Higgs prime

Ett Higgs primtal , uppkallat efter Denis Higgs , är ett primtal med en totient (en mindre än primtal) som jämnt delar kvadraten av produkten av de mindre Higgs primtal. (Detta kan generaliseras till kuber, fjärde potenser etc.) För att uttrycka det algebraiskt, givet en exponent a , uppfyller Higgs primtal Hp _n

\phi (Hp_{n})|\prod _{i=1}^{n-1}{Hp_{ i}}^{a}{\mbox{ och }}Hp_{n}>Hp_{n-1}

där Φ( x ) är Eulers totientfunktion .

För rutor är de första Higgs-primtalen 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 43 , 47 , ... (sekvens A007459 i OEIS ). Så till exempel är 13 ett Higgs-primtal eftersom kvadraten på produkten av de mindre Higgs-primtalen är 5336100, och dividerat med 12 är detta 444675. Men 17 är inte ett Higgs-primtal eftersom kvadraten på produkten av de mindre primtalen är 901800900, vilket lämnar en rest av 4 när de divideras med 16.

Från observation av de första Higgs primtal för kvadrater till sjunde potenser, verkar det mer kompakt att lista de primtal som inte är Higgs primtal:

Exponent	75:e Higgs prime	Inte Higgs prime under 75:e Higgs prime
2	797	17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251. 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499. 01, 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773
3	509	17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 443, 749,
4	409	97, 193, 257, 353, 389
5	389	193, 257
6	383	257
7	383	257

Observation avslöjar vidare att ett Fermat-primtal $2^{2^{n}}+1$ inte kan vara ett Higgs-primtal för a- potensen om a är mindre än 2 ⁿ .

Det är inte känt om det finns oändligt många Higgs-primtal för någon exponent som är större än 1. Situationen är helt annorlunda för a = 1. Det finns bara fyra av dem: 2, 3, 7 och 43 (en sekvens som misstänkt liknar Sylvesters sekvens ). Burris & Lee (1993) fann att ungefär en femtedel av primtal under en miljon är Higgs primtal, och de drog slutsatsen att även om sekvensen av Higgs primtal för kvadrater är ändlig, "är en datoruppräkning inte möjlig."

Burris, S.; Lee, S. (1993). "Tarskis gymnasieidentiteter". Amer. Matematik. Månadsvis . 100 (3): 231–236 [s. 233]. doi : 10.1080/00029890.1993.11990393 . JSTOR 2324454 .
Sloane, N.; Plouffe, S. (1995). The Encyclopedia of Integer Sequences . New York: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2 . M0660

Primtalsklasser _
Med formeln	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Dubbel Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Faktoriell ( $n!\pm1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euklid ( $p n # + 1$ ) Pythagoras ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot 3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot 2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot 2 n - 1$ ) Kubansk ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Efter heltalssekvens	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin Skiljeväggar klocka Motzkin
Efter egendom	Wieferich ( par ) Vägg–Sun–Sol Wolstenholme Wilson Tur Lyckligt lottad Ramanujan Pillai Regelbunden Stark Akter Supersingular (elliptisk kurva) Supersingular (månskensteori) Bra Super Higgs Mycket kototient Unik
Basberoende _	Palindromisk Emirp Återförena $(10 n - 1)/9$ Permutable Cirkulär Avkortbar Minimal Delikat Urtida Fullt ångra sig Unik Lycklig Själv Smarandache–Wellin Strobogrammatisk Dihedral tetradisk
Mönster	Tvilling ( $p, p + 2$ ) Bi-twin kedja ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplett ( $p, p + 2 eller p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k -tuppel Kusin ( $p, p + 4$ ) Sexig ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Aritmetisk progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanserad ( $p - n i följd , p, p + n$ )
Efter storlek	Mega (1 000 000+ siffror) Största kända lista
Komplexa tal	Eisenstein prime Gaussisk primtal
Sammansatta siffror	Pseudoprime katalanska Elliptisk Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Somer–Lucas Stark Carmichael nummer Nästan prime Semiprime Interprime Fördärvlig
Relaterade ämnen	Sannolikt primtal Industriell prime Olaglig prime Formel för primtal Prime gap
Första 60 primtal	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Lista över primtal