Hasse–Weil zeta-funktion

Inom matematiken är Hasse –Weil zeta-funktionen kopplad till en algebraisk varietet V definierad över ett algebraiskt talfält K en meromorf funktion på det komplexa planet definierad i termer av antalet punkter på sorten efter att ha reducerat modulo varje primtal p . Det är en global L -funktion definierad som en Euler-produkt av lokala zetafunktioner .

Hasse–Weil L -funktioner bildar en av de två stora klasserna av globala L -funktioner, tillsammans med L -funktionerna som är associerade med automorfa representationer . Konjekturiskt är dessa två typer av globala L -funktioner faktiskt två beskrivningar av samma typ av globala L -funktioner; detta skulle vara en stor generalisering av Taniyama-Weil-förmodan , i sig ett viktigt resultat i talteorin .

För en elliptisk kurva över ett talfält K är Hasse–Weil zeta-funktionen gissningsmässigt relaterad till gruppen av rationella punkter i den elliptiska kurvan över K av Birch- och Swinnerton-Dyer-förmodan .

Definition

Beskrivningen av Hasse–Weil zeta-funktionen upp till ändligt många faktorer av dess Euler-produkt är relativt enkel. Detta följer de första förslagen från Helmut Hasse och André Weil , motiverade av fallet där V är en enda punkt, och Riemann zeta-funktionen resulterar.

Om vi ​​tar fallet med K , det rationella talfältet Q , och V en icke-singular projektiv varietet , kan vi för nästan alla primtal p betrakta reduktionen av V modulo p , en algebraisk variation V _p över det finita fältet F _p med p element , bara genom att reducera ekvationer för V . Schema-teoretiskt sett är denna minskning bara tillbakadragningen av V längs den kanoniska kartan Spec F _p → Spec Z . Återigen för nästan alla p kommer det att vara icke-singular. Vi definierar

$Z_{V,Q}(s)$

att vara Dirichlet-serien av den komplexa variabeln s , som är den oändliga produkten av de lokala zetafunktionerna

$Z_{V,p}\left(p^{-s}\right)$ .

Då är ${\displaystyle Z_{V,Q}(s)} ,$ ​​enligt vår definition, väldefinierade endast upp till multiplikation med rationella funktioner i ett ändligt antal $p ^{-s}$ .

Eftersom obestämbarheten är relativt ofarlig och har meromorf fortsättning överallt, finns det en mening där egenskaperna hos Z(s) inte väsentligen beror på den. I synnerhet, även om den exakta formen av den funktionella ekvationen för Z ( s ), som reflekteras i en vertikal linje i det komplexa planet, definitivt kommer att bero på de "saknade" faktorerna, så gör inte förekomsten av någon sådan funktionell ekvation det.

En mer förfinad definition blev möjlig med utvecklingen av étale cohomology ; detta förklarar prydligt vad man ska göra åt de saknade, "dåliga reduktions"-faktorerna. Enligt allmänna principer som är synliga i förgreningsteorin bär "dåliga" primtal bra information (teori om ledaren ). Detta visar sig i etaleteorin i Ogg–Néron–Shafarevich-kriteriet för god reduktion ; nämligen att det finns bra reduktion, i en bestämd mening, vid alla primtal p för vilka Galois-representationen ρ på étale kohomologigrupperna av V är oframifierad . För dessa kan definitionen av lokal zetafunktion återställas i termer av det karakteristiska polynomet av

$\rho (\operatörsnamn {Frob} (p)),$

Frob( p ) är ett Frobenius-element för p . Vad som händer vid det förgrenade p är att ρ är icke-trivial på tröghetsgruppen I ( p ) för p . Vid dessa primtal måste definitionen "korrigeras" och ta den största kvoten av representationen ρ på vilken tröghetsgruppen verkar av den triviala representationen . Med denna förfining kan definitionen av Z ( s ) framgångsrikt uppgraderas från "nästan alla" p till alla p som deltar i Euler-produkten. Konsekvenserna för den funktionella ekvationen utarbetades av Serre och Deligne under det senare 1960-talet; den funktionella ekvationen i sig har inte bevisats i allmänhet.

Hasse–Weil gissning

Hasse–Weil gissningen säger att Hasse–Weil zeta-funktionen bör sträcka sig till en meromorf funktion för alla komplexa s , och bör uppfylla en funktionell ekvation som liknar den för Riemanns zeta-funktion . För elliptiska kurvor över de rationella talen följer Hasse–Weil-förmodan från modularitetsteoremet .

Birch och Swinnerton-Dyer gissningar

Birch och Swinnerton-Dyers gissningar säger att rangordningen för den abelska gruppen E ( K ) för punkter i en elliptisk kurva E är nollordningen för Hasse–Weil L -funktionen L ( E , s ) vid s = 1 , och att den första koefficienten som inte är noll i Taylor -expansionen av L ( E , s ) vid s = 1 ges av mer förfinade aritmetiska data kopplade till E över K. Gissningen är ett av de sju millennieprisproblemen listade av Clay Mathematics Institute , som har erbjudit ett pris på $1 000 000 för det första korrekta beviset.

Elliptiska kurvor över Q

En elliptisk kurva är en specifik sorts sort. Låt E vara en elliptisk kurva över Q för ledaren N . Då E bra reduktion vid alla primtal p som inte delar N , den har multiplikativ reduktion vid primtal p som exakt delar N (dvs sådan att p delar N , men p ² inte; detta skrivs p || N ), och den har additiv reduktion på annat håll (dvs. vid primtal där p ² delar N ). Hasse–Weil zeta-funktionen för E tar då formen

$Z_{E,\mathbf {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(E,s)}}.\,$

Här är ζ( s ) den vanliga Riemann zeta-funktionen och L ( E , s ) kallas L -funktionen av E / Q , som tar formen

$L(E,s)=\prod _{p}L_{p}(E,s)^{-1}\,$

där, för ett givet primtal p ,

$L_{p}(E,s)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+pp^{-2s}),&{\text {if }}p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{if }}p\mid N{\text{ och }}p^{2}\ nmid N\\1,&{\text{if }}p^{2}\mid N\end{cases}}$

där, i fallet med bra reduktion, är a _p p + 1 − (antal punkter av E mod p ), och i fallet med multiplikativ reduktion är a _p ±1 beroende på om E har delat (plustecken) eller icke- split (minustecken) multiplikativ reduktion vid p . En multiplikativ reduktion av kurva E med primtal p sägs delas om -c ₆ är en kvadrat i ändligt fält med p element.

Det finns en användbar relation som inte använder ledare:

1. Om p inte delar $\Delta$ (där $\Delta$ är en diskriminant av en elliptisk kurva) så har E bra reduktion vid p .

2. Om p delar $\Delta$ men inte $c_{4}$ så har E multiplikativ dålig reduktion vid p .

3. Om p delar både $\Delta$ och $c_{4}$ så har E additiv dålig reduktion vid p .

Se även

• Aritmetisk zeta-funktion

Bibliografi

• J.-P. Serre , Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés algébriques (definitions et conjectures) , 1969/1970, Sém. Delange–Pisot–Poitou, exposé 19