Dirichlets enhetssats

I matematik är Dirichlets enhetssats ett grundläggande resultat i algebraisk talteori på grund av Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Den bestämmer rangordningen för gruppen av enheter i ringen O _K av algebraiska heltal i ett talfält K . Regulatorn " täta" enheterna är.

Påståendet är att gruppen av enheter är ändligt genererad och har rang (maximalt antal multiplikativt oberoende element) lika med

r = r ₁ + r ₂ − 1

där r ₁ är antalet reella inbäddningar och r ₂ antalet konjugerade par av komplexa inbäddningar av K . Denna karaktärisering av r ₁ och r ₂ är baserad på idén att det kommer att finnas lika många sätt att bädda in K i det komplexa talfältet som graden $n=[K:\mathbb {Q } ]$ ; dessa kommer antingen att vara i de reella talen , eller par av inbäddningar relaterade till komplex konjugering , så att

n = ri 2 r2 _{. _} +

Observera att om K är Galois över $\mathbb {Q}$ så är antingen r ₁ = 0 eller r ₂ = 0 .

Andra sätt att bestämma r ₁ och r ₂ är

• använd primitiva elementsatsen för att skriva ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )} ,$ och då är r ₁ antalet konjugat av α som är reella, 2 r ₂ talet som är komplexa; med andra ord, om f är det minimala polynomet av α över $\mathbb {Q}$ , då är r ₁ antalet reella rötter och 2r ₂ är antalet icke-reala komplexa rötter av f (som kommer i komplexa konjugerade par);
• skriv tensorprodukten av fält $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ som en produkt av fält, det finns r ₁ kopior av $\mathbb {R }$ och r ₂ kopior av $\mathbb {C}$ .

Som ett exempel, om K är ett kvadratiskt fält , är rangordningen 1 om det är ett verkligt kvadratiskt fält och 0 om ett imaginärt kvadratiskt fält. Teorin för verkliga kvadratiska fält är i huvudsak teorin om Pells ekvation .

Rangordningen är positiv för alla talfält förutom $\mathbb {Q}$ och imaginära kvadratiska fält, som har rang 0. 'Storleken' på enheterna mäts i allmänhet av en determinant som kallas regulatorn. I princip kan ett underlag för enheterna effektivt beräknas; i praktiken är beräkningarna ganska involverade när n är stort.

Vridningen i gruppen av enheter är mängden av alla rötter av enhet av K , som bildar en ändlig cyklisk grupp . För ett talfält med minst en verklig inbäddning måste torsionen därför endast vara {1,−1} . Det finns talfält, till exempel de flesta imaginära kvadratiska fält , som inte har några riktiga inbäddningar som också har {1,−1} för vridningen av dess enhetsgrupp.

Helt verkliga fält är speciella med avseende på enheter. Om L / K är en finit förlängning av talfält med grad större än 1 och enhetsgrupperna för heltal L och K har samma rangordning, så är K helt reell och L är en totalt komplex kvadratisk förlängning. Det omvända gäller också. (Ett exempel är K lika med rationalerna och L lika med ett imaginärt kvadratiskt fält; båda har enhetsrankning 0.)

Satsen gäller inte bara för den maximala ordningen O _K utan för vilken ordning som helst O ⊂ O _K .

Det finns en generalisering av enhetssatsen av Helmut Hasse (och senare Claude Chevalley ) för att beskriva strukturen för gruppen av S -enheter , som bestämmer enhetsgruppens rangordning i lokaliseringar av ringar av heltal. Dessutom Galois- modulstrukturen för $\mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ blivit fast besluten.

Regulatorn

Antag att K är ett talfält och $u_{1},\dots ,u_{r}$ är en uppsättning generatorer för enhetsgruppen av K modulo rötter av enhet. Det kommer att finnas r + 1 arkimediska platser av K , antingen verkliga eller komplexa. För $u\in K$ , skriv $u^{(1)},\dots ,u^{(r+1)}$ för de olika inbäddningarna i $\mathbb {R}$ eller $\mathbb {C}$ och sätt N _j till 1 eller 2 om motsvarande inbäddning är reell respektive komplex. Sedan r × ( r + 1) matrisen

$$\left(N_{j}\log \left|u_{i}^ {(j)}\right|\right)_{i=1,\dots ,r,\;j=1,\dots ,r+1}$$

har egenskapen att summan av en rad är noll (eftersom alla enheter har norm 1, och loggen för normen är summan av posterna i en rad). Detta innebär att det absoluta värdet R för determinanten för submatrisen som bildas genom att ta bort en kolumn är oberoende av kolumnen. Talet R kallas regulatorn för det algebraiska talfältet (det beror inte på valet av generatorer u _i ). Den mäter enheternas "densitet": om regulatorn är liten betyder det att det finns "massor" av enheter.

