängd

För att definiera den speciella affina krökningen är det nödvändigt att först definiera den speciella affina båglängden (även kallad den ekviaffina båglängden) . Betrakta en affin plankurva β ( t ) . Välj koordinater för det affina planet så att arean av parallellogrammet spänner över av två vektorer a = ( a ₁ , a ₂ ) och b = ( b ₁ , b ₂ ) ges av determinanten

$\det {\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.$

I synnerhet den avgörande faktorn

$\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{dt}}&{\dfrac {d^{2}\beta }{ dt^{2}}}\end{bmatrix}}$

är en väldefinierad invariant av den speciella affina gruppen och ger parallellogrammets teckenområde som sträcks av hastigheten och accelerationen för kurvan β . Överväg en omparameterisering av kurvan β , säg med en ny parameter s relaterad till t med hjälp av en vanlig omparameterisering s = s ( t ) . Denna determinant genomgår sedan en transformation av följande sort, genom kedjeregeln :

${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{dt}}&{\dfrac {d^{2}\beta }{dt^{2}}} \end{bmatrix}}&=\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{ds}}{\dfrac {ds}{dt}}&\left({\dfrac {d^{2 }\beta }{ds^{2}}}\left({\dfrac {ds}{dt}}\right)^{2}+{\dfrac {d\beta }{ds}}{\dfrac {d ^{2}s}{dt^{2}}}\right)\end{bmatrix}}\\&=\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{3}\det { \begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{ds}}&{\dfrac {d^{2}\beta }{ds^{2}}}\end{bmatrix}}.\end{aligned} }$

Omparametriseringen kan väljas så att

$\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{ds}}&{\dfrac {d^{2}\beta }{ds^{2}}}\end{bmatrix}}=1$

förutsatt att hastigheten och accelerationen är dβ / dt och d ² β / dt ² linjärt oberoende . Existensen och unikheten av en sådan parameterisering följer av integration:

$s(t)=\int _{a}^{t}{\sqrt[{3}]{\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{dt}}&{\ dfrac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}\end{bmatrix}}}}\,\,dt.$

Denna integral kallas den speciella affina båglängden , och en kurva som bär denna parametrisering sägs vara parametriserad med avseende på dess speciella affina båglängd.

Speciell affin krökning

Antag att β ( s ) är en kurva parametriserad med sin speciella affina båglängd. Därefter ges den speciella affina krökningen (eller ekviaffin krökning ) av

$k(s)=\det {\begin{bmatrix}\beta ''(s)&\beta '''(s)\end{bmatrix}}.$

Här betecknar β ′ derivatan av β med avseende på s .

Mer allmänt, för en plan kurva med godtycklig parametrisering

$t\mapsto {\bigl (}x(t),y(t){\bigr )},$

den speciella affina krökningen är:

${\begin{aligned}k(t)&={\frac {x''y'''-x'''y''}{ \left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1} {\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {2}{3}}}}\right)''\\[6px]&={\frac {4\left (x''y'''-x'''y''\right)+\left(x'y''''-x''''y'\right)}{3\left(x'y ''-x''y'\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {5\left(x'y'''-x'''y'\right)^ {2}}{9\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {8}{3}}}}\end{aligned}}$

förutsatt att första och andra derivatan av kurvan är linjärt oberoende. I specialfallet med en graf y = y ( x ) reduceras dessa formler till

$k=-{\frac {1 }{2}}\left({\frac {1}{\left(y''\right)^{\frac {2}{3}}}}\right)''={\frac {y'' ''}{3\left(y''\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {5\left(y'''\right)^{2}}{9 \left(y''\right)^{\frac {8}{3}}}}$

där primtal betecknar differentiering med avseende på x .

Affin krökning

Antag som ovan att β ( s ) är en kurva parametriserad av speciell affin båglängd. Det finns ett par invarianter av kurvan som är invarianta under hela den allmänna affina gruppen - gruppen av alla affina rörelser i planet, inte bara de som är områdesbevarande. Den första av dessa är

$\sigma =\int {\sqrt {k(s)}}\,ds,$

kallas ibland den affina båglängden (även om detta riskerar förväxling med den speciella affina båglängden som beskrivs ovan). Den andra kallas den affina krökningen :

$\kappa =k^{-{\frac {3}{2}}}{\frac {dk}{ds}}.$

Koniker

Antag att β ( s ) är en kurva parametriserad av speciell affin båglängd med konstant affin krökning k . Låta

$C_{\beta }(s)={\begin{bmatrix}\beta '(s)&\beta ''(s)\end{bmatrix}}.$

Observera att det( C _β ) = 1 eftersom β antas bära den speciella affina båglängdsparameteriseringen, och att

$k=\det \left(C_{\beta}'\right).\,$

Det följer av formen av C _β att

$C_{\beta }'=C_{\beta }{\begin{bmatrix}0&-k\\\1&0\end{bmatrix}}.$

Genom att tillämpa en lämplig speciell affin transformation kan vi ordna att C _β (0) = I är identitetsmatrisen. Eftersom k är konstant, följer det att C _β ges av matrisexponentialen

