Pythagoras primtal

"Pythagoreiskt nummer" omdirigerar hit. För fältinvarianten relaterad till summor av kvadrater, se Pythagoras tal .

Pythagoras primtal 5 och dess kvadratrot är båda hypotenusor av räta trianglar med heltalsben. Formlerna visar hur man omvandlar vilken rätvinklig triangel som helst med heltalsben till en annan rätvinklig triangel med heltalsben vars hypotenusa är kvadraten på den första triangelns hypotenusa.

Ett pythagoras primtal är ett primtal av formen $4n+1$ . Pythagoras primtal är exakt de udda primtal som är summan av två kvadrater; denna karakterisering är Fermats sats om summan av två kvadrater .

På motsvarande sätt, enligt Pythagoras sats , är de de udda primtalen $p$ för vilka ${\sqrt {p}}$ är längden på hypotenusan i en rätvinklig triangel med heltalsben, och de är även primtalen $p$ för vilka $p$ i sig är hypotenusan av en primitiv pytagoreisk triangel . Till exempel är siffran 5 ett Pythagoras primtal; ${\sqrt {5}}$ är hypotenusan för en rätvinklig triangel med benen 1 och 2, och 5 i sig är hypotenusan av en rätvinklig triangel med benen 3 och 4.

Värden och täthet

De första få Pythagoras primtal är

5 , 13 , 17 , 29 , 37 , 41 , 53 , 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 , 113 , ... (sekvens A002144 i OEIS ).

Enligt Dirichlets teorem om aritmetiska progressioner är denna sekvens oändlig. Mer starkt, för varje $n$ är antalet pytagoreiska och icke-pytagoreiska primtal upp till $n$ ungefär lika. Emellertid är antalet pytagoreiska primtal upp till $n$ ofta något mindre än antalet icke-pytagoreiska primtal; detta fenomen är känt som Chebyshevs partiskhet . Till exempel, de enda värdena på $n$ upp till 600000 för vilka det finns fler pytagoreiska än icke-pytagoreiska udda primtal mindre än eller lika med n är 26861 och 26862.

Representation som summan av två kvadrater

Summan av en udda kvadrat och en jämn kvadrat är kongruent med 1 mod 4, men det finns sammansatta tal som 21 som är 1 mod 4 och som ändå inte kan representeras som summor av två kvadrater. Fermats sats om summan av två kvadrater säger att primtalen som kan representeras som summan av två kvadrater är exakt 2 och de udda primtalen kongruenta med 1 mod 4. Representationen av varje sådant tal är unik, upp till ordningen av de två rutor.

Genom att använda Pythagoras sats kan denna representation tolkas geometriskt: Pythagoras primtal är exakt de udda primtalen $p$ så att det finns en rätvinklig triangel , med heltalsben, vars hypotenusa har längden ${\ sqrt {p}}$ . De är också exakt primtalen $p$ så att det finns en rätvinklig triangel med heltalssidor vars hypotenusa har längden $p$ . För, om triangeln med benen $x$ och $y$ har hypotenuslängden ${\sqrt {p}}$ (med $x>y$ ), då triangeln med benen $x^{2}-y^{2}$ och $2xy$ har hypotenusalängden p $\displaystyle p}$ .

Ett annat sätt att förstå denna representation som en summa av två kvadrater involverar Gaussiska heltal , de komplexa talen vars reella del och imaginära del båda är heltal. Normen för ett Gaussiskt heltal $x+iy$ är talet $x^{2}+y^{2}$ . Således förekommer de pythagoras primtal (och 2) som normer för Gaussiska heltal, medan andra primtal inte gör det. Inom de Gaussiska heltal anses de pythagoriska primtalen inte vara primtal, eftersom de kan faktoriseras som

$$p=(x+iy)(x-iy).$$

På samma sätt kan deras kvadrater faktoriseras på ett annat sätt än deras heltalsfaktorisering , som

$${\begin{aligned}p^{2}&=(x+iy)^{2}(x-iy)^{2}\\&=(x^{2}-y^{2} +2ixy)(x^{2}-y^{2}-2ixy).\\\end{aligned}}$$

De verkliga och imaginära delarna av faktorerna i dessa faktoriseringar är benlängderna för de räta trianglarna med de givna hypotenuserna.

Kvadratiska rester

Lagen om kvadratisk ömsesidighet säger att om $p$ och $q$ är distinkta udda primtal, varav åtminstone en är Pythagoras, så är $p$ en kvadratisk rest mod $q$ om och endast om $q$ är en kvadratisk rest mod $p$ ; däremot, om varken $p$ eller $q$ är Pythagoras, då är $p$ en kvadratisk restmod q $\displaystyle q}$ om och endast om $q$ är inte en kvadratisk restmod $p$ .

I det finita fältet $\mathbb {Z} /p$ med ${\displaystyle p} ett Pythagoras primtal,$ har polynomekvationen $x^{2}=-1$ två lösningar. Detta kan uttryckas genom att säga att $-1$ är en kvadratisk restmod p $\displaystyle p}$ . Däremot har denna ekvation ingen lösning i de finita fälten $\mathbb {Z} /p$ där $p$ är ett udda primtal men inte är Pythagoras.

Paley-grafen med 13 hörn

För varje Pythagoras primtal $p$ , finns det en Paley-graf med $p$ hörn, som representerar talen modulo ${\displaystyle p} ,$ med två tal intill i grafen om och endast om deras skillnad är en kvadratisk rest. Denna definition producerar samma närliggande relation oavsett i vilken ordning de två talen subtraheras för att beräkna deras skillnad, på grund av egenskapen hos Pythagoras primtal som − $\displaystyle -1}$ är en kvadratisk rest.

externa länkar

• Eaves, Laurence , "Pythagorean Primes: including 5, 13 and 137" , Numberphile , Brady Haran , arkiverad från originalet 2016-03-19 , hämtad 2013-04-02
• OEIS- sekvens A007350 (Där prime race 4n-1 vs. 4n+1 byter ledare)