Regulatorn har följande geometriska tolkning. Kartan tar en enhet u till vektorn med poster ${\textstyle N_{j}\log \left|u^{(j)}\right|}$ har en bild i det r -dimensionella underrummet av $\mathbb {R} ^{r+1 }$ bestående av alla vektorer vars poster har summan 0, och enligt Dirichlets enhetssats är bilden ett gitter i detta delrum. Volymen för en fundamental domän i detta gitter är $R{\sqrt {r+1}}$ .

Regulatorn för ett algebraiskt talfält av grad större än 2 är vanligtvis ganska besvärligt att beräkna, även om det nu finns datoralgebrapaket som kan göra det i många fall. Det är vanligtvis mycket lättare att beräkna produkten hR för klassnumret h och regulatorn med klassnummerformeln , och den största svårigheten med att beräkna klassnumret för ett algebraiskt talfält är vanligtvis beräkningen av regulatorn.

Exempel

En fundamental domän i logaritmiskt utrymme för gruppen av enheter i det cykliska kubiska fältet K som erhålls genom att angränsa till $\mathbb {Q}$ en rot av f ( x ) = x ³ + x ² − 2 x − 1 . Om α betecknar en rot av f ( x ) , så är en uppsättning grundläggande enheter { ε ₁ , ε ₂ } , där ε ₁ = α ² + α − 1 och ε ₂ = 2 − α ² . Arean för den fundamentala domänen är ungefär 0,910114, så regulatorn för K är ungefär 0,525455.

• Regulatorn för ett imaginärt kvadratiskt fält , eller för de rationella heltalen, är 1 (eftersom determinanten för en 0 × 0 matris är 1).
• Regulatorn för ett verkligt kvadratiskt fält är logaritmen för dess grundenhet : till exempel är den för ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$${ \textstyle \log {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ log . Detta kan ses på följande sätt. En grundläggande enhet är $textstyle {\sqrt {5}}+1/2}$$\textstyle {\sqrt {5}}+1/2}$ , och dess bilder under de två inbäddningarna i $displaystyle \mathbb {R}$ är ${$$\textstyle -{\sqrt {5}}+1/2}$ − . Så r × ( r + 1) matrisen är
  $$\left[1\times \log \left|{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|,\quad 1\times \log \left|{\frac { -{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|\ \right].$$
• Regulatorn för det cykliska kubiska fältet ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )} ,$ där α är en rot av x ³ + x ² − 2 x − 1 , är ungefär 0,5255. En bas för gruppen enheters modulo rötter av enhet är { ε ₁ , ε ₂ } där ε ₁ = α ² + α − 1 och ε ₂ = 2 − α ² .

Högre regulatorer

En 'högre' regulator avser en konstruktion för en funktion på en algebraisk K -grupp med index n > 1 som spelar samma roll som den klassiska regulatorn gör för gruppen av enheter, som är en grupp K ₁ . En teori om sådana regulatorer har varit under utveckling, med arbete av Armand Borel och andra. Sådana högre regulatorer spelar en roll, till exempel i Beilinsons gissningar , och förväntas förekomma i utvärderingar av vissa L -funktioner vid heltalsvärden för argumentet. Se även Beilinson regulator .

Stark regulator

Formuleringen av Starks gissningar ledde till att Harold Stark definierade vad som nu kallas Stark-regulatorn , liknande den klassiska regulatorn som en bestämningsfaktor för logaritmer av enheter, kopplade till vilken Artin-representation som helst .

p -adic regulator

Låt K vara ett talfält och för varje primtal P av K ovanför något fast rationellt primtal p , låt UP beteckna _. UP _de lokala enheterna vid P och låt U 1 _{, P} beteckna undergruppen av huvudenheter i Uppsättning

$$U_{1}=\prod _{P|p}U_{1,P}.$$

Låt sedan E ₁ beteckna uppsättningen av globala enheter ε som mappar till U ₁ via den diagonala inbäddningen av de globala enheterna i E .

Eftersom E ₁ är en finitindex- undergrupp av de globala enheterna, är det en abelsk grupp med rang r ₁ + r ₂ − 1 . Den p -adiska regulatorn är determinanten för matrisen som bildas av de p -adiska logaritmerna för generatorerna i denna grupp. Leopoldts gissning säger att denna determinant är icke-noll.

Se även

• Elliptisk enhet
• Cyklotomisk enhet
• Shintanis enhetssats

Anteckningar

•     Cohen, Henri (1993). En kurs i beräkningsalgebraisk talteori . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 138. Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-55640-4 . MR 1228206 . Zbl 0786.11071 .
• Elstrodt, Jürgen (2007). "Gustav Lejeune Dirichlets liv och arbete (1805–1859)" ( PDF) . Clay Mathematics Proceedings . Hämtad 2010-06-13 .
•    Lang, Serge (1994). Algebraisk talteori . Examentexter i matematik. Vol. 110 (andra upplagan). New York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94225-4 . Zbl 0811.11001 .
•     Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
•     Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4 , MR 1737196 , Zbl 0948.11001