Diagram (kategoriteori)

Inom kategoriteorin , en gren av matematiken , är ett diagram den kategoriska analogen till en indexerad familj i mängdteorin . Den primära skillnaden är att man i den kategoriska miljön har morfismer som också behöver indexeras. En indexerad familj av uppsättningar är en samling av uppsättningar, indexerade av en fast uppsättning; motsvarande en funktion från en fast indexuppsättning till klassen av uppsättningar . Ett diagram är en samling objekt och morfismer, indexerade med en fast kategori; motsvarande en funktion från en fast indexkategori till någon kategori .

Den universella funktorn i ett diagram är den diagonala funktorn ; dess högra adjoint är gränsen för diagrammet och dess vänstra adjoint är colimit. Den naturliga omvandlingen från den diagonala funktorn till något godtyckligt diagram kallas en kon .

Definition

Formellt är ett diagram av typ J i en kategori C en ( kovariant ) funktion

D : J → C.

Kategorin J kallas indexkategorin eller schemat i diagrammet D ; funktorn kallas ibland ett J -format diagram . De faktiska föremålen och morfismerna i J är i stort sett irrelevanta; Det är bara sättet på vilket de är relaterade till varandra. Diagrammet D är tänkt att indexera en samling objekt och morfismer i C mönstrat på J .

Även om det tekniskt sett inte finns någon skillnad mellan ett individuellt diagram och en funktion eller mellan ett schema och en kategori , reflekterar förändringen i terminologi en förändring i perspektiv, precis som i det teoretiska fallet: man fixar indexkategorin och tillåter funktion (och i andra hand målkategorin) att variera.

Man är oftast intresserad av fallet där schemat J är en liten eller till och med ändlig kategori. Ett diagram sägs vara litet eller ändligt närhelst J är.

En morfism av diagram av typ J i en kategori C är en naturlig transformation mellan funktioner. Man kan då tolka kategorin diagram av typ J i C som funktionskategorin C ^J , och ett diagram är då ett objekt i denna kategori.

Exempel

Givet vilket som helst objekt A i C , har man konstantdiagrammet , vilket är diagrammet som mappar alla objekt i J till A , och alla morfismer av J till identitetsmorfismen på A. Notationsmässigt använder man ofta en understreck för att beteckna konstantdiagrammet: alltså, för alla objekt $A$ i C , har man konstantdiagrammet ${\underline {A}}$ .
Om J är en (liten) diskret kategori , så är ett diagram av typ J i huvudsak bara en indexerad familj av objekt i C (indexerad med J ). När det används i konstruktionen av gränsen är resultatet produkten ; för colimit får man samprodukten . Så, till exempel, när J är den diskreta kategorin med två objekt, är den resulterande gränsen bara den binära produkten.
Om J = −1 ← 0 → +1, då är ett diagram av typ J ( A ← B → C ) ett spann , och dess kolimit är en pushout . Om man skulle "glömma" att diagrammet hade objekt B och de två pilarna B → A , B → C , skulle det resulterande diagrammet helt enkelt vara den diskreta kategorin med de två objekten A och C , och colimiten skulle helt enkelt vara den binära samprodukt. Således visar detta exempel ett viktigt sätt på vilket idén med diagrammet generaliserar idén med indexuppsättningen i mängdteorin: genom att inkludera morfismerna B → A , B → C , upptäcker man ytterligare struktur i konstruktioner byggda från diagrammet, struktur som skulle inte vara uppenbart om man bara hade ett indexuppsättning utan relationer mellan objekten i indexet.
Dual till ovanstående, om J = −1 → 0 ← +1, så är ett diagram av typ J ( A → B ← C ) ett cospan , och dess gräns är en pullback .
Indexet $J=0\rightarrows 1$ kallas "två parallella morfismer", eller ibland det fria kogret eller det gående kogret . Ett diagram av typen $J$ $(f,g\colon X\to Y)$ är då ett koger ; dess gräns är en utjämnare och dess samgräns är en utjämnare .
Om J är en posetkategori , så är ett diagram av typ J en familj av objekt D _i tillsammans med en unik morfism f _ij : D _i → D _j närhelst i ≤ j . Om J är riktad så kallas ett diagram av typ J ett direkt system av objekt och morfismer. Om diagrammet är kontravariant kallas det ett inverst system .

Koner och gränser

En kon med vertex N i ett diagram D : J → C är en morfism från konstantdiagrammet Δ( N ) till D . Konstantdiagrammet är diagrammet som skickar varje objekt av J till ett objekt N av C och varje morfism till identitetsmorfismen på N .

Gränsen för ett diagram D är en universell kon till D . Det vill säga en kon genom vilken alla andra koner unikt faktor. Om gränsen finns i en kategori C för alla diagram av typ J får man en funktor

lim: C ^J → C

vilket skickar varje diagram till sin gräns.

Dubbelt är kogränsen för diagram D en universell kon från D . Om kogränsen finns för alla diagram av typ J har man en funktion

colim: C ^J → C

som skickar varje diagram till sin kogräns.

Kommutativa diagram

Diagram och funktionskategorier visualiseras ofta av kommutativa diagram , särskilt om indexkategorin är en finit posetkategori med få element: man ritar ett kommutativt diagram med en nod för varje objekt i indexkategorin och en pil för en genererande uppsättning morfismer , utelämnar identitetskartor och morfismer som kan uttryckas som kompositioner. Kommutativiteten motsvarar det unika hos en karta mellan två objekt i en posetkategori. Omvänt representerar varje kommutativt diagram ett diagram (en funktion från en poset-indexkategori) på detta sätt.

Inte alla diagram pendlar, eftersom inte varje indexkategori är en posetkategori: enklast, diagrammet för ett enskilt objekt med en endomorfism ( f $\displaystyle f\colon X\to X} )$ , eller med två parallella pilar ( $\bullet \rightarrows \bullet$ ; $f,g\colon X\to Y$ ) behöver inte pendla. Vidare kan diagram vara omöjliga att rita (eftersom de är oändliga) eller helt enkelt röriga (eftersom det finns för många objekt eller morfismer); dock används schematiska kommutativa diagram (för underkategorier av indexkategorin, eller med ellipser, såsom för ett riktat system) för att förtydliga sådana komplexa diagram.

Se även

Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstrakta och konkreta kategorier (PDF) . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 . Nu tillgänglig som gratis onlineutgåva (4,2 MB PDF).
Barr, Michael ; Wells, Charles (2002). Toposer, trippel och teorier (PDF) . ISBN 0-387-96115-1 . Reviderad och korrigerad gratis onlineversion av Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).
diagram vid n Lab

externa länkar

Diagram Chasing på MathWorld
WildCats är ett kategoriteoripaket för Mathematica . Manipulering och visualisering av objekt, morfismer , kommutativa diagram, kategorier, funktioner , naturliga transformationer .