Reciproka av primtal

Primtalens ömsesidighet har varit av intresse för matematiker av olika anledningar. De har inte en ändlig summa , vilket Leonhard Euler bevisade 1737.

Liksom alla rationella tal har de reciproka av primtal upprepade decimalrepresentationer . Under sina senare år George Salmon (1819–1904) i de upprepade perioderna av dessa decimalrepresentationer av reciproka av primtal.

Samtidigt beräknade William Shanks (1812–1882) ett flertal ömsesidiga primtal och deras återkommande perioder och publicerade två artiklar "On Periods in the Reciprocals of Primes" 1873 och 1874. 1874 publicerade han också en tabell över primtal och perioderna. av deras ömsesidiga, upp till 20 000 (med hjälp från och "kommunicerade av pastor George Salmon"), och påpekade felen i tidigare tabeller av tre andra författare.

Den sista delen av Shanks 1874 års tabell över primtal och deras återkommande perioder. I den översta raden ska 6952 vara 6592 (felet är lätt att hitta, eftersom perioden för ett primtal p måste dividera p − 1 ). I sin rapport som utökade tabellen till 30 000 samma år rapporterade Shanks inte detta fel, utan rapporterade att i samma kolumn, mittemot 19841, borde 1984 vara 64. *Ett annat fel som kan ha korrigerats sedan hans arbete publicerades är mittemot 19423, det ömsesidiga upprepas var 6474:e siffra, inte var 3237:e siffra.

Regler för beräkning av perioderna för upprepade decimaler från rationella bråk gavs av James Whitbread Lee Glaisher 1878. För ett primtal p kommer perioden för dess reciproka att vara lika med eller kommer att dividera p − 1 .

Sekvensen av återkommande perioder för de reciproka primtalen (sekvens A002371 i OEIS ) visas i 1973 års Handbook of Integer Sequences.

Unika primtal

Ett primtal p ≠ 2, 5 kallas unikt om det inte finns något annat primtal q så att periodlängden för decimalexpansionen av dess reciproka , 1 / p , är lika med periodlängden för reciproken av q , 1 / q . Till exempel är 3 det enda primtal med period 1, 11 är det enda primtal med period 2, 37 är det enda primtal med period 3, 101 är det enda primtal med period 4, så de är unika primtal. Unika primtal beskrevs av Samuel Yates 1980.

För närvarande är mer än femtio unika primtal eller troliga primtal kända. Det finns dock bara tjugotre unika primtal under 10 ¹⁰⁰ . A040017 innehåller en lista med unika primtal och A007615 är de primtal som är ordnade efter periodlängd; A051627 innehåller perioder (ordnade efter motsvarande primtal) och A007498 innehåller perioder, sorterade, motsvarande A007615.

Från och med 2021 är återbetalningen (10 ^8177207 – 1)/9 det största kända troliga unika primtal.

1996 var det största bevisade unika primtal (10 ¹¹³² + 1)/10001 eller, med hjälp av notationen ovan, (99990000) ₁₄₁ + 1. Den har 1128 siffror. Rekordet har förbättrats många gånger sedan dess. Från och med 2021 är det största bevisade unika primtal ${\displaystyle \Phi _{11867}(-100)},$ den har 23732 siffror. Här $\Phi _{n}(b)$ det ${\displaystyle n} :$ e cyklotomiska polynomet utvärderat vid $b$ .

externa länkar

• Parker, Matt (14 mars 2022). "The reciprocals of Primes - Numberphile" . YouTube .