Vägt projektivt utrymme

₀ ₀ ₀ I algebraisk geometri är ett viktat projektivt utrymme P ( a ,..., a _n ) den projektiva varieteten Proj ( k [ x ,..., x _n ]) associerad med den graderade ringen k [ x ,..., x _n ] där variabeln x _k har graden a _k .

Egenskaper

₀₀ Om d är ett positivt heltal så är P ( a , a ₁ , ..., a _n ) isomorft till P ( da , da ₁ ,..., da _n ). Detta är en egenskap hos Proj -konstruktionen ; geometriskt motsvarar det d -tuple Veronese inbäddning . Så utan förlust av generalitet kan man anta att graderna a _i inte har någon gemensam faktor.
₀₀₀ Antag att a , a ₁ ,..., a _n inte har någon gemensam faktor, och att d är en gemensam faktor för alla a _i med i ≠ j , då P ( a , a ₁ ,..., a _n ) är isomorf till P ( a /d,..., a _j-1 /d, a _j , a _j+1 /d,..., a _n /d) (observera att d är coprime till a _j ; annars isomorfismen håller inte). Så man kan vidare anta att varje uppsättning av n variabler a _i inte har någon gemensam faktor. I det här fallet kallas det viktade projektiva utrymmet välformat .
De enda singulariteterna av viktat projektivt utrymme är cykliska kvotsingulariteter.
Ett viktat projektivt utrymme är en Q- Fano-variant och en torisk variant .
₀₀ Det viktade projektiva rummet P ( a , a ₁ ,..., a _n ) är isomorft till kvoten av projektivt rymd av gruppen som är produkten av grupperna av rötter av enhet av ordningar a , a ₁ ,... , a _n agerar diagonalt.

Dolgachev, Igor (1982), "Weighted projective varieties", Gruppåtgärder och vektorfält (Vancouver, BC, 1981) , Lecture Notes in Math., vol. 956, Berlin: Springer, s. 34–71, CiteSeerX 10.1.1.169.5185 , doi : 10.1007/BFb0101508 , ISBN 978-3-540-11946-3 , MR 670
Hosgood, Timothy (2016), En introduktion till sorter i viktat projektivt utrymme , arXiv : 1604.02441 , Bibcode : 2016arXiv160402441H
Reid, Miles (2002), Graderade ringar och sorter i viktat projektivt utrymme (PDF)