Gauss cirkel problem

En cirkel med radie 5 centrerad vid origo har arean 25 π , ungefär 78,54, men den innehåller 81 heltalspunkter, så felet vid uppskattning av dess area genom att räkna rutnätspunkter är ungefär 2,46. För en cirkel med något mindre radie är arean nästan densamma, men cirkeln innehåller bara 69 punkter, vilket ger ett större fel på ungefär 9,54. Gausscirkelproblemet handlar om att begränsa detta fel mer generellt, som en funktion av cirkelns radie.

Inom matematik är Gausscirkelproblemet problemet med att bestämma hur många heltalsgitterpunkter det finns i en cirkel centrerad vid origo och med radien $\displaystyle r}$ { . Detta antal uppskattas av cirkelns area, så det verkliga problemet är att exakt binda feltermen som beskriver hur antalet punkter skiljer sig från arean. De första framstegen på en lösning gjordes av Carl Friedrich Gauss , därav dess namn.

Problemet

Betrakta en cirkel i $\mathbb {R} ^{2}$ med centrum i origo och radie $r\geq 0$ . Gauss cirkelproblem frågar hur många punkter det finns inuti denna cirkel av formen $(m,n)$ där $m$ och $n$ båda är heltal. Eftersom ekvationen för denna cirkel ges i kartesiska koordinater av $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ställer frågan på samma sätt hur många par av heltal m och n finns sådana som

$m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.$

Om svaret för en given $r$ betecknas med $N(r)$ visar följande lista de första värdena av $N(r)$ för $r$ ett heltal mellan 0 och 12 följt av listan med värden $\pi r^{2}$ avrundat till närmaste heltal:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (sekvens A000328 i OEIS) 0, 3, 13, 28, 50, 3, 79, 11, 50 , 32 ,

11 254, 314, 380, 452 (sekvens A075726 i OEIS )

Gränser till en lösning och gissningar

$N(r)$ är ungefär $\pi r^{2}$ , området inuti en cirkel med radien $r$ . Detta beror på att i genomsnitt varje enhetskvadrat innehåller en gitterpunkt. Således är det faktiska antalet gitterpunkter i cirkeln ungefär lika med dess area, $\pi r^{2}$ . Så det bör förväntas

$N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,$

för någon felterm $E(r)$ med relativt litet absolut värde. Att hitta en korrekt övre gräns för $\mid E(r)\mid$ är alltså den form problemet har fått. Observera att $r$ inte behöver vara ett heltal. Efter $N(4)=49$ har man ${\displaystyle N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.} På dessa$ platser $E(r)$ ökar med $8,4,8,12$ varefter den minskar (med en hastighet av $2\pi r$ ) tills nästa gång den ökar.

Gauss lyckades bevisa det

$|E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.$

Hardy och, oberoende av varandra, Landau hittade en nedre gräns genom att visa det

$|E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4} \höger),$

med den lilla o-notationen . Det antas att den korrekta gränsen är

$|E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).$

Om du skriver ${\displaystyle E(r)\leq Cr^{t}} ,$ är de nuvarande gränserna på $t$

${\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}=0,6298\ldots ,$

med den nedre gränsen från Hardy och Landau 1915, och den övre gränsen bevisades av Martin Huxley 2000.

Exakta former

Värdet på $N(r)$ kan ges av flera serier. I termer av en summa som involverar golvfunktionen kan den uttryckas som:

$N(r)=1+4\summa _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\ rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).$

Detta är en följd av Jacobis tvåkvadratsats, som följer nästan omedelbart av Jacobis trippelprodukt .

En mycket enklare summa uppstår om kvadratsumman $r_{2}(n)$ definieras som antalet sätt att skriva talet $n$ som summan av två kvadrater . Sedan

$N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).$

De senaste framstegen vilar på följande identitet, som först upptäcktes av Hardy:

$N(x)-{\frac { r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n) }{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),$

där $J_{1}$ betecknar Bessel-funktionen av det första slaget med ordning 1.

Generaliseringar

Även om det ursprungliga problemet frågar efter heltalsgitterpunkter i en cirkel, finns det ingen anledning att inte överväga andra former, till exempel koner ; verkligen Dirichlets divisorproblem är det ekvivalenta problemet där cirkeln ersätts av den rektangulära hyperbeln . På liknande sätt kan man utöka frågan från två dimensioner till högre dimensioner, och be om heltalspunkter inom en sfär eller andra objekt. Det finns en omfattande litteratur om dessa problem. Om man bortser från geometrin och bara betraktar problemet som ett algebraiskt problem av diofantiska ojämlikheter , då skulle man kunna öka exponenterna som förekommer i problemet från kvadrater till kuber eller högre.

Punktplanimetern är en fysisk anordning för att uppskatta arean av former baserat på samma princip. Den består av ett kvadratiskt rutnät av prickar, tryckt på ett genomskinligt ark; arean av en form kan uppskattas som produkten av antalet punkter i formen med arean av en rutnätsruta.

Primitiva cirkelproblemet

En annan generalisering är att beräkna antalet coprime heltalslösningar $m,n$ till olikheten

$m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,$

Detta problem är känt som det primitiva cirkelproblemet , eftersom det handlar om att söka efter primitiva lösningar på det ursprungliga cirkelproblemet. Det kan intuitivt förstås som frågan om hur många träd inom ett avstånd från r som är synliga i Euklids fruktträdgård, som står i ursprunget. Om antalet sådana lösningar betecknas $V(r)$ så är värdena för $V(r)$ för $r$ med små heltalsvärden

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 … (sekvens A175341 i OEIS ).

Med samma idéer som det vanliga Gausscirkelproblemet och det faktum att sannolikheten för att två heltal är coprima är ${\displaystyle 6/\pi ^{2}} ,$ är det relativt enkelt att visa att

$V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).$

Som med det vanliga cirkelproblemet är den problematiska delen av primitiva cirkelproblemet att reducera exponenten i feltermen. För närvarande är den mest kända exponenten $221/304+\varepsilon$ om man antar Riemann-hypotesen . Utan att anta Riemann-hypotesen är den mest kända övre gränsen

$V(r)={\ frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/ 5}))$

för en positiv konstant $c$ . I synnerhet är det för närvarande inte känt någon begränsning av feltermen för formen $r^{1-\varepsilon }$ för någon $\varepsilon >0$ som inte antar Riemann-hypotesen .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Gauss cirkelproblem" . MathWorld .
• Grant Sanderson, "Pi hiding in prime regularities" , 3Blue1Brown