Iwasawa teori

I talteorin är Iwasawa-teorin studiet av objekt av aritmetiskt intresse över oändliga torn av talfält . Det började som en Galois- modulteori om idealklassgrupper , initierad av Kenkichi Iwasawa ( 1959 ) ( 岩澤 健吉 ), som en del av teorin om cyklotomiska fält . I början av 1970-talet Barry Mazur generaliseringar av Iwasawa-teorin till abelska varianter . På senare tid (tidigt 1990-tal) Ralph Greenberg föreslagit en Iwasawa-teori för motiv .

Formulering

Iwasawa arbetade med så kallade $\mathbb {Z} _{p}$ -extensions - oändliga förlängningar av ett talfält $F$ med Galois-gruppen $\Gamma$ isomorf till additivet grupp av p-adiska heltal för något primtal p . (Dessa kallades $\Gamma$ -extensions i tidiga tidningar.) Varje sluten undergrupp av $\Gamma$ är av formen $\Gamma ^{p^{n}} ,$ så enligt Galois teori är en $\mathbb {Z} _{p}$ -förlängning $F_{\infty }/F$ samma sak som ett torn av fält

$F=F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset \cdots \subset F_{\infty }$

så ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{n}/F)\cong \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .} Iwasawa studerade klassiska Galois-moduler över F n {\$ displaystyle $n }}$ genom att ställa frågor om strukturen av moduler över $F_{\infty }.$

Mer allmänt ställer Iwasawa-teorin frågor om strukturen för Galois-moduler över tillägg med Galois-gruppen en p-adic Lie-grupp .

Exempel

Låt $p$ vara ett primtal och låt $K=\mathbb {Q} (\mu _{p})$ vara fältet som genereras över $\mathbb {Q}$ av $p$ rötterna till enhet. Iwasawa ansåg följande torn av nummerfält:

$K=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{\infty },$

där $K_{n}$ är fältet som genereras genom att angränsa till $K$ p ^{n +1} -st rötterna av enhet och

$K_{\infty }=\bigcup K_{n}.$

Det faktum att $\operatorname {Gal} (K_{n}/K)\simeq \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z }$ antyder, genom oändlig Galois teori, att $\operatorname {Gal} (K_{\infty }/K)\simeq \varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{p }.$ För att få en intressant Galois-modul tog Iwasawa den ideala klassgruppen $K_{n}$ och lät $I_{n}$ vara dess p -torsionsdel. Det finns normkartor $m}\to I_{n}}$ { när $m>n$ , och detta ger oss data för ett inverst system . Om vi ​​ställer in

$I=\varprojlim I_{n},$

då är det inte svårt att se från den omvända gränskonstruktionen att $I$ är en modul över $\mathbb {Z} _{p}.$ Faktum är att $I$ är en modul över Iwasawa-algebra $\Lambda =\mathbb {Z} _{p}[[\Gamma ]]$ . Detta är en 2-dimensionell , vanlig lokal ring , och detta gör det möjligt att beskriva moduler över den. Från denna beskrivning är det möjligt att hämta information om p -delen av klassgruppen $K.$

Motivationen här är att p -torsionen i den ideala klassgruppen av $K$ redan hade identifierats av Kummer som det huvudsakliga hindret för det direkta beviset för Fermats sista sats .

Samband med p-adisk analys

Från denna början på 1950-talet har en betydande teori byggts upp. En grundläggande koppling noterades mellan modulteorin och de p-adiska L-funktionerna som definierades på 1960-talet av Kubota och Leopoldt. De senare börjar från Bernoulli-talen och använder interpolation för att definiera p-adiska analoger av Dirichlet L-funktionerna . Det blev tydligt att teorin hade utsikter att slutligen gå vidare från Kummers hundraåriga resultat på vanliga primtal .

Iwasawa formulerade huvudförmodan i Iwasawa-teorin som ett påstående att två metoder för att definiera p-adiska L-funktioner (genom modulteori, genom interpolation) borde sammanfalla, så långt det var väldefinierat. Detta bevisades av Mazur & Wiles (1984) för $\mathbb {Q}$ och för alla helt reella talfält av Wiles (1990) . Dessa bevis utformades efter Ken Ribets bevis på motsatsen till Herbrands teorem (den så kallade Herbrand-Ribet-satsen) .

