Reflektionsprincip

Inom mängdlära , en gren av matematiken , säger en reflektionsprincip att det är möjligt att hitta mängder som liknar klassen av alla mängder. Det finns flera olika former av reflektionsprincipen beroende på exakt vad som menas med "likna". Svaga former av reflektionsprincipen är satser för ZF mängdlära på grund av Montague (1961) , medan starkare former kan vara nya och mycket kraftfulla axiom för mängdlära.

Namnet "reflektionsprincip" kommer från det faktum att egenskaperna hos universum av alla mängder "reflekteras" ner till en mindre mängd.

Motivering

En naiv version av reflektionsprincipen säger att "för vilken egenskap som helst i universum av alla mängder kan vi hitta en mängd med samma egenskap". Detta leder till en omedelbar motsägelse: universum av alla mängder innehåller alla mängder, men det finns ingen mängd med egenskapen att den innehåller alla mängder. För att få användbara (och icke-motsägelsefulla) reflektionsprinciper måste vi vara mer försiktiga med vad vi menar med "egendom" och vilka egenskaper vi tillåter.

För att hitta icke-motsägelsefulla reflektionsprinciper kan vi argumentera informellt enligt följande. Anta att vi har en samling A av metoder för att bilda mängder (till exempel ta kraftmängder , delmängder , axiomet för ersättning , och så vidare). Vi kan tänka oss att ta alla mängder som erhållits genom att upprepade gånger tillämpa alla dessa metoder, och forma dessa mängder till en klass V , som kan ses som en modell av någon mängdteori. Men nu kan vi introducera följande nya princip för att bilda uppsättningar: "samlingen av alla uppsättningar som erhålls från någon uppsättning genom att upprepade gånger tillämpa alla metoder i samlingen A är också en uppsättning". Om vi tillåter denna nya princip för att bilda mängder, kan vi nu fortsätta förbi V , och betrakta klassen W för alla mängder som bildas med hjälp av principerna A och den nya principen. I denna klass W är V bara en mängd , stängd under alla mängdbildande operationer av A . Med andra ord innehåller universum W en mängd V som liknar W genom att den är stängd under alla metoderna A .

Vi kan använda detta informella argument på två sätt. Vi kan försöka formalisera det i (säg) ZF mängdteori; genom att göra detta får vi några satser av ZF-mängdlära, kallade reflektionssatser. Alternativt kan vi använda detta argument för att motivera införandet av nya axiom för mängdteorin.

Reflektionsprinciper är förknippade med försök att formulera idén att ingen föreställning, idé eller uttalande kan fånga hela vår syn på uppsättningarnas universum . Kurt Gödel beskrev det så här:

Universum av alla uppsättningar är strukturellt odefinierbart. Ett möjligt sätt att göra detta uttalande exakt är följande: Universum av mängder kan inte unikt karakteriseras (dvs. särskiljas från alla dess initiala segment) av någon intern strukturell egenskap hos medlemskapsrelationen i den som kan uttryckas i någon logik av finita eller transfinit typ, inklusive infinitära logiker av vilket kardinalnummer som helst . Denna princip kan betraktas som en generalisering av stängningsprincipen .

— 8.7.3, sid. 280

Alla principer för att sätta upp mängdlärans axiom bör kunna reduceras till Ackermanns princip: Det Absoluta är okänt. Styrkan i denna princip ökar när vi får starkare och starkare system för mängdteori. De andra principerna är bara heuristiska principer. Den centrala principen är därför reflektionsprincipen, som förmodligen kommer att förstås bättre när vår erfarenhet ökar. Samtidigt hjälper det att separera mer specifika principer som antingen ger ytterligare information eller som ännu inte tydligt kan härledas från reflektionsprincipen som vi förstår den nu.

— 8.7.9, sid. 283

Generellt tror jag att, i sista hand, varje axiom om oändlighet borde kunna härledas från den (extremt rimliga) principen att V är odefinierbar, där definierbarhet ska tas i [en] mer och mer generaliserad och idealiserad mening.

