Del Pezzo yta
Inom matematik är en del Pezzo-yta eller Fano-yta en tvådimensionell Fano-variant , med andra ord en icke-singular projektiv algebraisk yta med riklig antikanonisk divisorklass . De är i någon mening motsatsen till ytor av allmän typ , vars kanoniska klass är stor.
De är uppkallade efter Pasquale del Pezzo som studerade ytorna med det mer restriktiva villkoret att de har en mycket riklig antikanonisk divisorklass, eller på hans språk ytorna med en grad n inbäddning i n -dimensionellt projektivt rum ( del Pezzo 1887 ), vilket är del Pezzo-ytorna med minst 3 grader.
Klassificering
En del Pezzo-yta är en komplett icke-singular yta med gott om antikanoniskt knippe. Det finns några varianter av denna definition som ibland används. Ibland tillåts del Pezzo-ytor att ha singulariteter. De antogs ursprungligen vara inbäddade i projektivt utrymme genom den antikanoniska inbäddningen, vilket begränsar graden till minst 3.
Graden d för en del Pezzo-yta X är per definition självskärningsnumret ( K , K ) för dess kanoniska klass K.
Varje kurva på en del Pezzo-yta har självskärningsnummer minst −1. Antalet kurvor med självskärningsnummer −1 är ändligt och beror endast på graden (om inte graden är 8).
En (−1)-kurva är en rationell kurva med självskärningsnummer −1. För d > 2 är bilden av en sådan kurva i projektivt utrymme under den anti-kanoniska inbäddningen en linje.
Utblåsningen av en (−1)-kurva på en del Pezzo - yta är en del Pezzo-yta på grad 1 mer. Utblåsningen graden är större än 2. När graden är 2, måste lägga till villkoret att punkten inte fixeras av Geiser-involutionen, associerad med den anti-kanoniska morfismen.
Del Pezzo bevisade att en del Pezzo-yta har grad d som högst 9. Över ett algebraiskt slutet fält är varje del Pezzo-yta antingen en produkt av två projektiva linjer (med d =8), eller sprängningen av ett projektivt plan i 9 − d punkter utan tre kolinjära, inga sex på en konisk , och ingen åtta av dem på en kubik med en nod vid en av dem. Omvänt är varje sprängning av planet i punkter som uppfyller dessa villkor en del Pezzo-yta.
Picardgruppen för en del Pezzo-yta av grad d är det udda unimodulära gittret I 1,9− d , förutom när ytan är en produkt av 2 linjer när Picardgruppen är det jämna unimodulära gittret II 1,1 . ett udda gitter, det kanoniska elementet är (3, 1, 1, 1, ....), och de exceptionella kurvorna representeras av permutationer av alla utom den första koordinaten av följande vektorer:
- (0, −1, 0, 0, ....) de exceptionella kurvorna för de uppblåsta punkterna,
- (1, 1, 1, 0, 0, ...) linjer genom 2 punkter,
- (2, 1, 1, 1, 1, 1, 0, ...) koniska genom 5 punkter,
- (3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, ...) kubik genom 7 punkter med en dubbelpunkt på en av dem,
- (4, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1) kvarts till 8 punkter med dubbla punkter på tre av dem,
- (5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1) quintics genom 8 poäng med dubbla poäng på alla utom två av dem,
- (6, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2) sextik genom 8 poäng med dubbla poäng alls förutom en enda poäng med multiplicitet tre.
Exempel
Grad 1: de har 240 (−1)-kurvor som motsvarar rötterna i ett E 8 rotsystem. De bildar en 8-dimensionell familj. Den antikanoniska divisorn är inte särskilt omfattande. Det linjära systemet |−2 K | definierar en grad 2-karta från del Pezzo-ytan till en kvadratisk kon i P3 , grenad över en icke-singular släkte 4-kurva utskuren av en kubisk yta.
Grad 2: de har 56 (−1)-kurvor som motsvarar de minuskulära vektorerna för dualen av E 7 -gittret. De bildar en 6-dimensionell familj. Den antikanoniska divisorn är inte särskilt omfattande, och dess linjära system definierar en karta från del Pezzos yta till det projektiva planet, grenad över en kvartsplanskurva . Denna karta är generellt sett 2 till 1, så denna yta kallas ibland ett del Pezzo-dubbelplan. De 56 linjerna i del Pezzos yta kartläggs i par till de 28 bitangenterna i en kvarts .
