Prime k -tuppel

I talteorin är en primtal $k$ -tupel en ändlig samling värden som representerar ett repeterbart mönster av skillnader mellan primtal . För en $k$ - tuppel $(a, b, ... ) ges$ positionerna där $k$ - tuppel matchar ett mönster i primtalen av uppsättningen heltal $n$ så att alla värden $(n + a, n + b, \dots)$ är prime. Vanligtvis är det första värdet i $k$ -tupeln 0 och resten är distinkta positiva jämna tal .

Namngivna mönster

Flera av de kortaste k -tuplarna är kända under andra vanliga namn:

(0, 2)	tvillingprimtal
(0, 4)	kusin primtal
(0, 6)	sexiga primtal
(0, 2, 6), (0, 4, 6)	prime trillingar
(0, 6, 12)	sexiga prime trillingar
(0, 2, 6, 8)	prime quadruplets , prime decennium
(0, 6, 12, 18)	sexiga prime fyrlingar
(0, 2, 6, 8, 12), (0, 4, 6, 10, 12)	prime femlingar
(0, 4, 6, 10, 12, 16)	prime sextupletter

OEIS- sekvens OEIS : A257124 täcker 7-tupletter ( primära septupletter ) och innehåller en översikt över relaterade sekvenser, t.ex. de tre sekvenser som motsvarar de tre tillåtna 8-tupletterna ( primära oktupletter ), och föreningen av alla 8-tupletter. Den första termen i dessa sekvenser motsvarar det första primtal i den minsta primtalskonstellationen som visas nedan.

Tillåtlighet

För att en $k$ -tupel ska ha oändligt många positioner där alla dess värden är primtal, kan det inte existera ett primtal $p$ så att tupeln inkluderar alla olika möjliga värden modulo $p$ . För om ett sådant primtal $p$ existerade, så oavsett vilket värde på $n$ som valdes, skulle ett av värdena som bildas genom att addera $n$ till tupeln vara delbart med $p$ , så det kunde bara finnas ändligt många primtalsplaceringar (endast de som inkluderar $p$ sig). Till exempel kan siffrorna i en $k$ -tuppel inte anta alla tre värdena 0, 1 och 2 modulo 3; annars skulle de resulterande talen alltid inkludera en multipel av 3 och kan därför inte alla vara primtal om inte ett av talen är 3 i sig. En $k$ -tupel som uppfyller detta villkor (dvs. den har inte ett $p$ för vilket det täcker alla olika värden modulo $p$ ) kallas tillåtet .

Det antas att varje tillåten $k$ -tuppel matchar oändligt många positioner i primtalssekvensen. Det finns dock ingen tillåten tuppel för vilken detta har bevisats förutom 1-tupeln (0). Icke desto mindre, av Yitang Zhangs berömda bevis från 2013, följer att det finns minst en 2 -tupel som matchar oändligt många positioner; efterföljande arbete visade att någon 2-tupel existerar med värden som skiljer sig med 246 eller mindre som matchar oändligt många positioner.

Positioner matchade av otillåtna mönster

Även om (0, 2, 4) inte är tillåtet producerar det den enda uppsättningen av primtal, (3, 5, 7) .

Vissa otillåtna $k$ -tuplar har mer än en heltäckande lösning. Detta kan inte hända för en $k$ -tuppel som inkluderar alla värden modulo 3, så för att ha denna egenskap måste en $k$ -tupel täcka alla värden modulo ett större primtal, vilket innebär att det finns minst fem tal i tupeln. Den kortaste otillåtna tupeln med mer än en lösning är 5-tupeln (0, 2, 8, 14, 26), som har två lösningar: (3, 5, 11, 17, 29) och (5, 7, 13, 19, 31) , där alla värden mod 5 ingår i båda fallen.

Prime konstellationer

Diametern på en $k$ -tupel är skillnaden mellan dess största och minsta element . En tillåten prime $k$ -tupel med minsta möjliga diameter $d$ (bland alla tillåtna $k$ -tuples) är en prime konstellation . För alla $n \geq k$ kommer detta alltid att producera på varandra följande primtal. (Kom ihåg att alla $n$ är heltal för vilka värdena $(n + a, n + b, \dots)$ är primtal.)

Detta betyder att för stort $n$ :

p_{n+k-1}-p_{n}\geq d

där $p n$ är det $n:$ te primtalet.

De första prime konstellationerna är:

$k$	$d$	Konstellation	minsta
2	2	(0, 2)	(3, 5)
3	6	(0, 2, 6) (0, 4, 6)	(5, 7, 11) (7, 11, 13)
4	8	(0, 2, 6, 8)	(5, 7, 11, 13)
5	12	(0, 2, 6, 8, 12) (0, 4, 6, 10, 12)	(5, 7, 11, 13, 17) (7, 11, 13, 17, 19)
6	16	(0, 4, 6, 10, 12, 16)	(7, 11, 13, 17, 19, 23)
7	20	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20) (0, 2, 8, 12, 14, 18, 20)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31) (5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659)
8	26	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26) (0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26 )	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88811, 88811, 88811, 88811, 88811. )
9	30	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30) (0, 2, 6, 12, 14, 20 , 24, 26, 30) (0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (17, 19, 23, 29, 31, 37 , 41, 43, 47) (88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)

Diametern $d$ som funktion av $k$ är sekvens A008407 i OEIS .

En prime konstellation kallas ibland för en prime $k$ -tuplett , men vissa författare reserverar den termen för exempel som inte ingår i längre $k$ -tupletter.

Den första Hardy-Littlewood-förmodan förutsäger att den asymptotiska frekvensen av vilken primär konstellation som helst kan beräknas. Även om gissningen är obevisad anses den sannolikt vara sann. Om så är fallet, innebär det att den andra Hardy–Littlewood-förmodan däremot är falsk.

