Stickelbergers sats

Inom matematik är Stickelbergers sats ett resultat av algebraisk talteori , som ger viss information om Galois- modulstrukturen för klassgrupper av cyklotomiska fält . Ett specialfall bevisades först av Ernst Kummer ( 1847 ) medan det allmänna resultatet beror på Ludwig Stickelberger ( 1890 ).

Stickelbergerelementet och Stickelbergeridealet

Låt K _m beteckna det m: te cyklotomiska fältet , dvs. förlängningen av de rationella talen som erhålls genom att angränsa de m: te rötterna av enhet till $\mathbb {Q}$ (där m ≥ 2 är ett heltal). Det är en Galois-förlängning av $\mathbb {Q}$ med Galois-gruppen G _m isomorf till den multiplikativa gruppen av heltal modulo m ( $\mathbb {Z}$ / m $\mathbb { Z}$ ) ^× . Stickelberger -elementet ( av nivå m eller av K _m ) är ett element i gruppringen $\mathbb {Q}$ [ G _m ] och Stickelberger-idealet ( av nivå m eller av K _m ) är ett ideal i gruppringen $\mathbb {Z}$ [ G _m ] . De definieras enligt följande. Låt ζ _m beteckna en primitiv m: te roten till enhet . Isomorfismen från ( $\mathbb {Z}$ / m $\mathbb {Z}$ ) ^× till G _m ges genom att skicka a till σ _a definierad av relationen

$\sigma _{a}(\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a}$ .

Stickelberger-elementet på nivå m definieras som

$\theta (K_{m})={\frac {1}{m}}{\underset {(a,m)=1}{\summa _{a=1}^{m}}}a \cdot \sigma _{a}^{-1}\in \mathbb {Q} [G_{m}].$

Stickelbergeridealet för nivå m , betecknat I ( K _m ) , är mängden integralmultiplar av θ ( K _m ) som har integralkoefficienter, dvs.

$I(K_{m})=\theta (K_{m})\mathbb {Z} [G_{m}]\cap \mathbb {Z} [G_{m}].$

Mer generellt, om F är något abelianskt talfält vars Galois-grupp över $\mathbb {Q}$ betecknas GF _. , så kan Stickelberger-elementet av F och Stickelberger-idealet för F definieras Enligt Kronecker–Webers sats finns ett heltal m så att F ingår i K _m . Fixa minsta sådana m (detta är den (ändliga delen av) ledaren av F över ${\displaystyle \mathbb {Q} } )$ . Det finns en naturlig grupphomomorfism G _m → G _F given av restriktion, dvs om σ ∈ G _m , är dess bild i G _F dess begränsning till F betecknad res _m σ . Stickelberger-elementet i F definieras då som

$\theta (F)={\frac {1}{m}}{\underset {(a,m)=1}{\summa _{a=1}^{m}}}a\cdot \ mathrm {res} _{m}\sigma _{a}^{-1}\in \mathbb {Q} [G_{F}].$

Stickelbergeridealet F , betecknat I ( F ) , definieras som i fallet K _m , dvs.

$I(F)=\theta (F)\mathbb {Z} [G_{F}]\cap \mathbb {Z} [G_{F}].$

I det speciella fallet där F = K _{m ,} genereras Stickelbergeridealet I ( K _m ) av ( a − σ _a ) θ ( K _m ) eftersom a varierar över $\mathbb {Z}$ / m ${ \displaystyle \mathbb {Z} }$ . Detta är inte sant för allmän F .

Exempel

Om F är ett helt reellt fält av ledaren m , då

$\theta (F)={\frac {\varphi (m)}{2[F:\mathbb {Q } ]}}\summa _{\sigma \in G_{F}}\sigma ,$

där φ är Euler-toientfunktionen och [ F : $\mathbb {Q}$ ] är graden av F över $\mathbb {Q}$ .

Uttalande av satsen

Stickelbergers sats Låt F vara ett abelskt talfält. Sedan förintar Stickelbergeridealet F klassgruppen F .

Observera att θ ( F ) själv inte behöver vara $\mathbb {Z}$ [ GF _en ] förintare, men vilken multipel av den i är.

Uttryckligen säger satsen att om α ∈ $\mathbb {Z}$ [ G _F ] är sådan att

$\alpha \theta (F)=\summa _{\sigma \in G_{F}}a_{\sigma }\ sigma \in \mathbb {Z} [G_{F}]$

och om J är något bråksideal av F , då

$\prod _{\sigma \in G_{F}}\sigma \left(J^{a_{\sigma }}\right)$

är ett huvudideal .

Se även

• Gross–Koblitz formel
• Herbrand-Ribet-satsen
• Thaines sats
• Jacobi summa
• Gauss summa

Anteckningar

•    Cohen, Henri (2007). Talteori – Volym I: Verktyg och diofantiska ekvationer . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 239. Springer-Verlag . s. 150–170. ISBN 978-0-387-49922-2 . Zbl 1119.11001 .
• Boas Erez, Darstellungen von Gruppen in der Algebraischen Zahlentheorie: eine Einführung
•    Fröhlich, A. (1977). "Stickelbergare utan Gausssummor". I Fröhlich, A. (red.). Algebraiska nummerfält, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975 . Akademisk press. s. 589–607. ISBN 0-12-268960-7 . Zbl 0376.12002 .
•    Irland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). En klassisk introduktion till modern talteori . Examentexter i matematik. Vol. 84 (andra upplagan). New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4757-2103-4 . ISBN 978-1-4419-3094-1 . MR 1070716 .
• Kummer, Ernst (1847), "Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1847 ( 35): 327–367, doi : 10.1515/cr735.ll.
•   Stickelberger, Ludwig (1890), "Ueber eine Verallgemeinerung der Kreistheilung" , Mathematische Annalen , 37 (3): 321–367, doi : 10.1007 /bf01721360 , JFM 22.0100 410,01 ,  
•    Washington, Lawrence (1997), Introduction to Cyclotomic Fields , Graduate Texts in Mathematics, vol. 83 (2 uppl.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4 , MR 1421575

externa länkar

• PlanetMath sida