Grad 3: dessa är väsentligen kubiska ytor i P 3 ; den kubiska ytan är bilden av den antikanoniska inbäddningen. De har 27 (−1)-kurvor som motsvarar de minuskulära vektorerna för en coset i dualen av E 6 -gittret, vilka mappar till de 27 linjerna på den kubiska ytan. De bildar en 4-dimensionell familj.
Grad 4: dessa är i huvudsak Segre-ytor i P 4 , givna av skärningspunkten mellan två kvadriker. De har 16 (−1)-kurvor. De bildar en 2-dimensionell familj.
Grad 5: de har 10 (−1)-kurvor som motsvarar de minuskulära vektorerna för en coset i dualen av A 4 -gittret. Det finns upp till isomorfism bara en sådan yta, given genom att spränga det projektiva planet i 4 punkter utan 3 på en linje.
Grad 6: de har 6 (−1)-kurvor. Det finns upp till isomorfism bara en sådan yta, given genom att spränga det projektiva planet i 3 punkter som inte ligger på en linje. Rotsystemet är A 2 × A 1
Grad 7: de har 3 (−1)-kurvor. Det finns upp till isomorfism bara en sådan yta, given genom att spränga det projektiva planet i 2 distinkta punkter.
Grad 8: de har 2 isomorfismtyper. Den ena är en Hirzebruch-yta som ges av sprängningen av det projektiva planet vid en punkt, som har 1 (−1)-kurvor. Den andra är produkten av två projektiva linjer, vilket är den enda del Pezzo-ytan som inte kan erhållas genom att börja med det projektiva planet och spränga punkter. Dess Picard-grupp är det jämna 2-dimensionella unimodulära obestämda gittret II 1,1 , och den innehåller inga (−1)-kurvor.
Grad 9: Den enda grad 9 del Pezzo-ytan är P 2 . Dess antikanoniska inbäddning är grad 3 Veronese inbäddning i P 9 med hjälp av det linjära systemet av kubik.
Svaga del Pezzo-ytor
En svag del Pezzo-yta är en komplett icke-singular yta med antikanoniskt knippe som är nef och stort.
Utblåsningen av en (−1)-kurva på en svag del Pezzo-yta är en svag del Pezzo-yta på grad 1 mer. Utblåsningen av en punkt på en svag del Pezzo-yta är en svag del Pezzo-yta med grad 1 mindre, förutsatt att punkten inte ligger på en −2-kurva och graden är större än 1.
Varje kurva på en svag del Pezzo-yta har självskärningsnummer minst −2. Antalet kurvor med självskärningsnummer −2 är högst 9− d , och antalet kurvor med självskärningsnummer −1 är ändligt.
Se även
- del Pezzo, Pasquale (1885), "Sulle superficie dell'ordine n immerse negli spazi di n+1 dimensioni", Rend. Della R. Acc. Delle Scienze Fis. E Mat. Di Napoli
- del Pezzo, Pasquale (1887), "Sulle superficie dell'n mo ordine immerse nello spazio di n dimensioni", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 1 (1): 241–271, doi : 10.1007 / BF0302020797,4 S
- Dolgachev, Igor (2012), Klassisk algebraisk geometri. A modern view , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-01765-8 , MR 2964027
- Kollár, János; Smith, Karen E.; Corti, Alessio (2004), Rational and nearly rational varieties , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 92, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83207-6 , MR 2062787
- Manin, Yuri Ivanovich (1986), Cubic forms , North-Holland Mathematical Library, vol. 4 (2:a upplagan), Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-87823-6 , MR 0833513
- Nagata, Masayoshi (1960), "På rationella ytor. I. Irreducible curves of aritmetic genus 0 or 1", Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. En matematik. , 32 : 351-370, MR 0126443
- Semple, JG; Roth, L. (1985), Introduktion till algebraisk geometri , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, MR 0814690
| Nationalbibliotek | |
|---|---|
| Övrig | |
