Tensorprodukt av fält

I matematik är tensorprodukten av två fält deras tensorprodukt som algebror över ett gemensamt delfält . Om inget underfält är explicit specificerat måste de två fälten ha samma egenskap och det gemensamma underfältet är deras primära underfält .

Tensorprodukten av två fält är ibland ett fält, och ofta en direkt produkt av fält; I vissa fall kan den innehålla icke-noll nilpotenta element .

Tensorprodukten av två fält uttrycker i en enda struktur det olika sättet att bädda in de två fälten i ett gemensamt förlängningsfält .

Sammansättning av fält

Först definierar man begreppet sammansättningen av fält. Denna konstruktion förekommer ofta inom fältteorin . Tanken bakom sammansättningen är att göra det minsta fältet som innehåller två andra fält. För att formellt definiera sammansättningen måste man först ange ett torn av fält . Låt k vara ett fält och L och K vara två förlängningar av k . Sammansättningen, betecknad KL $KL=k(K\cup L)$ definieras som där den högra sidan anger förlängningen som genereras av K och L . Observera att detta förutsätter ett fält som innehåller både K och L . Antingen börjar man i en situation där ett omgivande fält är lätt att identifiera (till exempel om K och L är båda delfält av de komplexa talen ), eller så bevisar man ett resultat som gör att man kan placera både K och L (som isomorfa kopior) i något tillräckligt stort fält.

I många fall kan man identifiera K . L som en vektorrymdstensorprodukt , tagit över fältet N som är skärningspunkten mellan K och L. Till exempel, om man ansluter √2 till det rationella fältet $\mathbb {Q}$ för att få K och √3 för att få L , är det sant att fältet M erhålls som K . L inuti de komplexa talen $\mathbb {C}$ är ( upp till isomorfism)

K\otimes _{\mathbb {Q} }L

som ett vektorrum över $\mathbb {Q}$ . (Denna typ av resultat kan i allmänhet verifieras genom att använda förgreningsteorin för algebraisk talteori .)

Delfälten K och L av M är linjärt disjunkta (över ett delfält N ) när på detta sätt den naturliga N -linjära kartan över

K\otimes _{N}L

till K. _ L är injektiv . Naturligtvis är detta inte alltid fallet, till exempel när K = L . När graderna är ändliga är injektivitet här likvärdig med bijektivitet . När K och L är linjärt disjunkta ändliga graders förlängningsfält över N , ${\displaystyle KL\cong K\otimes _{N}L} ,$ som med de tidigare nämnda förlängningarna av rationalerna.

Ett signifikant fall i teorin om cyklotomiska fält är att för de n: te rötterna av enhet , för n ett sammansatt antal , är delfälten som genereras av de p ^k: te enhetsrötterna för primpotenser som delar n linjärt disjunkta för distinkt p .

Tensorprodukten som ring

För att få en allmän teori behöver man överväga en ringstruktur på $K\otimes _{N}L$ . Man kan definiera produkten $(a\otimes b)(c\otimes d)$ till $ac\otimes bd$ (se Tensorprodukt av algebror ). Denna formel är multilinjär över N i varje variabel; och definierar så en ringstruktur på tensorprodukten, vilket gör $K\otimes _{N}L$ till en kommutativ N -algebra , kallad tensorprodukten av fält .

Analys av ringstrukturen

Ringens struktur kan analyseras genom att överväga alla sätt att bädda in både K och L i någon fältförlängning av N . Observera att konstruktionen här antar det gemensamma delfältet N ; men antar inte a priori att K och L är delfält till något fält M (då kommer man runt förbehållen om att konstruera ett sammansatt fält). Närhelst man bäddar in K och L i ett sådant fält M , säg genom att använda inbäddningar α av K och β av L , resulterar en ringhomomorfism γ från $K\otimes _{N}L$ till M definierad av :

\gamma (a\otimes b)=(\alpha (a)\otimes 1)\star (1\otimes \beta (b))=\alpha (a).\beta (b).

Kärnan av γ kommer att vara ett främsta ideal för tensorprodukten; och omvänt kommer vilket primideal som helst för tensorprodukten att ge en homomorfism av N -algebror till en integral domän (inuti ett fält av bråk ) och tillhandahåller sålunda inbäddningar av K och L i något fält som förlängningar av (en kopia av) N .

