Riemann-von Mangoldt formel

Inom matematiken beskriver Riemann –von Mangoldt-formeln , uppkallad efter Bernhard Riemann och Hans Carl Friedrich von Mangoldt , fördelningen av nollorna i Riemanns zeta-funktion .

Formeln anger att talet N ( T ) av nollor i zetafunktionen med imaginär del större än 0 och mindre än eller lika med T uppfyller

$N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O( \log {T}).$

Formeln angavs av Riemann i hans anmärkningsvärda artikel " On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude " (1859) och bevisades slutligen av Mangoldt 1905.

Backlund ger en explicit form av felet för alla T > 2:

$\left\vert {N(T)-\left({{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T} {2\pi }}}-{\frac {7}{8}}\right)}\right\vert <0.137\log T+0.443\log \log T+4.350\ .$

Under Lindelöfs och Riemanns hypoteser kan feltermen förbättras till $o(\log {T})$ och $O(\ log {T}/\log {\log {T}})$ respektive.

har vi för varje primitivt Dirichlet-tecken χ modulo q

$N(T,\chi )={\frac {T}{\pi }}\log { \frac {qT}{2\pi e}}+O(\log {qT}),$

där N(T,χ) anger antalet nollor av L(s,χ) med imaginär del mellan -T och T .

Anteckningar

•    Edwards, HM (1974). Riemanns zeta-funktion . Ren och tillämpad matematik. Vol. 58. New York-London: Academic Press. ISBN 0-12-232750-0 . Zbl 0315.10035 .
•    Ivić, Aleksandar (2013). Teorin om Hardys Z -funktion . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 196. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-1-107-02883-8 . Zbl 1269.11075 .
•    Patterson, SJ (1988). En introduktion till teorin om Riemanns zeta-funktion . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 14. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-33535-3 . Zbl 0641.10029 .
•    Titchmarsh, Edward Charles (1986), Theory of the Riemann zeta-function (2nd ed.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853369-6 , MR 0882550