Klassnummerformel

I talteorin relaterar klasstalsformeln många viktiga invarianter i ett talfält till ett speciellt värde på dess Dedekind zetafunktion .

Allmän uppgift om klassnummerformeln

Vi börjar med följande data:

• K är ett nummerfält.
• [ K : Q ] = n = r ₁ + 2 r ₂ , där r ₁ anger antalet reella inbäddningar av K och 2 r ₂ är antalet komplexa inbäddningar av K .
• ζ _K ( s ) är Dedekind zeta- funktionen för K.
• h _K är klassnumret , antalet element i den ideala klassgruppen av K.
• Reg _K är regulatorn för K .
• w _K är antalet enhetsrötter som finns i K .
• D _K är diskriminanten för förlängningen K / Q .

Sedan:

Sats (Klasstalsformel). ζ _K ( s ) konvergerar absolut för Re( s ) > 1 och sträcker sig till en meromorf funktion för alla komplexa s med endast en enkel pol vid s = 1 , med restgränser

$\lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{ 2}}\cdot \operatörsnamn {Reg} _{K}\cdot h_{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}$

Detta är den mest allmänna "klassnummerformeln". I särskilda fall, till exempel när K är en cyklotomisk förlängning av Q , finns det speciella och mer förfinade klasstalsformler.

Bevis

Tanken med beviset för klasstalsformeln är lättast att se när K = Q (i). I det här fallet är ringen av heltal i K de Gaussiska heltal .

En elementär manipulation visar att resten av Dedekind zeta-funktionen vid s = 1 är medelvärdet av koefficienterna för Dirichlet-seriens representation av Dedekind zeta-funktionen. Den n -te koefficienten i Dirichlet-serien är i huvudsak antalet representationer av n som summan av två kvadrater av icke-negativa heltal. Så man kan beräkna resten av Dedekind zeta-funktionen vid s = 1 genom att beräkna det genomsnittliga antalet representationer. Som i artikeln om Gauss-cirkelproblemet kan man beräkna detta genom att approximera antalet gitterpunkter inuti en kvartscirkel centrerad vid origo, och dra slutsatsen att resten är en fjärdedel av pi.

Beviset när K är ett godtyckligt imaginärt kvadratiskt talfält är väldigt lika.

I det allmänna fallet, enligt Dirichlets enhetssats , är gruppen av enheter i ringen av heltal av K oändlig. Man kan ändå reducera beräkningen av resten till ett problem med räkning av gitterpunkten med hjälp av den klassiska teorin om verkliga och komplexa inbäddningar och approximera antalet gitterpunkter i en region med regionens volym för att fullborda beviset.

Dirichlet klass nummer formel

Peter Gustav Lejeune Dirichlet publicerade ett bevis på klassnummerformeln för kvadratiska fält 1839, men det angavs i kvadratiska former snarare än klasser av ideal . Det verkar som att Gauss redan visste denna formel 1801.

Denna utställning följer Davenport .

Låt d vara en fundamental diskriminant och skriv h(d) för antalet ekvivalensklasser av kvadratiska former med diskriminant d . Låt $\chi =\left(\!{\frac {d}{m}}\!\right)$ vara Kronecker-symbolen . Då är ${\displaystyle \chi } ett$ Dirichlet-tecken . Skriv $L(s,\chi )$ för Dirichlet L-serien baserat på $\chi$ . För d > 0 , låt t > 0 , u > 0 vara lösningen till Pell-ekvationen $t^{2}-du^{2}=4$ för vilken u är minst , och skriv

$\varepsilon ={\frac {1}{2}}(t+u{\sqrt {d}}).$

(Då är $\varepsilon$ antingen en fundamental enhet av det reella kvadratiska fältet $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ eller kvadraten av en fundamental enhet.) För d < 0, skriv w för antalet automorfismer av kvadratiska former av diskriminant d ; det är,

$w={\begin{cases}2,&d<-4;\\4,&d=-4;\\6,&d=-3.\end{cases}}$

Då visade Dirichlet det

$h(d)={\begin{cases}{\dfrac {w{\sqrt {|d|}}}{2\pi }} L(1,\chi ),&d<0;\\{\dfrac {\sqrt {d}}{\ln \varepsilon }}L(1,\chi ),&d>0.\end{cases}}$

Detta är ett specialfall av sats 1 ovan: för ett kvadratiskt fält K är Dedekinds zetafunktion bara $\zeta _{K}(s) =\zeta (s)L(s,\chi )$ , och resten är $L(1,\chi )$ . Dirichlet visade också att L -serien kan skrivas i en finit form, vilket ger en finit form för klasstalet. Antag att $\chi$ är primitiv med primärledare $q$ . Sedan

$L(1,\chi )={\begin{cases }-{\dfrac {\pi }{q^{3/2}}}\summa _{m=1}^{q-1}m\left({\dfrac {m}{q}}\right) ,&q\equiv 3\mod 4;\\-{\dfrac {1}{q^{1/2}}}\summa _{m=1}^{q-1}\left({\dfrac {m }{q}}\right)\ln \left(2\sin {\dfrac {m\pi }{q}}\right),&q\equiv 1\mod 4.\end{cases}}$

Galois förlängningar av rationalen

Om K är en Galois-förlängning av Q , gäller teorin för Artin L-funktioner för $\zeta _{K}(s)$ . Den har en faktor av Riemann zeta-funktionen , som har en pol av rest ett, och kvoten är regelbunden vid s = 1. Det betyder att den högra sidan av klasstalsformeln kan likställas med en vänster sida

Π L (1,ρ) ^{dim ρ}

med ρ löpande över klasserna av irreducerbara icke-triviala komplexa linjära representationer av Gal( K / Q ) av dimensionen dim(ρ). Det är enligt standarduppdelningen av den vanliga representationen .

Abeliska förlängningar av rationalen

Detta är fallet med ovanstående, med Gal( K / Q ) en abelisk grupp , där alla ρ kan ersättas av Dirichlet-tecken (via klassfältteori ) för någon modul f som kallas ledaren . Därför förekommer alla L (1)-värden för Dirichlet L-funktioner , för vilka det finns en klassisk formel, som involverar logaritmer.

Enligt Kronecker–Weber-satsen förekommer alla värden som krävs för en analytisk klasstalsformel redan när de cyklotomiska fälten beaktas. I så fall finns en ytterligare formulering möjlig, vilket Kummer visar . Regulatorn , kan ställas in mot storheterna från L (1) som känns igen som logaritmer för cyklotomiska enheter . Det resulterar formler som anger att klasstalet bestäms av indexet för de cyklotomiska enheterna i hela gruppen av enheter.

I Iwasawa-teorin kombineras dessa idéer ytterligare med Stickelbergers teorem .

Anteckningar

•   W. Narkiewicz (1990). Elementär och analytisk teori för algebraiska tal (2:a uppl.). Springer-Verlag / Polish Scientific Publishers PWN . s. 324–355 . ISBN 3-540-51250-0 .

Den här artikeln innehåller material från klassnummerformeln på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .