Laplace–Beltrami operatör

I differentialgeometri är Laplace -Beltrami-operatorn en generalisering av Laplace-operatorn till funktioner som definieras på undergrenrör i det euklidiska rymden och, ännu mer allmänt, på riemannska och pseudo-riemannska grenrör . Den är uppkallad efter Pierre-Simon Laplace och Eugenio Beltrami .

För varje två gånger differentierbar realvärderad funktion f definierad på det euklidiska rymden Rn ^tar Laplace-operatorn (även känd som Laplacian ) f till divergensen av dess gradientvektorfält , vilket är summan av de n rena sekundderivatorna av f med avseende på varje vektor av en ortonormal bas för Rn ^. Liksom Laplacian definieras Laplace–Beltrami-operatorn som divergensen av gradienten och är en linjär operator som tar funktioner in i funktioner. Operatören kan utökas till att fungera på tensorer som divergensen av den kovarianta derivatan. Alternativt kan operatorn generaliseras till att arbeta på differentialformer med hjälp av divergensen och den yttre derivatan . Den resulterande operatorn kallas Laplace–de Rham-operatorn (uppkallad efter Georges de Rham ) .

Detaljer

Laplace–Beltrami-operatorn, liksom Laplacian, är divergensen av gradienten :

\Delta f=\nabla \cdot \nabla f.

En explicit formel i lokala koordinater är möjlig.

Antag först att M är ett orienterat Riemannmanifold . Orienteringen gör att man kan ange en bestämd volymform på M , given i ett orienterat koordinatsystem x ⁱ av

\operatorname {vol} _{n}:={\sqrt {|g|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}

var | g | := |det( g _ij )| är det absoluta värdet av determinanten för den metriska tensorn , och dx ⁱ är 1-formerna som bildar den dubbla ramen till ramen

\partial _{i}:={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}

av tangentbunten $TM}$ displaystyle och $\wedge$ är kilprodukten

Divergensen för ett vektorfält X på grenröret definieras sedan som den skalära funktionen med egenskapen

(\nabla \cdot X)\operatörsnamn {vol} _{n}:=L_{X}\operatörsnamn {vol} _{n}

där L _X är Lie-derivatan längs vektorfältet X . I lokala koordinater erhåller man

\nabla \cdot X={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g| }}X^{i}\right)

där Einstein-notationen här och nedan antyds, så att det upprepade indexet i summeras över.

Gradienten för en skalär funktion ƒ är vektorfältet grad f som kan definieras genom den inre produkten $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ på grenröret, som

\langle \operatörsnamn {grad} f(x),v_{x}\rangle =df(x)(v_{ x})

för alla vektorer v _x förankrade i punkt x i tangentrymden T _x M för grenröret i punkt x . Här d ƒ den yttre derivatan av funktionen ƒ; det är ett 1-forms argument v _x . I lokala koordinater har man

\left(\operatörsnamn {grad} f\right)^{i}=\partial ^{i}f=g^{ij} \partial _{j}f

där g ^ij är komponenterna i inversen av den metriska tensorn , så att g ^ij g _jk = δ ⁱ_k med δ ⁱ_k Kronecker deltat .

Genom att kombinera definitionerna av gradienten och divergensen är formeln för Laplace–Beltrami-operatorn som tillämpas på en skalär funktion ƒ i lokala koordinater

\Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}\partial _{ j}f\höger).

Om M inte är orienterad, så genomförs ovanstående beräkning exakt som presenterat, förutom att volymformen istället måste ersättas av ett volymelement ( en densitet snarare än en form). Varken gradienten eller divergensen beror faktiskt på valet av orientering, så Laplace-Beltrami-operatören själv är inte beroende av denna extra struktur.

Formell självtillhörighet

Den yttre derivatan d och −∇ . är formella adjoints, i den meningen att för ƒ en kompakt stödd funktion

\int _{M}df(X)\operatörsnamn {vol} _{n}=-\int _{M}f \nabla \cdot X\operatörsnamn {vol} _{n}

(bevis)

där den sista likheten är en tillämpning av Stokes sats . Dualisering ger

\int _{M}f\,\Delta h\,\operatörsnamn {vol} _{n}=-\int _{M}\langle df,dh\rangle \,\operatörsnamn {vol} _{n}

()

för alla kompakta funktioner ƒ och h . Omvänt kännetecknar () Laplace-Beltrami-operatören fullständigt, i den meningen att den är den enda operatören med denna egenskap.

Som en följd av detta är Laplace–Beltrami-operatören negativ och formellt självtillslutande, vilket betyder att för kompakt stödda funktioner ƒ och h ,

\int _{M}f\,\Delta h\operatörsnamn {vol} _{n}=-\int _{M}\langle df,dh\rangle \operatörsnamn {vol} _{n}=\ int _{M}h\,\Delta f\operatörsnamn {vol} _{n}.

Eftersom Laplace-Beltrami-operatorn, som den definieras på detta sätt, är negativ snarare än positiv, definieras den ofta med motsatt tecken.

Egenvärden för Laplace–Beltrami-operatorn (Lichnerowicz–Obata-satsen)

Låt M beteckna ett kompakt Riemann-grenrör utan gräns. Vi vill överväga egenvärdesekvationen,

-\Delta u=\lambda u,

där $u$ är egenfunktionen associerad med egenvärdet $\lambda$ . Det kan visas med hjälp av självadjointiteten som bevisats ovan att egenvärdena $\lambda$ är reella. Kompaktheten hos mångfalden $M$ gör att man kan visa att egenvärdena är diskreta och dessutom vektorrymden för egenfunktioner associerade med ett givet egenvärde $\lambda$ , dvs egenutrymmena är alla änddimensionella. Lägg märke till att genom att ta konstantfunktionen som en egenfunktion får vi $\lambda =0$ är ett egenvärde. Också eftersom vi har betraktat $-\Delta$ visar en integration av delar att $\lambda \geq 0$ . Mer exakt om vi multiplicerar egenvärdesekvationen med egenfunktionen $u$ och integrerar den resulterande ekvationen på $M$ får vi (med hjälp av notationen $dV=\operatörsnamn {vol} _{n}$ ):

-\int _{M}\Delta u\ u\ dV=\lambda \int _{M}u^{2}\ dV

Att utföra en integration med delar eller vad som är samma sak som att använda divergenssatsen på termen till vänster, och eftersom $M$ inte har någon gräns får vi

-\int _{M}\Delta u\ u\ dV=\int _{M}|\nabla u|^{2}\ dV

När vi sätter ihop de två sista ekvationerna kommer vi fram till

\int _{M}|\nabla u|^{2}\ dV=\lambda \int _{M}u^{2}\ dV

Vi drar slutsatsen från den sista ekvationen att $\lambda \geq 0$ .

Ett grundläggande resultat av André Lichnerowicz säger att: Givet ett kompakt n -dimensionellt Riemann-grenrör utan gräns med $n\geq 2$ . Antag att Ricci-kurvaturen uppfyller den nedre gränsen:

\operatorname {Ric} (X,X)\geq \kappa g(X,X),\kappa >0,

där $g(\cdot ,\cdot )$ är den metriska tensorn och $X$ är valfri tangentvektor på grenröret $M$ . Då uppfyller det första positiva egenvärdet $\lambda _{1}$ i egenvärdesekvationen den nedre gränsen:

\lambda _{1}\geq {\frac {n}{n-1}}\kappa .

Denna nedre gräns är skarp och uppnås på sfären $\mathbb {S} ^{n}$ . Faktum är att på ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} är$ egenrymden för $\lambda _{1}$ tredimensionell och sträcks över av begränsningen av koordinatfunktionerna $x_{1},x_{2},x_{3}$ från $\mathbb {R} ^{3}$ till $\mathbb {S} ^{2}$ . Med hjälp av sfäriska koordinater $(\theta ,\phi )$ , på $\mathbb {S} ^{2}$ sätts den tvådimensionella sfären in

x_{3}=\cos \phi =u_{1},

vi ser lätt från formeln för den sfäriska Laplacian som visas nedanför

-\Delta _{\mathbb {S} ^{2}}u_{1}=2u_{1}

Därmed uppnås den nedre gränsen i Lichnerowicz sats åtminstone i två dimensioner.

Omvänt bevisades det av Morio Obata, att om det n -dimensionella kompakta Riemannska grenröret utan gräns var sådant att man för det första positiva egenvärdet $\lambda _{1}$ har,

\lambda _{1}={\frac {n}{n-1}}\kappa ,

då är grenröret isometriskt till den n -dimensionella sfären ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}(1/{\sqrt {\kappa }})} ,$ sfären med radie $1/{\sqrt {\kappa }}$ . Bevis för alla dessa uttalanden kan hittas i boken av Isaac Chavel. Analoga skarpa gränser gäller även för andra geometrier och för vissa degenererade Laplacians förknippade med dessa geometrier som Kohn Laplacian ( efter Joseph J. Kohn) på en kompakt CR grenrör . Tillämpningar det finns för den globala inbäddningen av sådana CR-grenrör $\mathbb {C} ^{n}.$

Tensor Laplacian

Laplace–Beltrami-operatorn kan skrivas med hjälp av spåret (eller kontraktionen) av den itererade kovariantderivatan som är associerad med Levi-Civita-kopplingen. Hessian (tensor) för en funktion $f$ är den symmetriska 2-tensorn

\displaystyle {\mbox{Hess}}f\in \mathbf {\Gamma } ({\mathsf {T}}^{*}M\otimes { \mathsf {T}}^{*}M)

,

{\mbox{Hess}}f:=\nabla ^{2}f\ equiv \nabla \nabla f\equiv \nabla \mathrm {d} f

,

där df betecknar (exteriör) derivatan av en funktion f .

Låt X _i vara en bas för tangentvektorfält (inte nödvändigtvis inducerade av ett koordinatsystem). Därefter ges komponenterna i Hess f av

({\mbox{Hess}}f)_{ij}= {\mbox{Hess}}f(X_{i},X_{j})=\nabla _{X_{i}}\nabla _{X_{j}}f-\nabla _{\nabla _{X_{ i}}X_{j}}f

Detta kan lätt ses transformera tensoriellt, eftersom det är linjärt i vart och ett av argumenten X _i , X _j . Laplace–Beltrami-operatorn är då spåret (eller sammandragningen ) av hessian med avseende på måtten:

\displaystyle \Delta f:=\mathrm {tr} \nabla \mathrm {d} f\in {\mathsf {C}}^{\ infty }(M)

.

Mer exakt betyder detta

\displaystyle \Delta f(x)=\summa _{i=1}^{n}\nabla \mathrm { d} f(X_{i},X_{i})

,

eller i termer av måtten

\Delta f=\sum _{ij}g^{ij}({\mbox{Hess}}f)_{ij}.

I abstrakta index skrivs ofta operatorn

\Delta f=\nabla ^{a}\nabla _{a}f

förutsatt att det implicit förstås att detta spår i själva verket är spåret av den hessiska tensoren .

Eftersom den kovarianta derivatan sträcker sig kanoniskt till godtyckliga tensorer , definieras Laplace-Beltrami-operatorn på en tensor T av

\Delta T=g^{ij}\left(\nabla _{X_{i}}\nabla _ {X_{j}}T-\nabla _{\nabla _{X_{i}}X_{j}}T\höger)

är väldefinierad.

Laplace–de Rham operatör

Mer generellt kan man definiera en laplacisk differentialoperator på sektioner av bunten av differentialformer på ett pseudo-riemannskt grenrör . På ett Riemann-grenrör är det en elliptisk operator , medan det på ett Lorentz-grenrör är hyperboliskt . Operatören Laplace –de Rham definieras av

\Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2 },\;

där d är den yttre derivatan eller differentialen och δ är kodifferentialen , som fungerar som (−1) ^{kn + n +1} ∗d∗ på k -former, där ∗ är Hodge-stjärnan . Den första ordningens operatorn $\mathrm {d} +\delta$ är Hodge–Dirac-operatorn.

När vi beräknar Laplace–de Rham-operatorn på en skalär funktion f , har vi δf = 0 , så att

\Delta f=\delta \,\mathrm {d} f.

Upp till ett övergripande tecken är Laplace–de Rham-operatorn ekvivalent med den tidigare definitionen av Laplace–Beltrami-operatorn när den verkar på en skalär funktion; se beviset för detaljer. När det gäller funktioner är Laplace–de Rham-operatorn faktiskt det negativa av Laplace–Beltrami-operatorn, eftersom den konventionella normaliseringen av kodifferentialen säkerställer att Laplace–de Rham-operatorn är (formellt) positiv definitiv , medan Laplace–Beltrami-operatorn vanligtvis är negativ. Tecknet är bara en konvention, och båda är vanliga i litteraturen. Laplace–de Rham-operatorn skiljer sig mer signifikant från tensorn Laplacian begränsad till att verka på skevsymmetriska tensorer. Bortsett från det tillfälliga tecknet skiljer sig de två operatörerna med en Weitzenböck identitet som uttryckligen involverar Ricci curvature tensor .

Exempel

Många exempel på operatören Laplace–Beltrami kan utarbetas explicit.

Euklidiskt utrymme

I de vanliga (ortonormala) kartesiska koordinaterna x ⁱ på det euklidiska rummet reduceras metriken till Kroneckerdeltat, och man har därför $|g|=1$ . Följaktligen i detta fall

\Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}{\sqrt {|g|}}\partial ^ {i}f=\partial _{i}\partial ^{i}f

som är den vanliga Laplacian. I kurvlinjära koordinater , såsom sfäriska eller cylindriska koordinater , får man alternativa uttryck .

