Quiver (matematik)

I grafteorin är en koger en riktad graf där slingor och flera pilar mellan två hörn är tillåtna, dvs en multidigraph . De används vanligtvis inom representationsteori : en representation $V$ av ett koger tilldelar ett vektorrum $V (x)$ till varje vertex $x$ i kogret och en linjär karta $V (a)$ till varje pil $a$ .

I kategoriteorin kan en koger förstås vara den underliggande strukturen för en kategori , men utan sammansättning eller en beteckning på identitetsmorfismer. Det vill säga, det finns en glömsk funkor från $Cat$ till $Quiv$ . Dess vänstra anslutning är en fri funktion som, från ett koger, gör motsvarande fria kategori .

Definition

Ett koger $Γ$ består av:

Mängden $V$ av hörn av $Γ$
Uppsättningen $E$ av kanter av $Γ$
Två funktioner: $s:E\to V$ som ger början eller källan till kanten, och en annan funktion, $t:E\to V$ som ger målet för kanten.

Denna definition är identisk med den för en multidigraph .

En morfism av koger definieras enligt följande. Om $\Gamma =(V,E,s,t)$ och $\Gamma '=(V',E',s',t')$ är två koger, då en morfism $m=(m_{v},m_{e})$ av koger består av två funktioner $m_{v}:V\to V'$ och $m_{e}:E\to E'$ så att följande diagram pendlar :

Det är,

m_{v}\circ s=s'\circ m_{e}

och

m_{v}\circ t=t'\circ m_{e}

Kategoriteoretisk definition

Ovanstående definition är baserad på mängdteori ; den kategoriteoretiska definitionen generaliserar detta till en funktor från det fria kogret till kategorin mängder .

Den fria kogern (även kallad gående koger , Kronecker koger , 2-Kronecker koger eller Kronecker kategori ) $Q$ är en kategori med två objekt, och fyra morfismer: Objekten är $V$ och $E$ . De fyra morfismerna är $s:E\to V,$ $t:E\to V,$ och identitetsmorfismerna $\mathrm {id} _{V}:V\to V$ och $\mathrm {id} _{E}:E\to E.$ Det vill säga det fria kogret är

E\;{\begin{matrix}s\\[-6pt]\högerpilar \\[-4pt]t\end{matris}}\;V

Ett koger är då en funktor $\Gamma :Q\to \mathbf {Set} .$

Mer generellt är ett koger i en kategori $C$ en funktion $\Gamma :Q\to C.$ Kategorin $Quiv (C)$ för kogger i $C$ är funktionskategorin där:

objekt är funktorer $\Gamma :Q\to C,$
morfismer är naturliga transformationer mellan funktioner.

Observera att $Quiv$ är kategorin av presheaves på den motsatta kategorin $Q op$ .

Banalgebra

Om $Γ$ är ett koger, så är en bana i $Γ$ en sekvens av pilar

a_{n}a_{n-1}\dots a_{3}a_{2}a_{1}

så att huvudet på $a i +1$ är svansen på $a i$ för $i = 1, \dots, n -1$ , med användning av konventionen för sammanlänkning av banor från höger till vänster.

Om $K$ är ett fält så definieras kogeralgebra eller vägalgebra $K Γ$ som ett vektorrum med alla banorna (med längden ≥ 0) i kogern som bas (inklusive, för varje vertex $i$ av kogern $Γ$ , en trivial väg $e i$ av längden 0; dessa vägar antas inte vara lika för olika $i$ ), och multiplikation ges genom sammanlänkning av vägar. Om två banor inte kan sammanfogas eftersom slutpunkten för den första inte är lika med startpunkten för den andra, definieras deras produkt som noll. Detta definierar en associativ algebra över $K$ . Denna algebra har ett enhetselement om och bara om kogret bara har ändligt många hörn. I detta fall modulerna över $K Γ$ naturligt med representationerna av $Γ$ . Om kogret har oändligt många hörn, så $K Γ$ en ungefärlig identitet som ges av ${\textstyle e_{F}:=\summa _{v\in F}1_{v}}$ där $F$ sträcker sig över ändliga delmängder av vertexmängden av $Γ$ .

Om kogret har ändligt många hörn och pilar, och ändpunkten och startpunkten för någon bana alltid är distinkta (dvs Q $har$ inga orienterade cykler), så är $K Γ$ en ändlig dimensionell ärftlig algebra över $K$ . Omvänt, om $K är algebraiskt stängd, så$ är varje finitdimensionell, ärftlig, associativ algebra över $K$ Morita ekvivalent med vägalgebra för dess Ext-koger (dvs. de har ekvivalenta modulkategorier).

Representationer av koger

En representation av ett koger $Q$ är en association av en $R$ -modul till varje vertex av $Q$ , och en morfism mellan varje modul för varje pil.

En representation $V$ av ett koger $Q$ sägs vara trivial om $V(x)=0$ för alla hörn $x$ i $Q$ .

En morfism , $f:V\to V',$ mellan representationer av kogern $Q$ , är en samling linjära kartor $f(x):V(x)\to V'(x)$ så att för varje pil $a$ i $Q$ från $x$ till $y$ , $V'(a)f(x)=f(y)V(a),$ dvs kvadraterna som $f$ bildar med pilarna för $V$ och $V'$ pendlar alla. En morfism, $f$ , är en isomorfism , om $f (x)$ är inverterbar för alla hörn $x$ i kogern. Med dessa definitioner bildar representationerna av ett koger en kategori .

