Huvudkurvatur
I differentialgeometri är de två huvudsakliga krökningarna vid en given punkt på en yta krökningens maximi- och minimivärden som uttrycks av egenvärdena för formoperatorn vid den punkten. De mäter hur ytan böjer sig olika mycket i olika riktningar vid den punkten.
Diskussion
Vid varje punkt p av en differentierbar yta i det 3-dimensionella euklidiska rymden kan man välja en enhetsnormalvektor . Ett normalplan vid p är ett som innehåller normalvektorn, och kommer därför också att innehålla en unik riktning som tangerar ytan och skär ytan i en plan kurva, kallad normalsektion . Denna kurva kommer i allmänhet att ha olika krökningar för olika normalplan vid p . De huvudsakliga krökningarna vid p , betecknade k 1 och k 2 , är maximi- och minimivärdena för denna krökning.
Här är krökningen av en kurva per definition den reciproka av radien för den oskulerande cirkeln . Krökningen anses vara positiv om kurvan vänder i samma riktning som ytans valda normal, och i övrigt negativ. Riktningarna i normalplanet där krökningen tar sina maximi- och minimivärden är alltid vinkelräta, om k 1 inte är lika med k 2 , ett resultat av Euler (1760), och kallas principiella riktningar . Ur ett modernt perspektiv följer denna sats från spektralsatsen eftersom dessa riktningar är huvudaxlarna för en symmetrisk tensor - den andra grundläggande formen . En systematisk analys av de huvudsakliga krökningarna och huvudriktningarna genomfördes av Gaston Darboux med hjälp av Darboux-ramar .
Produkten k 1 k 2 av de två huvudsakliga krökningarna är den Gaussiska krökningen , K , och medelvärdet ( k 1 + k 2 )/2 är medelkurvaturen , H .
Om åtminstone en av de huvudsakliga krökningarna är noll vid varje punkt, kommer den Gaussiska krökningen att vara 0 och ytan är en framkallningsbar yta . För en minimal yta är medelkurvaturen noll vid varje punkt.
Formell definition
Låt M vara en yta i det euklidiska rummet med andra grundformen . Fixera en punkt p ∈ M , och en ortonormal bas X 1 , X 2 för tangentvektorer vid p . Då är de huvudsakliga krökningarna egenvärdena för den symmetriska matrisen
![\left[I\!I_{{ij}}\right]={\begin{bmatrix}I\!I(X_{1},X_{1})&I\!I(X_{1},X_{2})\\I\!I(X_{2},X_{1})&I\!I(X_{2},X_{2})\end{bmatrix}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bffd43b323463adccee7129a8191ca0ad70344b)
Om X 1 och X 2 väljs så att matrisen är en diagonal matris, då kallas de för huvudriktningarna . Om ytan är orienterad kräver man ofta att paret ( X 1 , X 2 ) är positivt orienterat med avseende på den givna orienteringen.
![\left[I\!I_{{ij}}\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c25a532dc99d4e755b582b3e013b0c91c449144)
Utan hänvisning till en viss ortonormal bas är de huvudsakliga krökningarna formoperatorns egenvärden , och de huvudsakliga riktningarna är dess egenvektorer .
Generaliseringar
För hyperytor i högre dimensionella euklidiska utrymmen kan de huvudsakliga krökningarna definieras på ett direkt analogt sätt. De huvudsakliga krökningarna är egenvärdena för matrisen av den andra fundamentala formen i en ortonormal bas av tangentrymden . De huvudsakliga riktningarna är motsvarande egenvektorer.
På liknande sätt, om M är en hyperyta i ett Riemann-manifold N , så är de huvudsakliga krökningarna egenvärdena för dess andra fundamentala form. Om k 1 , ..., k n är de n huvudsakliga krökningarna i en punkt p ∈ M och X 1 , ..., X n är motsvarande ortonormala egenvektorer (huvudriktningar), så ges sektionskrökningen för M vid p förbi
för alla med .
Klassificering av punkter på en yta
- Vid elliptiska punkter har båda huvudkrökningarna samma tecken, och ytan är lokalt konvex .