är Laplace–Beltrami-operatorn som motsvarar Minkowski-metriken med signatur (− + + +) d'Alembertian .

Sfärisk Laplacian

Den sfäriska Laplacian är Laplace-Beltrami-operatorn på ( n − 1) -sfären med dess kanoniska metrik av konstant tvärsnittskrökning 1. Det är bekvämt att betrakta sfären som isometriskt inbäddad i R ⁿ som enhetssfären centrerad vid origo. Sedan för en funktion f på S ^{n −1} definieras den sfäriska Laplacian av

\Delta _{S^{n-1}}f(x)=\Delta f(x/|x|)

där f ( x /| x |) är graden noll homogen förlängning av funktionen f till R ⁿ − {0}, och $\Delta$ är laplacian för det omgivande euklidiska rummet. Konkret antyds detta av den välkända formeln för den euklidiska Laplacian i sfäriska polära koordinater:

\Delta f=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{n-1}{\frac {\partial f}{\partial r} }\right)+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}f.

Mer generellt kan man formulera ett liknande knep med hjälp av den normala bunten för att definiera Laplace-Beltrami-operatören för varje Riemann-grenrör som är isometriskt inbäddat som en hyperyta av det euklidiska rummet.

Man kan också ge en inneboende beskrivning av Laplace–Beltrami-operatorn på sfären i ett normalt koordinatsystem . Låt ( ϕ , ξ ) vara sfäriska koordinater på sfären med avseende på en viss punkt p av sfären ("nordpolen"), det vill säga geodetiska polära koordinater med avseende på p . Här ϕ latitudmätningen längs en geodetisk enhetshastighet från p , och ξ en parameter som representerar valet av riktning för geodetiken i Sn ^{− 1} . Då har den sfäriska Laplacian formen:

\Delta _{S^{n-1}}f(\xi ,\phi )=(\sin \phi )^{2-n}{\frac {\partial }{\partial \phi }} \left((\sin \phi )^{n-2}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)+(\sin \phi )^{-2}\Delta _{\ xi }f

där $\Delta _{\xi }$ är Laplace–Beltrami-operatorn på den vanliga enheten ( n − 2) -sfären. I synnerhet för den vanliga 2-sfären som använder standardnotation för polära koordinater får vi:

\Delta _{S^{2}}f(\theta ,\phi )=(\sin \phi )^{-1}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left( \sin \phi {\frac {\partial f}{\partial \phi}}\right)+(\sin \phi )^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f

Hyperboliskt utrymme

En liknande teknik fungerar i hyperboliskt utrymme . Här kan det hyperboliska rymden Hn ^{formen −1} bäddas in i det n -dimensionella Minkowski-rummet , ett verkligt vektorrum utrustat med den kvadratiska

q(x)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}.

Då är H ⁿ delmängden av den framtida nollkonen i Minkowski-rymden som ges av

H^{n}=\{x\mid q(x)=1,x_{1}>1\}.\,

Sedan

\Delta _{H^{n-1}}f=\left.\Box f\left(x/q(x)^{1/2}\right)\right|_{ H^{n-1}}

Här är $f(x/q(x)^{1/2})$ graden noll homogen förlängning av f till det inre av den framtida nollkonen och $□$ är vågoperatören

\Box ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}-\cdots -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{ n}^{2}}}.

Operatören kan också skrivas i polära koordinater. Låt ( t , ξ ) vara sfäriska koordinater på sfären med avseende på en viss punkt p av H ^{n −1} (säg, mitten av Poincaré-skivan ). Här t det hyperboliska avståndet från p och ξ en parameter som representerar valet av riktning för geodetiken i S ^{n −2} . Då har den hyperboliska Laplacian formen:

\Delta _{H^{n-1}}f(t,\xi )=\sinh(t)^{2-n}{\frac {\partial }{\partial t}}\left( \sinh(t)^{n-2}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right)+\sinh(t)^{-2}\Delta _{\xi }f

där $\Delta _{\xi }$ är Laplace–Beltrami-operatorn på den vanliga enhetssfären ( n − 2). I synnerhet för det hyperboliska planet som använder standardnotation för polära koordinater får vi:

\Delta _{H^{2}}f(r,\theta )=\sinh(r)^{-1}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(\sinh( r){\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+\sinh(r)^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2} }}f

Se även

Anteckningar

Flanders, Harley (1989), Differentialformer med ansökningar till de fysiska vetenskaperna , Dover, ISBN 978-0-486-66169-8
Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2 .
Solomentsev, ED; Shikin, EV (2001) [1994], "Laplace–Beltramis ekvation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press