Grundläggande diskriminant
Inom matematiken är en fundamental diskriminant D en heltalsinvariant i teorin om integrala binära kvadratiska former . Om Q ( x , y ) = ax 2 + bxy + cy 2 är en kvadratisk form med heltalskoefficienter, då är D = b 2 − 4 ac diskriminanten av Q ( x , y ). Omvänt är varje heltal D med D ≡ 0, 1 ( mod 4) diskriminanten för någon binär kvadratisk form med heltalskoefficienter. Således hänvisas alla sådana heltal till som diskriminanter i denna teori.
Det finns explicita kongruensvillkor som ger uppsättningen av grundläggande diskriminanter. Specifikt D en grundläggande diskriminant om och endast om ett av följande påståenden stämmer
- D ≡ 1 (mod 4) och är kvadratfri ,
- D = 4 m , där m ≡ 2 eller 3 (mod 4) och m är kvadratfri.
De första tio positiva grundläggande diskriminanterna är:
De första tio negativa grundläggande diskriminanterna är:
Förbindelse med kvadratiska fält
00000 Det finns ett samband mellan teorin om integrala binära kvadratiska former och aritmetiken för kvadratiska talfält . En grundläggande egenskap hos denna koppling är att D är en fundamental diskriminant om, och endast om, D = 1 eller D är diskriminanten för ett kvadratiskt talfält. Det finns exakt ett kvadratiskt fält för varje fundamental diskriminant D ≠ 1, upp till isomorfism . Detta är anledningen till att vissa författare anser att 1 inte är en grundläggande diskriminant, även om man kan tolka D = 1 som diskriminanten för den kvadratiska algebra som består av två kopior av det rationella fältet.
Faktorisering
Fundamentala diskriminanter kan också kännetecknas av att de faktoriseras till positiva och negativa primära krafter . Definiera uppsättningen
0 där primtalen kongruenta med 1 mod 4 är positiva och de kongruenta med 3 mod 4 är negativa. Då är ett tal D ≠ 1 en fundamental diskriminant om, och endast om, det är produkten av parvis relativt prime medlemmar av S .
- Henri Cohen (1993). En kurs i beräkningsalgebraisk talteori . Examentexter i matematik. Vol. 138. Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-55640-0 . MR 1228206 .
- Duncan Buell (1989). Binära kvadratiska former: klassisk teori och moderna beräkningar . Springer-Verlag . sid. 69 . ISBN 0-387-97037-1 .
- Don Zagier (1981). Zetafunktionen und quadratische Körper . Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-10603-6 .