— 8.7.16, sid. 285

Georg Cantor uttryckte liknande åsikter om den absoluta oändligheten : Alla kardinalitetsegenskaper är uppfyllda i detta nummer, i vilket innehas av en mindre kardinal.

I ZFC

För att försöka formalisera argumentet för reflektionsprincipen i föregående avsnitt i ZF-mängdlära, visar det sig vara nödvändigt att lägga till några villkor om samlingen av egenskaper A (till exempel kan A vara ändlig ) . Att göra detta producerar flera närbesläktade "reflektionssatser" av ZFC som alla säger att vi kan hitta en mängd som nästan är en modell av ZFC.

En form av reflektionsprincipen i ZFC säger att för vilken ändlig uppsättning av axiom som helst för ZFC kan vi hitta en räknebar transitiv modell som uppfyller dessa axiom. (Särskilt bevisar detta att ZFC, såvida det inte är inkonsekvent, inte är ändligt axiomatiserbart, för om det vore så skulle det bevisa existensen av en modell av sig själv, och därmed bevisa sin egen konsistens, vilket motsäger Gödels andra ofullständighetsteorem.) Denna version av reflektionssatsen är nära besläktad med Löwenheim–Skolems sats .

En annan version av reflektionsprincipen säger att för vilket ändligt antal formler som helst för ZFC kan vi hitta en mängd V _α i den kumulativa hierarkin så att alla formler i mängden är absoluta för V _α (vilket betyder mycket grovt att de håller i V _α om och endast om de finns i universum av alla uppsättningar). Så detta säger att mängden V _α liknar universum av alla mängder, åtminstone vad gäller det givna ändliga antalet formler. Speciellt för vilken ZFC-formel som helst finns det ett teorem för ZFC att formeln är logiskt ekvivalent med en version av den med alla kvantifierare relativerade till V _α . Se ( Jech 2002 , s. 168).

Om κ är en stark otillgänglig kardinal , så finns det en sluten ogränsad delmängd C av κ , så att för varje α ∈ C , är identitetsfunktionen från V _α till V _κ en elementär inbäddning.

Reflektionsprincipen för ZFC är ett teoremschema som kan beskrivas på följande sätt: Låt $\phi$ vara en formel med som mest fria variabler ${\displaystyle x_{1},\ldots$ . Då bevisar ZFC det

(\forall N)(\exists M{\supseteq }N)(\forall x_ {1},\ldots ,x_{n}{\in }M)(\phi \leftrightarrow \phi ^{M})

där $\phi ^{M}$ betecknar relativiseringen av $\phi$ till $M$ (det vill säga att ersätta alla kvantifierare som förekommer i $\phi$ i formen $\forall x$ och $\exists x$ med $\forall x{\in }M$ och $\exists x{\in }M$ , respektive).

Som nya axiom

Bernays klassteori

Paul Bernays använde en reflektionsprincip som ett axiom för en version av mängdlära (inte Von Neumann–Bernays–Gödel mängdlära, som är en svagare teori). Hans reflektionsprincip angav ungefär att om A är en klass med någon egenskap, så kan man hitta en transitiv mängd u sådan att A∩u har samma egenskap när den betraktas som en delmängd av "universum" u . Detta är ett ganska kraftfullt axiom och antyder att det finns flera av de mindre stora kardinalerna , såsom otillgängliga kardinaler . (I grova drag är klassen för alla ordinaler i ZFC en otillgänglig kardinal förutom att den inte är en mängd, och reflektionsprincipen kan då användas för att visa att det finns en mängd som har samma egenskap, med andra ord det är en otillgänglig kardinal.) Tyvärr kan detta inte axiomatiseras direkt i ZFC, och en klassteori som Morse–Kelley mängdteori måste normalt användas. Konsistensen av Bernays reflektionsprincip antyds av existensen av en ω-Erdős kardinal .

