Modulschema

Inom matematiken är ett modulschema ett modulrum som finns i den kategori av scheman som utvecklats av Alexander Grothendieck . Vissa viktiga modulproblem för algebraisk geometri kan lösas på ett tillfredsställande sätt med hjälp av enbart schemateori , medan andra kräver en viss utvidgning av konceptet "geometriska objekt" ( algebraiska utrymmen , algebraiska stackar av Michael Artin ).

Historia

Verk av Grothendieck och David Mumford (se geometrisk invariantteori ) öppnade upp detta område i början av 1960-talet. Det mer algebraiska och abstrakta tillvägagångssättet för modulproblem är att ställa in dem som en representativ funktionsfråga, och sedan tillämpa ett kriterium som pekar ut de representerbara funktionerna för scheman. När detta programmatiska tillvägagångssätt fungerar är resultatet ett fint modulschema . Under inflytande av mer geometriska idéer räcker det att hitta ett schema som ger de korrekta geometriska punkterna . Detta är mer som den klassiska idén att modulproblemet är att uttrycka den algebraiska strukturen som naturligt kommer med en uppsättning (säg isomorfismklasser av elliptiska kurvor) .

Resultatet är då ett grovt modulschema . Dess brist på förfining är, grovt sett, att den inte garanterar för familjer av objekt vad som är inneboende i det fina moduli-schemat. Som Mumford påpekade i sin bok Geometric Invariant Theory kanske man vill ha den fina versionen, men det finns ett tekniskt problem ( nivåstruktur och andra 'markeringar') som måste åtgärdas för att få en fråga med en chans att ha en sådan svar.

Teruhisa Matsusaka bevisade ett resultat, nu känt som Matsusakas stora teorem , som etablerade ett nödvändigt villkor för ett modulproblem för att det skulle finnas ett grovt modulschema.

Exempel

Mumford bevisade att om g > 1 finns det ett grovt modulschema av släta kurvor av släktet g , vilket är kvasiprojektivt . Enligt en nyligen genomförd undersökning av János Kollár har den "en rik och spännande inneboende geometri som är relaterad till viktiga frågor inom många grenar av matematik och teoretisk fysik." Braungardt har ställt frågan om Belyis sats kan generaliseras till varianter av högre dimension över fältet av algebraiska tal , med formuleringen att de i allmänhet är birational till en finit étale som täcker ett modulrum av kurvor.

Genom att använda begreppet stabil vektorbunt har grova modulscheman för vektorbuntarna på vilken som helst jämn komplex variant visats existera och vara kvasiprojektiv: uttalandet använder begreppet semistabilitet . Det är möjligt att identifiera det grova modulutrymmet för speciella instantonbuntar , i matematisk fysik, med objekt i den klassiska koniska geometrin, i vissa fall.

• "Moduli-teori" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]