På så sätt kan man analysera strukturen hos $K\otimes _{N}L$ : det kan i princip finnas en icke-noll nilradikal (skärningspunkten mellan alla primideal) – och efter att ha tagit kvoten med att man kan tala om produkten av alla inbäddningar av K och L i olika M , över N .

I fallet K och L är finita förlängningar av N är situationen särskilt enkel eftersom tensorprodukten är av finit dimension som en N -algebra (och därmed en artinisk ring ). Man kan då säga att om R är radikalen har man $(K\otimes _{N}L)/R$ som en direkt produkt av ändligt många fält. Varje sådant fält är en representant för en ekvivalensklass av (väsentligen distinkta) fältinbäddningar för K och L i någon förlängning M .

Exempel

Till exempel, om K genereras över $\mathbb {Q}$ av kubroten av 2, då är $K\otimes _{\mathbb {Q} }K$ produkten av (en kopia av) K och ett uppdelningsfält av

X ³ − 2,

av grad 6 över $\mathbb {Q}$ . Man kan bevisa detta genom att beräkna dimensionen av tensorprodukten över $\mathbb {Q}$ som 9, och observera att delningsfältet innehåller två (faktiskt tre) kopior av K och är sammansättningen av två av dem. Det visar för övrigt att R = {0} i det här fallet.

Ett exempel som leder till en icke-noll nilpotent: låt

P ( X ) = X ^p − T

med K fältet för rationella funktioner i det obestämda T över det finita fältet med p element (se Separerbart polynom : poängen här är att P inte är separerbar). Om L är fältförlängningen K ( T ^{1/ p} ) ( delningsfältet för P ) så är L / K ett exempel på en rent oskiljbar fältförlängning . I $L\otimes _{K}L$ elementet

T^{1/p}\otimes 1-1\otimes T^{1/p}

är nilpotent: genom att ta dess p: te potens får man 0 genom att använda K -linjäritet.

Klassisk teori om verkliga och komplexa inbäddningar

I algebraisk talteori är tensorprodukter av fält (implicit, ofta) ett grundläggande verktyg. Om K är en förlängning av $\mathbb {Q}$ av finit grad n , är $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ alltid en produkt av fält som är isomorfa till $\mathbb {R}$ eller $\mathbb {C}$ . De totalt reella talfälten är de för vilka endast reella fält förekommer: i allmänhet finns r ₁ reella och r ₂ komplexa fält, med r ₁ + 2 r ₂ = n som man ser genom att räkna dimensioner. Fältfaktorerna är i 1–1 överensstämmelse med de verkliga inbäddningarna och paren av komplexa konjugerade inbäddningar, som beskrivs i den klassiska litteraturen.

Denna idé gäller även $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p},$ där $\mathbb {Q}$ _p är fält av p -adiska tal . Detta är en produkt av finita förlängningar av $\mathbb {Q}$ _p , i 1–1 överensstämmelse med kompletteringarna av K för förlängningar av p -adic-måttet på $\mathbb {Q}$ .

Konsekvenser för Galois teori

Detta ger en allmän bild, och faktiskt ett sätt att utveckla Galois teori (i enlighet med linjer som utnyttjas i Grothendiecks Galois teori) . Det kan visas att för separerbara tillägg är radikalen alltid {0}; därför är Galois teorifall det halvenkla , av produkter av fält enbart.

Se även

Förlängning av skalärer — tensorprodukt av en fältförlängning och ett vektorutrymme över det fältet

Anteckningar

"Compositum of field extensions" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Kempf, George R. (2012) [1995]. "9.2 Nedbrytning av tensorprodukter från fält" . Algebraiska strukturer . Springer. s. 85–87. ISBN 978-3-322-80278-1 .
Milne, JS (18 mars 2017). Algebraisk talteori (PDF) . sid. 17. 3.07.
Stein, William (2004). "En kort introduktion till klassisk och adelisk algebraisk talteori" ( PDF) . s. 140–2.
Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975) [1958]. Kommutativ algebra I . Examentexter i matematik. Vol. 28. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90089-6 . MR 0090581 .

externa länkar

MathOverflow-tråd om definitionen av linjär disjointness