Om $V$ och $W$ är representationer av ett koger $Q , så$ definieras den direkta summan av dessa representationer, ${\displaystyle V\oplus W,} av$ $(V\oplus W)(x)=V(x)\oplus W(x)$ för alla hörn $x$ i $Q$ och $(V\oplus W) )(a)$ är den direkta summan av de linjära mappningarna $V (a)$ och $W (a)$ .

En representation sägs vara nedbrytbar om den är isomorf till den direkta summan av representationer som inte är noll.

En kategorisk definition av en kogerrepresentation kan också ges. Själva kogret kan betraktas som en kategori, där hörnen är objekt och banorna är morfismer. Då är en representation av $Q$ bara en kovariansfunktion från denna kategori till kategorin ändliga dimensionella vektorrum . Morfismer av representationer av $Q$ är exakt naturliga transformationer mellan de motsvarande funktionerna.

För ett ändligt koger $Γ$ (ett koger med ändligt många hörn och kanter), låt $K Γ$ vara dess vägalgebra. Låt $e i$ beteckna den triviala banan vid vertex $i$ . Sedan kan vi associera till vertex $i$ den projektiva $K Γ$ -modulen $K Γ e i$ bestående av linjära kombinationer av banor som har startpunkt $i$ . Detta motsvarar representationen av $Γ$ som erhålls genom att sätta en kopia av $K$ vid varje vertex som ligger på en bana som börjar vid $i$ och 0 på varandras vertex. Till varje kant som sammanfogar två kopior av $K$ associerar vi identitetskartan.

darrar med relationer

För att framtvinga kommutativitet för vissa kvadrater inuti ett koger är en generalisering begreppet koger med relationer (även kallat bundna koger). En relation på ett koger $Q$ är en $K$ linjär kombination av vägar från $Q$ . Ett koger med relation är ett par $(Q, I)$ med $Q$ ett koger och $I\subseteq K\Gamma$ ett ideal för vägalgebra. Kvoten $K Γ / I$ är vägalgebra för $(Q, I)$ .

Quiver Variety

Med tanke på dimensionerna av vektorutrymmena som är tilldelade varje vertex, kan man bilda en variation som karakteriserar alla representationer av den kogern med de specificerade dimensionerna, och överväga stabilitetsförhållanden. Dessa ger kogervarianter, konstruerade av King (1994) .

Gabriels teorem

Ett koger är av finit typ om det bara har ändligt många isomorfismklasser av oupplösliga representationer . Gabriel (1972) klassificerade alla kogger av finit typ, och även deras oupplösliga representationer. Mer exakt säger Gabriels teorem att:

Ett (anslutet) koger är av finit typ om och endast om dess underliggande graf (när pilarnas riktningar ignoreras) är ett av ADE Dynkin-diagrammen : $A n, D n, E 6, E 7, E 8$ .
De oupplösliga representationerna är i en en-till-en-överensstämmelse med de positiva rötterna av rotsystemet i Dynkin-diagrammet.

Dlab & Ringel (1973) fann en generalisering av Gabriels teorem där alla Dynkin-diagram av finita dimensionella semisimple Lie-algebror förekommer.

Se även

ADE-klassificering
Självhäftande kategori
Grafalgebra
Gruppring
Incidens algebra
Kogerdiagram
Semi-invariant av ett koger
Torisk sort
Härledd icke-kommutativ algebraisk geometri - Quivers hjälper till att koda data från härledda icke-kommutativa scheman

Böcker

Kirillov, Alexander (2016), Quiver Representations and Quiver Varieties , American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-2307-0

Föreläsningsanteckningar

Crawley-Boevey, William, Lectures on Representations of Quivers (PDF) , arkiverad från originalet 2017-08-20 {{ citation } } : CS1 underhåll: bot: ursprunglig URL-status okänd ( länk )
Kogerrepresentationer i torisk geometri

Forskning

Projektiva toriska varianter som fina modulrum av kogerrepresentationer

Källor

Derksen, Harm; Weyman, Jerzy (februari 2005), "Quiver Representations" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 52 (2)
Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1973), On algebras of finite representation type , Carleton Mathematical Lecture Notes, vol. 2, Institutionen för matematik, Carleton Univ., Ottawa, Ont., MR 0347907
Crawley-Boevey, William (1992), Notes on Quiver Representations (PDF) , Oxford University
Gabriel, Peter (1972), "Unzerlegbare Darstellungen. I", Manuscripta Mathematica , 6 (1): 71–103, doi : 10.1007/BF01298413 , ISSN 0025-2611 , MR 0332887 . Errata .
King, Alastair (1994), "Moduli av representationer av finita dimensionella algebror", Quart. J. Math. , 45 (180): 515–530, doi : 10.1093/qmath/45.4.515
Savage, Alistair (2006) [2005], "Finite-dimensional algebras and quivers", i Francoise, J.-P.; Naber, GL; Tsou, ST (red.), Encyclopedia of Mathematical Physics , vol. 2, Elsevier, s. 313–320, arXiv : math/0505082 , Bibcode : 2005math......5082S
Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007), Elements of the Representation Theory of Associative Algebras , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88218-7
Bernšteĭn, IN; Gel'fand, IM; Ponomarev, VA, "Coxeter-funktioner och Gabriels teorem" (ryska), Uspekhi Mat. Nauk 28 (1973), nr. 2(170), 19–33. Översättning på Bernsteins hemsida .
Quiver på n Lab