- Vid navelpunkterna är båda huvudkrökningarna lika och varje tangentvektor kan betraktas som en huvudriktning. Dessa förekommer vanligtvis i isolerade punkter.
- Vid hyperboliska punkter har de huvudsakliga krökningarna motsatta tecken, och ytan kommer att vara lokalt sadelformad.
- Vid paraboliska punkter är en av de huvudsakliga krökningarna noll. Paraboliska punkter ligger i allmänhet i en kurva som skiljer elliptiska och hyperboliska regioner åt.
- Vid plana navelpunkter är båda huvudkrökningarna noll. En generisk yta kommer inte att innehålla plana navelpunkter. Apsadeln är en yta med en isolerad platt navel .
| k 1 | ||||
|---|---|---|---|---|
| < 0 | = 0 | > 0 | ||
| k 2 | < 0 | Konkav ellipsoid | Konkav cylinder | Hyperboloid yta |
| = 0 | Konkav cylinder | Plan | Konvex cylinder | |
| > 0 | Hyperboloid yta | Konvex cylinder | Konvex ellipsoid | |
Krökningslinje
Krökningslinjerna eller krökningslinjerna är kurvor som alltid tangerar en huvudriktning (de är integralkurvor för huvudriktningsfälten) . Det kommer att finnas två krökningslinjer genom varje icke-navelpunkt och linjerna kommer att korsas i rät vinkel.
I närheten av en navel bildar krökningslinjerna typiskt en av tre konfigurationer stjärna , citron och monstar (som härrör från citron-stjärna) . Dessa punkter kallas också Darbouxian Umbilics (D 1 , D 2 , D 3 ) för att hedra Gaston Darboux , den första att göra en systematisk studie i Vol. 4, s 455, i hans Leçons (1896).
- Konfigurationer av krökningslinjer nära navelsträngar
Citron - D 1
Monstar - D 2
Stjärna - D 3
I dessa figurer är de röda kurvorna krökningslinjerna för en familj av huvudriktningar och de blå kurvorna för den andra.
När en krökningslinje har ett lokalt extremum av samma huvudsakliga krökning har kurvan en åspunkt . Dessa åspunkter bildar kurvor på ytan som kallas åsar . Åskurvorna passerar genom navelsträngarna. För stjärnmönstret går antingen 3 eller 1 åslinje genom naveln, för monstar och citron passerar endast en ås genom.
Ansökningar
De huvudsakliga krökningsriktningarna tillsammans med ytnormalen definierar en 3D-orienteringsram vid en ytpunkt. Till exempel, i fallet med en cylindrisk yta, genom fysisk beröring eller visuell observation, vet vi att längs en specifik riktning ytan är platt (parallell med cylinderns axel) och noterar därför ytans orientering. Implikationen av en sådan orienteringsram vid varje ytpunkt innebär att varje rotation av ytorna över tiden kan bestämmas helt enkelt genom att beakta förändringen i motsvarande orienteringsramar. rörelseuppskattning av en enda ytpunkt och segmenteringsalgoritmer i datorseende.
Se även
Vidare läsning
- Darboux, Gaston (1896) [1887]. Leçons sur la théorie génerale des ytor . Gauthier-Villars.
- Guggenheimer, Heinrich (1977). "Kapitel 10. Ytor". Differentialgeometri . Dover. ISBN 0-486-63433-7 .
- Kobayashi, Shoshichi & Nomizu, Katsumi (1996). Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 (Ny upplaga). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5 .
- Spivak, Michael (1999). En omfattande introduktion till differentialgeometri (volym 3) . Publicera eller förgås. ISBN 0-914098-72-1 .
-
Sotomayor, J. (1993). "O elipsóide de Monge = Revista Matemática Universitária" (PDF) . 15 :33–47.
{{ citera journal }}: Citera journal kräver|journal=( hjälp ) - Sotomayor, J. (2007). "El elipsoide de Monge y las líneas de curvatura" . Material Matematik . 01 : 1–25.