Selmer grupp

Inom aritmetisk geometri är Selmer -gruppen , namngiven för att hedra Ernst Sejersted Selmers ( 1951 ) arbete av John William Scott Cassels ( 1962 ), en grupp konstruerad från en isogeni av abelska sorter .

Selmergruppen av en isogeni

Selmergruppen av en abelisk sort A med avseende på en isogeni f : A → B av abelska sorter kan definieras i termer av Galois kohomologi som

$\operatorname {Sel} ^{(f)}(A/K)=\bigcap _{v}\ker(H^{1}(G_{K},\ker(f))\rightarrow H^ {1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\operatörsnamn {im} (\kappa _{v}))$

där A _v [ f ] anger f - torsionen av A _v och $\kappa _{v}$ är den lokala Kummer-kartan $B_{v}(K_{v})/f(A_{v}(K_{v}))\högerpil H^{1}(G_{K_ {v}},A_{v}[f])$ . Observera att $H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\operatörsnamn {im} (\kappa _{v})$ är isomorf till $H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}) [f]$ . Geometriskt har de huvudsakliga homogena utrymmena som kommer från element i Selmergruppen K _v- rationella punkter för alla platser v i K . Selmergruppen är ändlig. Detta innebär att den del av Tate-Shafarevich-gruppen som dödades av f är ändlig på grund av följande exakta sekvens

0 → B ( K )/ f ( A ( K )) → Sel ^(f) ( A / K ) → Ш( A / K )[ f ] → 0.

Selmergruppen i mitten av denna exakta sekvens är ändlig och effektivt beräkningsbar. Detta antyder den svaga Mordell-Weil-satsen att dess undergrupp B ( K )/ f ( A ( K )) är ändlig. Det finns ett ökänt problem om huruvida denna undergrupp kan beräknas effektivt: det finns en procedur för att beräkna den som kommer att avslutas med det korrekta svaret om det finns något primtal p så att p -komponenten i Tate – Shafarevich-gruppen är finit. Det antas att Tate-Shafarevich-gruppen i själva verket är ändlig, i vilket fall vilket primtal p som helst skulle fungera. Men om (som verkar osannolikt) Tate–Shafarevich-gruppen har en oändlig p -komponent för varje primtal p , kan proceduren aldrig avslutas.

Ralph Greenberg ( 1994 ) har generaliserat begreppet Selmer-grupp till mer allmänna paradiska Galois-representationer och till p -adiska variationer av motiv i Iwasawa-teorins sammanhang .

Selmer-gruppen av en finit Galois-modul

Mer generellt kan man definiera Selmer-gruppen i en finit Galois-modul M (såsom kärnan i en isogeni) som elementen i H ¹ ( G _K , M ) som har bilder inom vissa givna undergrupper av H ¹ ( G _{K v} , M ).

•    Cassels, John William Scott (1962), "Arithmetic on curves of genus 1. III. The Tate–Šafarevič and Selmer groups", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 12 : 259–296, doi : 10.1112/plms/ s3-12.1.259 , ISSN 0024-6115 , MR 0163913
•    Cassels, John William Scott (1991), Lectures on elliptic curves , London Mathematical Society Student Texts, vol. 24, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139172530 , ISBN 978-0-521-41517-0 , MR 1144763
•    Greenberg, Ralph (1994), "Iwasawa Theory and P-adic Deformation of Motives", i Serre, Jean-Pierre ; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L. (red.), Motives , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1637-0 , MR 1265554
•    Selmer, Ernst S. (1951), "The Diophantine equation ax ³ + by ³ + cz ³ = 0", Acta Mathematica , 85 : 203–362, doi : 10.1007/BF02395746 , ISSN 00001-59 , 4MR 60201-59

Se även

• Wiles bevis på Fermats sista sats