Sexig prime

I talteorin är sexiga primtal primtal som skiljer sig från varandra med 6. Till exempel är talen 5 och 11 båda sexiga primtal, eftersom båda är primtal och 11 − 5 = 6 .

Termen "sexig prime" är en ordlek som härrör från det latinska ordet för sex: sex .

Om p + 2 eller p + 4 (där p är det lägre primtal) också är primtal, så är det sexiga primtal en del av en primtallstriplett . I augusti 2014 Polymath- gruppen, som sökte beviset för tvillingprimtalsförmodan, att om den generaliserade Elliott-Halberstam-förmodan bevisas, kan man visa att det finns oändligt många par av på varandra följande primtal som skiljer sig med högst 6 och som sådana är antingen tvilling , kusin eller sexig primtal.

Primorial n # notation

Ytterligare information: Primoral § Definition för naturliga tal

Som det används i den här artikeln står n # för produkten 2 · 3 · 5 · 7 · … av alla primtal ≤ n .

Typer av grupperingar

Sexiga prime par

De sexiga primtalen (sekvenserna OEIS : A023201 och OEIS : A046117 i OEIS ) under 500 är:

(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41) ,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109) ), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,232), (237,231), (237,) (257.263), (263.269), (271.277), (277.283), (307.313), (311.317), (331.337), (347.353), (353.359), (367.373), (373.39) ), (443,449), (457,463), (461,467).

I april 2022 hittades det största kända paret sexiga primtal av S. Batalov och har 51 934 siffror. Primerna är:

p = 11922002779 x (2 ¹⁷²⁴⁸⁶ - 2 ⁸⁶²⁴³ ) + 2 ⁸⁶²⁴⁵ - 5

p +6 = 11922002779 x (2 ¹⁷²⁴⁸⁶ - 2 ⁸⁶²⁴³ ) + 2 ⁸⁶²⁴⁵ + 1

Sexiga prime trillingar

Sexiga primtal kan utökas till större konstellationer. Trillingar av primtal ( p , p +6, p +12) så att p +18 är sammansatt kallas sexiga primtalstrillingar . De under 1 000 är ( OEIS : A046118 , OEIS : A046119 , OEIS : A046120 ):

(7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163) ) 7 653 659), (727 733 739), (941 947 953), (971,977,983).

I januari 2005 satte Ken Davis rekord för den största kända sexiga trillingen med 5132 siffror:

p = (84055657369 · 205881 · 4001# · (205881 · 4001# + 1) + 210) · (205881 · 4001# - 1) / 35 + 1.

I maj 2019 förbättrade Peter Kaiser detta rekord till 6 031 siffror:

p = 10409207693×2 ²⁰⁰⁰⁰ −1.

Gerd Lamprecht förbättrade rekordet till 6 116 siffror i augusti 2019:

p = 20730011943×14221#+344231.

Ken Davis förbättrade rekordet ytterligare med en 6 180 siffrig Brillhart-Lehmer-Selfridge bevisbar triplett i oktober 2019:

p = (72865897*809857*4801#*(809857*4801#+1)+210)*(809857*4801#-1)/35+1

Norman Luhn & Gerd Lamprecht förbättrade rekordet till 6 701 siffror i oktober 2019:

p = 22582235875×2 ²²²²⁴ +1.

Serge Batalov förbättrade rekordet till 15 004 siffror i april 2022:

p = 2494779036241x2 ⁴⁹⁸⁰⁰ +1.

Sexiga prime fyrlingar

Sexiga primtalsfyrlingar ( p , p +6, p +12, p +18) kan bara börja med primtal som slutar på en 1 i deras decimalrepresentation (förutom kvadrupletten med p = 5). De sexiga prime-fyrlingarna under 1000 är ( OEIS : A023271 , OEIS : A046122 , OEIS : A046123 , OEIS : A046124 ):

(5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653) ).

I november 2005 hade den största kända sexiga prime-fyrlingen, hittad av Jens Kruse Andersen, 1 002 siffror:

p = 411784973 · 2347# + 3301.

I september 2010 tillkännagav Ken Davis en 1 004-siffrig fyrling med p = 2 ³³³³ + 1582534968299.

I maj 2019 tillkännagav Marek Hubal en 1 138-siffrig fyrling med p = 1567237911 × 2677# + 3301.

I juni 2019 tillkännagav Peter Kaiser en 1 534-siffrig fyrling med p = 19299420002127 × 2 ⁵⁰⁵⁰ + 17233.

I oktober 2019 tillkännagav Gerd Lamprecht och Norman Luhn en 3 025-siffrig fyrling med p = 121152729080 × 7019#/1729 + 1.

Sexiga prime femlingar

I en aritmetisk progression av fem termer med gemensam skillnad 6, måste en av termerna vara delbar med 5, eftersom 5 och 6 är relativt primtal . Alla multiplar av 5 (förutom sig själva) kan dock inte vara primtal. Således är den enda sexiga prime kvintupletten (5,11,17,23,29); ingen längre sekvens av sexiga primtal är möjlig, eftersom att lägga till 6 till den sista siffran i uppsättningen av sexiga primtalskvintupletter (29) är lika med 35, vilket är ett sammansatt tal.

Se även

• Kusin primtal (två primtal som skiljer sig med 4)
• Prime k-tuppel
• Tvilling primtal (två primtal som skiljer sig med 2)

• Weisstein, Eric W. "Sexy Primes" . MathWorld . Hämtad 2007-02-28 (kräver komposit p +18 i en sexig prime triplett, men inga andra liknande begränsningar)

externa länkar

• Grime, James. Brady Haran (red.). "Sexy Primes (och den enda sexiga prime quintuplet)" . Numberphile . Arkiverad från originalet den 23 oktober 2018.