Medelkurvatur

Inom matematik är medelkrökningen $H$ för en yta $S$ ett yttre mått på krökning som kommer från differentialgeometri och som lokalt beskriver krökningen av en inbäddad yta i vissa omgivande utrymmen som euklidiska rymden .

Begreppet användes av Sophie Germain i hennes arbete med elasticitetsteori . Jean Baptiste Marie Meusnier använde den 1776 i sina studier av minimala ytor . Det är viktigt i analysen av minimala ytor , som har medelkrökning noll, och i analysen av fysiska gränssnitt mellan vätskor (som tvålfilmer ) som till exempel har konstant medelkrökning i statiska flöden, enligt Young-Laplace ekvation .

Definition

Låt $p$ vara en punkt på ytan $S$ inuti det tredimensionella euklidiska rummet R ³ . Varje plan genom $p$ som innehåller normallinjen till $S$ skär $S$ i en (plan) kurva. Att fixera ett val av enhetsnormal ger en förtecknad krökning till den kurvan. Eftersom planet roteras med en vinkel $\theta$ (som alltid innehåller normallinjen) kan den krökningen variera. Den maximala krökningen $\kappa _{1}$ och minimal krökning $\kappa _{2}$ är kända som huvudkurvaturerna för $S$ .

Medelkurvaturen vid $p\in S$ är då medelvärdet av den signerade krökningen över alla vinklar $\displaystyle \theta }$ { :

$H={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\ ;d\theta$ .

Genom att tillämpa Eulers teorem är detta lika med medelvärdet av de huvudsakliga krökningarna ( Spivak 1999 , Volym 3, Kapitel 2):

$H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2}).$

Mer generellt ( Spivak 1999 , volym 4, kapitel 7), för en hyperyta $T$ ges medelkurvaturen som

$H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.$

Mer abstrakt är medelkurvaturen spåret av den andra grundformen dividerad med n (eller motsvarande formoperatorn ) .

Dessutom kan medelkurvaturen $H$ skrivas i termer av den kovarianta derivatan $\nabla$ som

$H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X,$

genom att använda Gauss-Weingarten-relationerna, där $X(x)$ är en smidigt inbäddad hyperyta, ${\vec {n}}$ en enhetsnormalvektor, och ${\ displaystyle g_{ij}}$ den metriska tensorn .

En yta är en minimal yta om och endast om medelkurvaturen är noll. Vidare sägs en yta som utvecklas under medelkrökningen av ytan $S$ lyda en ekvation av värmetyp som kallas medelkurvaturflödesekvationen .

Sfären är den enda inbäddade ytan med konstant positiv medelkurvatur utan gräns eller singulariteter . Resultatet är dock inte sant när villkoret "inbäddad yta" är försvagat till "nedsänkt yta".

Ytor i 3D-rymden

För en yta definierad i 3D-rymden är medelkurvaturen relaterad till en enhetsnormal för ytan:

$2H=-\nabla \cdot {\hat {n}}$

där normalen som valts påverkar krökningens tecken. Krökningens tecken beror på valet av normal: krökningen är positiv om ytan kröker sig "mot" normalen. Formeln ovan gäller för ytor i 3D-rymden definierade på vilket sätt som helst, så länge som divergensen för enhetsnormalen kan beräknas. Medelkurvatur kan också beräknas

$2H={\text{Trace}}((\mathrm {II} )(\mathrm {I} ^{-1}))$

där I och II betecknar första och andra kvadratiska formmatriser.

Om $S(x,y)$ är en parametrisering av ytan och $u,v$ är två linjärt oberoende vektorer i parameterrymden så kan medelkurvaturen skrivas i termer av den första och andra grundformen som

$${\frac {lG-2mF+nE}{2(EG-F^{2})}}$$

där $E=\mathrm {I} (u,u)$ , $F=\mathrm {I} (u,v)$ , $G=\mathrm {I} (v,v)$ , $l=\mathrm {II} (u,u)$ , $m=\mathrm {II} (u,v)$ , $n=\mathrm {II} (v, v)$ .

För det speciella fallet med en yta definierad som en funktion av två koordinater, t.ex. $z=S(x,y)$ , och med den uppåtriktade normalen (fördubblat) medelkurvaturuttrycket är

${\begin{aligned}2H&=-\nabla \cdot \left({\frac {\nabla (zS)}{|\nabla (zS)|}}\right)\\&=\nabla \cdot \left({\frac {\nabla S-\nabla z}{\sqrt {1+|\nabla S|^{2}}}}\right)\\&={\frac {\left(1+\ vänster({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2 {\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+ \left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{ 2}}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.\end{aligned}}$

I synnerhet vid en punkt där $\nabla S=0$ är medelkurvaturen hälften av spåret av den hessiska matrisen för $S$ .

Om ytan dessutom är känd för att vara axelsymmetrisk med $z=S(r)$ ,

${=\displaystyle 2 {\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right )^{2}\right)^{3/2}}}+{\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{1/2}}},}$

där ${\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r}}$ kommer från derivatan av ${\textstyle z=S(r)=S\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\höger)}$ .

Implicit form av medelkurvatur

Medelkurvaturen för en yta specificerad av en ekvation $F(x,y,z)=0$ kan beräknas genom att använda gradienten $\nabla F=\left({\frac {\partial F}{\partial x}},{\frac {\partial F}{\partial y}},{ \frac {\partial F}{\partial z}}\right)$ och den hessiska matrisen

$\textstyle {\mbox{Hess}}(F)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}&{\frac {\ partiell ^{2}F}{\partial x\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2} F}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial y} }&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}\end{pmatrix}}.$

Medelkurvaturen ges av:

$H={\frac {\nabla F\ {\mbox{Hess}}(F)\ \nabla F^{\mathsf {T}}-|\nabla F|^{2}\,{\ text{Trace}}({\mbox{Hess}}(F))}{2|\nabla F|^{3}}}$

En annan form är som enhetens normala divergens . En normalenhet ges av ${\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}$ och medelkurvaturen är

$H=-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \left({\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}\right).$

Medelkrökning i vätskemekanik

En alternativ definition används ibland inom vätskemekanik för att undvika faktorer av två:

$H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\,$ .

Detta resulterar i att trycket enligt Young-Laplace-ekvationen inuti en sfärisk jämviktsdroppe är ytspänningstiderna $displaystyle H_{f}}$ \ ; de två krökningarna är lika med den reciproka av droppens radie

$\kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}\,$ .

Minimala ytor

En återgivning av Costas minimala yta.

Huvudartikel: Minimal yta

En minimal yta är en yta som har noll medelkrökning på alla punkter. Klassiska exempel inkluderar catenoid- , helicoid- och Enneper-ytan . Nya upptäckter inkluderar Costas minimala yta och Gyroid .

CMC-ytor

Huvudartikel: Konstant-medelkurvatur yta

En förlängning av idén om en minimal yta är ytor med konstant medelkurvatur. Ytorna av enhetskonstant medelkurvatur i hyperboliskt utrymme kallas Bryant-ytor .

Se även

• Gaussisk krökning
• Medelkurvaturflöde
• Omvänt medelkurvaturflöde
• Första varianten av areaformeln
• Sträckt rutnätsmetod

Anteckningar

•   Spivak, Michael (1999), A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) (3rd ed.), Publish or Perish Press, ISBN 978-0-914098-72-0 , (Volume 3), (Volume 4) .
•   P.Grinfeld (2014). Introduktion till tensoranalys och kalkylen för rörliga ytor . Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9 .