${\begin{aligned}C_{\beta }(s)&=\exp \left\{s\cdot {\begin{bmatrix}0&-k\\1&0\end{bmatrix}}\right\} \\&={\begin{bmatrix}\cos {\sqrt {k}}\,s&{\sqrt {k}}\sin {\sqrt {k}}\,s\\-{\frac {1} {\sqrt {k}}}\sin {\sqrt {k}}\,s&\cos {\sqrt {k}}\,s\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

De tre fallen är nu följande.

k = 0

Om krökningen försvinner identiskt, då vid övergång till en gräns,

$C_{\beta }(s)={\begin{bmatrix}1&0\\s&1\ end{bmatrix}}$

så β ′( s ) = (1, s ) , och så integrering ger

$\beta (s)=\left(s,{ \frac {s^{2}}{2}}\right)\,$

upp till en övergripande konstant translation, vilket är den speciella affina parametriseringen av parabeln y = x ² / 2 .

k > 0

Om den speciella affina krökningen är positiv, så följer det att

${\displaystyle \beta '(s)=\left(\cos { \sqrt {k}}\,s,{\frac {1}{\sqrt {k}}}\sin {\sqrt {k}}\,s\right)} så$

att

$\beta (s)=\left({\frac {1}{\sqrt {k}}}\sin {\sqrt {k}}\, s,-{\frac {1}{k}}\cos {\sqrt {k}}\,s\right)$

upp till en översättning, som är den speciella affina parametriseringen av ellipsen kx ² + k ² y ² = 1 .

k < 0

Om k är negativ, så ger de trigonometriska funktionerna i C _{β plats för} hyperboliska funktioner :

$C_{\beta }(s)={\begin{bmatrix}\cosh {\sqrt {|k|}}\,s&{\sqrt {|k|}}\sinh {\sqrt {|k| }}\,s\\{\frac {1}{\sqrt {|k|}}}\sinh {\sqrt {|k|}}\,s&\cosh {\sqrt {|k|}}\, s\end{bmatrix}}.$

Alltså

$\beta (s)=\left( {\frac {1}{\sqrt {|k|}}}\sinh {\sqrt {|k|}}\,s,{\frac {1}{|k|}}\cosh {\sqrt {| k|}}\,s\right)$

upp till en översättning, som är den speciella affina parametriseringen av hyperbeln

$-|k|x^{2}+|k|^{2}y^{2}=1.$

Karakterisering upp till affin kongruens

Den speciella affina krökningen för en nedsänkt kurva är den enda (lokala) invarianten av kurvan i följande betydelse:

• Om två kurvor har samma speciella affina krökning vid varje punkt, så erhålls den ena kurvan från den andra genom en speciell affin transformation.

Faktum är att ett lite starkare uttalande håller:

• Givet varje kontinuerlig funktion k : [ a , b ] → R , finns det en kurva β vars första och andra derivator är linjärt oberoende, så att den speciella affina krökningen av β relativt den speciella affina parametriseringen är lika med den givna funktionen k . Kurvan β är unikt bestämd upp till en speciell affin transformation.

Detta är analogt med den grundläggande satsen för kurvor i den klassiska euklidiska differentialgeometrin av kurvor , där den fullständiga klassificeringen av plana kurvor upp till euklidisk rörelse beror på en enda funktion κ , kurvans krökning. Det följer i huvudsak genom att tillämpa Picard-Lindelöfs sats på systemet

$C_{\beta }'=C_{\beta }{\begin{bmatrix}0&-k\\1&0\end{bmatrix}}$

där C _β = [ β ′ β ″] . Ett alternativt tillvägagångssätt, med rötter i teorin om rörliga ramar , är att tillämpa existensen av en primitiv för Darboux-derivatan .

Härledning av krökningen genom affin invarians

Den speciella affina krökningen kan härledas explicit genom tekniker för invariant teori . Antag för enkelhets skull att en affin plankurva ges i form av en graf y = y ( x ) . Den speciella affingruppen verkar på det kartesiska planet via transformationer av formen

${\begin{aligned}x&\mapsto ax+by+\alpha \\y&\mapsto cx+dy+\beta ,\end{ Justerat}}$

med ad − bc = 1 . Följande vektorfält spänner över Lie-algebra av infinitesimalgeneratorer för den speciella affingruppen:

${\begin{aligned}T_{1}&=\partial _{x},&\quad T_{2}&=\partial _{y}\\X_{1}&=x\partial _{ y},&\quad X_{2}&=y\partial _{x},&H&=x\partial _{x}-y\partial _{y}.\end{aligned}}$

verkar y = y ( x ) inte bara på punkter utan också på tangentlinjerna till grafer av formen . Det vill säga, det finns en verkan av den speciella affingruppen på trippel av koordinater ( x , y , y ′ ) . Gruppåtgärden genereras av vektorfält

$T_{1}^{(1)},T_{2}^{(1) )},X_{1}^{(1)},X_{2}^{(1)},H^{(1)}$

definieras på utrymmet av tre variabler ( x , y , y ′ ) . Dessa vektorfält kan bestämmas av följande två krav:

• Under projektionen på xy Ti , _T2 , X1 , X2 _{, H} , _respektive - planet måste de projicera till motsvarande ursprungliga generatorer av åtgärden .
• Vektorerna måste bevara upp till skala kontaktstrukturen för jetutrymmet

$\theta _{1}=dy-y'\,dx.$

Konkret betyder detta att generatorerna X ⁽¹⁾ måste uppfylla

$L_{ X^{(1)}}\theta _{1}\equiv 0{\pmod {\theta _{1}}}$

där L är Lie-derivatan .

På liknande sätt kan gruppens verkan utsträckas till rymden av valfritt antal derivator ( x , y , y ′, y ″,..., y ^{( k )} ) .

De förlängda vektorfälten som genererar verkan av den speciella affingruppen måste då induktivt uppfylla, för varje generator X ∈ { T ₁ , T ₂ , X ₁ , X ₂ , H } :

• Projektionen av X ^{( k )} på utrymmet av variabler ( x , y , y ′,..., y ^{( k −1 )} ) är X ^{( k −1)} .
• X ^{( k )} bevarar kontaktidealet:

$L_{X^{(k)}}\theta _{k}\equiv 0{\pmod {\theta _{1} ,\dots ,\theta _{k}}}$

där

$\theta _{i}=dy^{(i-1)}-y^{(i)}dx.$

Att utföra den induktiva konstruktionen upp till order 4 ger

${\begin{aligned}T_{1}^{(4)}&=\partial _{x},\qquad T_{2}^{(4)}=\partial _{y}\\X_ {1}^{(4)}&=x\partial _{y}+\partial _{y'}\\X_{2}^{(4)}&=y\partial _{x}-y' ^{2}\partial _{y'}-3y'y''\partial _{y''}-\left(3y''^{2}+4y'y'''\right)\partial _{ y'''}-{\bigl (}10y''y'''+5y'y''''{\bigr )}\partial _{y''''}\\H^{(4)} &=x\partial _{x}-y\partial _{y}-2y'\partial _{y'}-3y''\partial _{y''}-4y'''\partial _{y' ''}-5y''''\partial _{y''''}.\end{aligned}}$

Den speciella affina krökningen

$k={\frac {y''''}{3\left(y''\right )^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {5\left(y'''\right)^{2}}{9\left(y''\right)^{\frac {8}{3}}}}$

beror inte explicit på x , y eller y ′ , och uppfyller därför

$T_{1}^{(4)}k=T_{2}^{(4)}k= X_{1}^{(4)}k=0.$

Vektorfältet H fungerar diagonalt som en modifierad homogenitetsoperator, och det kan lätt verifieras att H ⁽⁴⁾ k = 0 . Till sist,

$X_{2}^{(4) }k={\tfrac {1}{2}}\left[H,X_{1}\right]^{(4)}k={\tfrac {1}{2}}\left[H^{( 4)},X_{1}^{(4)}\right]k=0.$

De fem vektorfälten

$T_{1}^{(4)},T_{2}^{(4) )},X_{1}^{(4)},X_{2}^{(4)},H^{(4)}$

bildar en involutiv fördelning på (en öppen delmängd av) R ⁶ så att de, genom Frobenius integrationssats , integreras lokalt för att ge en foliation av R ⁶ av femdimensionella blad. Konkret är varje blad en lokal bana av den speciella affingruppen. Funktionen k parametrerar dessa blad.

Mänskligt motorsystem

Mänskliga kurvlinjära 2-dimensionella ritrörelser tenderar att följa den ekviaffina parametriseringen. Detta är mer allmänt känt som två tredjedels potenslagen , enligt vilken handens hastighet är proportionell mot den euklidiska krökningen upphöjd till minus tredje potens. Nämligen,

$v=\gamma \kappa ^{-{\frac {1}{3}}},$

där v är handens hastighet, κ är den euklidiska krökningen och γ är en konstant som kallas hastighetsförstärkningsfaktorn.

Se även

• Affin geometri av kurvor
• Affin sfär

Källor

• Blaschke, Wilhelm (1923), Affine Differentialgeometrie , Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie (på tyska), vol. II, Berlin: Springer-Verlag OHG
•   Guggenheimer, Heinrich (1977), Differential Geometry , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-63433-3
• Shirokov, AP (2001a) [1994], "Affin curvature" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Shirokov, AP (2001b) [1994], "Affin differentialgeometri" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•   Spivak, Michael (1999), A Comprehensive Introduction to differential geometry (Volume 2) , Houston, TX: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-71-3