Prime aritmetiska progressioner

En primtal $k$ -tupel av formen $(0, n, 2 n, 3 n, \dots, (k - 1) n)$ sägs vara en primtal aritmetisk progression . För att en sådan $k$ -tupel ska klara tillåtlighetsprövningen måste $n$ vara en multipel av primoralen av $k$ .

Skedar siffror

Skewestalen för primtal k -tuplar är en utvidgning av definitionen av Skewes tal till primtal k -tuplar baserat på den första Hardy-Littlewood-förmodan ( Tóth (2019) ) . Låt $P=(p,\ p+i_{1},\ p+i_{2},\ \dots \ ,\ p+i_{k})$ betecknar ett primtal $k$ -tuppel, $\pi _{P}(x)$ antalet primtal $p$ under $x$ så att ${\displaystyle p,\ p+i_{1},\ p+i_{2},\ \dots \ ,\ p+i_{k}} är alla$ primtal , låt ${\textstyle \operatornamn {li} _{P}(x)=\int _{2}^{x}{\ frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}}$ och låt $C_{P}$ beteckna dess Hardy-Littlewood-konstant (se första Hardy-Littlewood-förmodan ). Sedan det första primtal $p$ som bryter mot Hardy-Littlewood-ojämlikheten för $k$ -tupeln $P$ , dvs.

\pi _{P}(p)>C_{P}\operatörsnamn {li} _{P}(p),

(om ett sådant primtal finns) är Skewes-talet för $P$ .

Tabellen nedan visar de för närvarande kända Skewes-talen för primtal k -tuplar:

Prime $k$ -tuppel	Skeves nummer	Hittade av
$(p,\ p+2)$	1369391	Wolf (2011)
$(p,\ p+4)$	5206837	Tóth (2019)
$(p,\ p+2,\ p+6)$	87613571	Tóth (2019)
$(p,\ p+4,\ p+6)$	337867	Tóth (2019)
$(p,\ p+2,\ p+6,\ p+8)$	1172531	Tóth (2019)
$(p,\ p+4,\ p+6,\ p+10)$	827929093	Tóth (2019)
$(p,\ p+2,\ p+6,\ p+8,\ p+12)$	21432401	Tóth (2019)
$(p,\ p+4,\ p+6,\ p+10,\ p+12)$	216646267	Tóth (2019)
$(p,\ p+4,\ p+6,\ p+10,\ p+12,\ p+16)$	251331775687	Tóth (2019)
$(p,\ p+2,\ p+6,\ p+8,\ p +12,\ p+18,\ p+20)$	7572964186421	Pfoertner (2020)
$(p,\ p+2,\ p+8,\ p+12,\ p +14,\ p+18,\ p+20)$	214159878489239	Pfoertner (2020)
$(p,\ p+2,\ p+6,\ p+ 8,\ p+12,\ p+18,\ p+20,\ p+26)$	1203255673037261	Pfoertner / Luhn (2021)
$(p,\ p+2,\ p+6,\ p+ 12,\ p+14,\ p+20,\ p+24,\ p+26)$	523250002674163757	Luhn / Pfoertner (2021)
$(p,\ p+6,\ p+8,\ p+ 14,\ p+18,\ p+20,\ p+24,\ p+26)$	750247439134737983	Pfoertner / Luhn (2021)

Skewes-talet (om det finns) för sexiga primtal $(p,\;p+6)$ är fortfarande okänt.

Tóth, László (2019), "On The Asymptotic Density Of Prime k-tuples and a Conjecture of Hardy and Littlewood" (PDF) , Computational Methods in Science and Technology , 25 (3), arXiv : 1910.02636 , doi : 10.1292 .2019.0000033 , S2CID 203836016 .
Wolf, Marek (2011), "The Skewes number for twin primes: counting sign change of π2(x) − C2Li2(x)" (PDF) , Computational Methods in Science and Technology , 17 : 87–92, doi : 10.12921/ cmst.2011.17.01.87-92 , S2CID 59578795 .

Primtalsklasser _
Med formeln	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Dubbel Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Faktoriell ( $n!\pm1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euklid ( $p n # + 1$ ) Pythagoras ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot 3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot 2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot 2 n - 1$ ) Kubansk ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Efter heltalssekvens	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin Skiljeväggar klocka Motzkin
Efter egendom	Wieferich ( par ) Vägg–Sun–Sol Wolstenholme Wilson Tur Lyckligt lottad Ramanujan Pillai Regelbunden Stark Akter Supersingular (elliptisk kurva) Supersingular (månskensteori) Bra Super Higgs Mycket kototient Unik
Basberoende _	Palindromisk Emirp Återförena $(10 n - 1)/9$ Permutable Cirkulär Avkortbar Minimal Delikat Urtida Fullt ångra sig Unik Lycklig Själv Smarandache–Wellin Strobogrammatisk Dihedral tetradisk
Mönster	Tvilling ( $p, p + 2$ ) Bi-twin kedja ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplett ( $p, p + 2 eller p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k -tuppel Kusin ( $p, p + 4$ ) Sexig ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Aritmetisk progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanserad ( $p - n i följd , p, p + n$ )
Efter storlek	Mega (1 000 000+ siffror) Största kända lista
Komplexa tal	Eisenstein prime Gaussisk primtal
Sammansatta siffror	Pseudoprime katalanska Elliptisk Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Somer–Lucas Stark Carmichael nummer Nästan prime Semiprime Interprime Fördärvlig
Relaterade ämnen	Sannolikt primtal Industriell prime Olaglig prime Formel för primtal Prime gap
Första 60 primtal	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Lista över primtal