Karl Rubin hittade ett mer elementärt bevis för Mazur-Wiles-satsen genom att använda Kolyvagins Euler-system , beskrivna i Lang (1990) och Washington (1997) , och senare bevisade andra generaliseringar av huvudförmodan för imaginära kvadratiska fält.

Generaliseringar

Galois-gruppen av det oändliga tornet, startfältet och den typ av aritmetikmodul som studeras kan alla varieras. I varje fall finns det en huvudgissning som kopplar tornet till en p -adisk L-funktion.

2002 hävdade Christopher Skinner och Eric Urban ett bevis på en huvudförmodan för GL (2). 2010 lade de ut ett förtryck ( Skinner & Urban 2010 ) .

Se även

• Ferrero–Washingtons teorem
• Tate-modul av ett nummerfält

Källor

•    Coates, J .; Sujatha, R. (2006), Cyclotomic Fields and Zeta Values ​​, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33068-4 , Zbl 1100.11002
•     Greenberg, Ralph (2001), "Iwasawa theory --- past and present" , i Miyake, Katsuya (red.), Class field theory --- dess hundraårsjubileum och prospekt (Tokyo, 1998) , Adv. Hingst. Pure Math., vol. 30, Tokyo: Matte. Soc. Japan, s. 335–385, ISBN 978-4-931469-11-2 , MR 1846466 , Zbl 0998.11054
•     Iwasawa, Kenkichi (1959), "On Γ-extensions of algebraic number fields", Bulletin of the American Mathematical Society , 65 (4): 183–226, doi : 10.1090 /S0002-9904-1959-10317-0002 ISSN 0002 -9904 , MR 0124316 , Zbl 0089.02402
•    Kato, Kazuya (2007), "Iwasawa teori och generaliseringar" (PDF) , i Sanz-Solé, Marta ; Soria, Javier; Varona, Juan Luis; et al. (red.), International Congress of Mathematicians. Vol. Jag , Eur. Matematik. Soc., Zürich, s. 335–357, doi : 10.4171/022-1/14 , ISBN 978-3-03719-022-7 , MR 2334196 , arkiverad från originalet (PDF) den 2022-0 , återställd- 9 2011-05-08
•    Lang, Serge (1990), Cyclotomic fields I and II , Graduate Texts in Mathematics , vol. 121, Med en appendix av Karl Rubin (Combined 2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96671-7 , Zbl 0704.11038
•     Mazur, Barry ; Wiles, Andrew (1984), "Class fields of abelian extensions of Q ", Inventiones Mathematicae , 76 (2): 179–330, doi : 10.1007/BF01388599 , ISSN 0020-9910 , MR 374280 , Z.0280 , 412800
•     Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323 (andra upplagan), Berlin: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-37889-1 , ISBN 978-3-540-37888-4 , MR 2392026 , Zbl 1001116 .
•   ) , "The 'main conjectures' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields", Inventiones Mathematicae , 103 (1): 25–68, doi : 10.1007/BF01239508 , ISSN 000073 , Z.110073-99110073  
• Skinner, Chris; Urban, Éric (2010), Iwasawas huvudsakliga gissningar för GL ₂ (PDF) , sid. 219
•   Washington, Lawrence C. (1997), Introduktion till cyklotomiska fält , Graduate Texts in Mathematics, vol. 83 (2:a upplagan), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4
•    Wiles, Andrew (1990), "The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields", Annals of Mathematics , 131 (3): 493–540, doi : 10.2307/1971468 , JSTOR 1971468 , Zbl 0719.11071 .

Citat

Vidare läsning

•    de Shalit, Ehud (1987), Iwasawas teori om elliptiska kurvor med komplex multiplikation. p -adic L functions , Perspectives in Mathematics, vol. 3, Boston etc.: Academic Press, ISBN 978-0-12-210255-4 , Zbl 0674.12004

externa länkar

• "Iwasawa theory" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]