Mer exakt är axiomen för Bernays klassteori:

extensionalitet
klassspecifikation : för valfri formel $\phi$ utan $}$ $\exists a\forall b(b\ i a\leftrightarrow \phi \land b{\text{ är en uppsättning}})$ fri, )
delmängder : $b\subseteq a\land a{\text{ är en mängd}}\till b{\text{ är en mängd}}$
reflektion: för valfri formel $\phi$ , $\phi (A)\to \exists u( u{\text{ är en transitiv mängd}}\land \phi ^{{\mathcal {P}}u}(A\cap u))$
fundament
val

där ${\mathcal {P}}$ betecknar powerset .

Enligt Akihiro Kanamori , i en tidning från 1961, övervägde Bernays reflektionsschemat

\phi \to \exists x({\text{transitive}}(x)\land \phi ^{x})

för valfri formel $\phi$ utan $x$ fri, där ${\text{transitive}}(x)$ hävdar att $x$ är transitiv . Börjar med observationen som anger parametrarna $a_{1},\ldots ,a_{n}$ kan visas i $\phi$ och $x$ kan krävas att innehålla dem genom att införa satser $\exists y(a_{i}\in y)$ i $\phi$ , Bernays bara med detta schema etablerade parning , union , infinity och utbyte , vilket i själva verket uppnår en anmärkningsvärt ekonomisk presentation av ZF .

Andra

Vissa formuleringar av Ackermann mängdteori använder en reflektionsprincip. Ackermanns axiom säger att för vilken formel ${\displaystyle \phi } som helst$ som inte nämner $V$ ,

a\in V\land b\in V\to \forall x( \phi \to x\in V)\to \exists u{\in }V\forall x(x\in u\leftrightarrow \phi )

Peter Koellner visade att en allmän klass av reflektionsprinciper som anses "inneboende motiverade" är antingen inkonsekventa eller svaga, eftersom de är konsekventa i förhållande till Erdös kardinal . Det finns dock mer kraftfulla reflektionsprinciper, som är nära besläktade med de olika stora kardinalaxiomen. För nästan alla kända stora kardinalaxiom finns det en känd reflektionsprincip som antyder det, och omvänt impliceras alla utom de mest kraftfulla kända reflektionsprinciperna av kända stora kardinalaxiom. Ett exempel på detta är helhetsaxiomet , som antyder att det finns super- n -stora kardinaler för alla finita n och dess konsistens antyds av en I3 rang-till-rang kardinal .

Lägg till ett axiom som säger att Ord är en Mahlo-kardinal — för varje sluten ogränsad klass av ordtal C (definieras med en formel med parametrar), finns det en vanlig ordinal i C . Detta gör att man kan härleda existensen av starka otillgängliga kardinaler och mycket mer över alla ordinaler.

Jech, Thomas (2002), Uppsättningsteori, tredje årtusendeupplagan (reviderad och utökad), Springer, ISBN 3-540-44085-2
Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs , North-Holland, ISBN 0-444-85401-0
Lévy, Azriel (1960), " Axiom schemata of strong infinity in axiomatic set theory" , Pacific Journal of Mathematics , 10 : 223–238, doi : 10.2140/pjm.1960.10.223 , ISSN 3030 2030-4207
Montague, Richard (1961), "Fraenkels tillägg till Zermelos axiom", i Bar-Hillel, Yehoshua; Poznanski, EIJ; Rabin, MO; Robinson, Abraham (red.), Essays on the foundations of mathematics , Hebrew Univ., Jerusalem: Magnes Press, s. 91–114, MR 0163840
Reinhardt, WN (1974), "Anmärkningar om reflektionsprinciper, stora kardinaler och elementära inbäddningar.", Axiomatic set theory , Proc. Sympos. Pure Math., vol. XIII, del II, Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., s. 189–205, MR 0401475

externa länkar

Mizar systembevis : http://mizar.org/version/current/html/zf_refle.html