Harmonisk morfism

I matematik är en harmonisk morfism en (smidig) karta $\phi :(M^{m},g)\to (N^{n} ,h)$ mellan Riemannska grenrör som drar tillbaka verkliga övertonsfunktioner på koddomänen till övertonsfunktioner på domänen. Harmoniska morfismer bildar en speciell klass av harmoniska kartor, dvs de som är horisontellt (svagt) konforma.

I lokala koordinater, $x$ på $M$ och $y$ på $\displaystyle N} ,$ { uttrycks harmonisiteten för ${\displaystyle \phi } av det$ icke-linjära systemet

$\tau (\phi )=\sum _{i,j=1}^{m}g^{ij }\left({\frac {\partial ^{2}\phi ^{\gamma }}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-\sum _{k=1}^{m} {\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}{\frac {\partial \phi ^{\gamma }}{\partial x_{k}}}+\summa _{\alpha ,\beta = 1}^{n}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }\circ \phi {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x_{j}}}\right)=0,$

där $\phi ^{\alpha }=y_{\alpha }\circ \phi$ och ${\hat {\Gamma }},\Gamma$ är Christoffel -symbolerna på $M$ respektive $N$ . Den horisontella överensstämmelsen ges av

$\sum _{i,j=1}^{m}g^{ij}(x){\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x_{i}}}(x){\ frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x_{j}}}(x)=\lambda ^{2}(x)h^{\alpha \beta}(\phi (x)),$

där den konforma faktorn $\lambda :M\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ är en kontinuerlig funktion som kallas dilatationen . Harmoniska morfismer är därför lösningar på icke-linjära överbestämda system av partiella differentialekvationer , bestämt av geometriska data för de inblandade grenrören . Av denna anledning är de svåra att hitta och har ingen allmän existensteori, inte ens lokalt.

Komplex analys

När kodomänen för $\phi :(M,g)\to (N^{2},h)$ är en yta , systemet med partiell differential ekvationer som vi har att göra med, är invarianta under konforma förändringar av metriken $h$ . Detta innebär att, åtminstone för lokala studier, koddomänen väljas att vara det komplexa planet med dess platta standardmått. I denna situation är en komplext värderad funktion $\phi =u+iv:(M,g)\to \mathbb {C}$ en harmonisk morfismer om och bara om

$\Delta _{M}(\phi )=\Delta _{M}(u)+i\Delta _{M} (v)=0$

och

$g(\nabla \phi ,\nabla \phi ) \|\nabla u\|^{2}-\|\nabla v\|^{2}+2ig(\nabla u,\nabla v)=0.$

Det betyder att vi letar efter två verkliga övertonsfunktioner $u,v:(M,g)\to \mathbb {R}$ med gradienter $\nabla u,\nabla v$ som är ortogonala och av samma norm vid varje punkt. Detta visar att komplext värderade harmoniska morfismer $\phi :(M,g)\to \mathbb {C}$ från Riemannska grenrör generaliserar holomorfa funktioner $f:(M,g,J)\to \mathbb {C}$ från Kählers grenrör och har många av sina mycket intressanta egenskaper. Teorin om harmoniska morfismer kan därför ses som en generalisering av komplex analys .

Minimala ytor

Inom differentialgeometri är man intresserad av att konstruera minimala undergrenar av ett givet omgivande utrymme $(M,g)$ . Harmoniska morfismer är användbara verktyg för detta ändamål. Detta beror på det faktum att varje vanlig fiber $\phi ^{-1}(\{z_{0}\})$ av en sådan karta $\phi :(M,g)\to (N^{2},h)$ med värden i en yta är en minimal undergren av domänen med kodimension 2. Detta ger en attraktiv metod för att tillverka hela familjer av minimala ytor i 4-dimensionella grenrör ${\displaystyle (M^{4},g)} ,$ i synnerhet homogena utrymmen , såsom Lie-grupper och symmetriska utrymmen .

Exempel

• Identitets- och konstantkartor är harmoniska morfismer.
• Holomorfa funktioner i det komplexa planet är harmoniska morfismer.
• Holomorfa funktioner i det komplexa vektorrummet $\mathbb {C} ^{n}$ är harmoniska morfismer.
• Holomorfa kartor från Kählers grenrör med värden i en Riemann-yta är harmoniska morfismer.
• Hopf-kartorna ϕ $\displaystyle \phi :S^{3}\to S^{2}}$ , $\phi :S^{7}\to S^{4}$ och $\phi :S^{15}\to S^{8}$ är harmoniska morfismer.
• För kompakta Lie-grupper $K\subset H\subset G$ är standard riemannfibrationen $\phi :G/H\to G/K$ en harmonisk morfism.
• Riemanniska nedsänkningar med minimala fibrer är harmoniska morfismer.

externa länkar

• The Bibliography of Harmonic Morphisms , erbjuds av Sigmundur Gudmundsson