Kvantkohomologi

Inom matematiken , specifikt i symplektisk topologi och algebraisk geometri , är en kvantkohomologiring en förlängning av den vanliga kohomologiringen i ett slutet symplektiskt grenrör . Den finns i två versioner, som kallas liten och stor ; i allmänhet är den senare mer komplicerad och innehåller mer information än den förra. I var och en påverkar valet av koefficientring (vanligtvis en Novikov-ring , beskriven nedan) avsevärt dess struktur också.

Medan koppprodukten av vanlig kohomologi beskriver hur undergrenar av samlingsröret skär varandra, beskriver kvantkoppprodukten av kvantkohomologi hur delrum skär varandra på ett "luddrigt", "kvantum" sätt. Mer exakt, de skär varandra om de är anslutna via en eller flera pseudoholomorfa kurvor . Gromov–Witten invarianter , som räknar dessa kurvor, visas som koefficienter i expansioner av kvantbägareprodukten.

Eftersom det uttrycker en struktur eller ett mönster för Gromov-Witten invarianter, har kvantkohomologi viktiga implikationer för numerativ geometri . Den ansluter också till många idéer inom matematisk fysik och spegelsymmetri . I synnerhet är den ringisomorf till symplektisk Floer-homologi .

I den här artikeln är X en sluten symplektisk grenrör med symbolisk form ω.

Novikov ring

Se även: Novikov-ring

Olika val av koefficientring för kvantkohomologin av X är möjliga. Vanligtvis väljs en ring som kodar information om den andra homologin av X. Detta gör att kvantbägareprodukten, definierad nedan, kan registrera information om pseudoholomorfa kurvor i X . Till exempel, låt

$H_{2}(X)=H_{2}(X,\mathbf {Z})/\mathrm {torsion }$

vara den andra homologin modulo dess vridning . Låt R vara vilken kommutativ ring som helst med enhet och Λ ringen av formens formella potensserier

$\lambda =\sum _{A\in H_{2}(X)}\lambda _{A}e^{A},$

var

• koefficienterna $\lambda _{A}$ kommer från R ,
• e $e^{A}$ är formella variabler som är föremål för relationen $e^{A}e^{B}=e^{A+B}}$ ,
• för varje reellt tal C har endast ändligt många A med ω( A ) mindre än eller lika med C koefficienter som inte är noll $\lambda _{A}$ .

Variabeln $e^{A}$ anses vara av grad $2c_{1}(A)$ , där $c_{1}$ är första Chern-klassen av tangentbunten TX , betraktad som en komplex vektorbunt genom att välja vilken nästan komplex struktur som helst som är kompatibel med ω. Således är Λ en graderad ring, kallad Novikov-ringen för ω. (Alternativa definitioner är vanliga.)

Liten kvantkohomologi

Låta

$H^{*}(X)=H^{*}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion}$

vara kohomologin av X modulo torsion. Definiera den lilla kvantkohomologin med koefficienter i Λ att vara

$QH^{*}(X,\Lambda )=H^{*}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\Lambda .$

Dess element är ändliga summor av formen

$\sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i}.$

Småkvantkohomologin är en graderad R -modul med

$\deg(a_{i}\otimes \lambda _{i})=\deg(a_{i})+\deg(\lambda _{i}).$

Den vanliga kohomologin H *( X ) bäddas in i QH *( X , Λ) via $a\mapsto a\otimes 1$ , och QH *( X , Λ) genereras som en Λ-modul av H *( X ).

För alla två kohomologiklasser a , b i H *( X ) av ren grad, och för alla A i $H_{2}(X)$ , definiera ( a ∗ b ) _A som unikt element av H *( X ) så att

$\int _{X}(a*b)_{A}\smile c=GW_{0,3}^{X,A}(a,b,c).$

(Den högra sidan är ett släkte-0, 3-punkts Gromov–Witten invariant.) Definiera sedan

$a*b:=\sum _{A\in H_{2}(X)}(a*b)_{A}\otimes e^{A}.$

Detta sträcker sig genom linjäritet till en väldefinierad Λ-bilinjär karta

$QH^{*}(X,\Lambda )\ibland QH^{*}(X, \Lambda )\to QH^{*}(X,\Lambda )$

kallas den lilla kvantbägaren .

Geometrisk tolkning

De enda pseudoholomorfa kurvorna i klass A = 0 är konstanta kartor, vars bilder är punkter. Det följer att

$GW_{0,3}^{X,0}(a,b,c)=\int _{X}a\smile b\smile c;$

med andra ord,

$(a*b)_{0}=a\smile b.$

Sålunda innehåller kvantbägareprodukten den vanliga bägareprodukten; den utökar den vanliga koppprodukten till klass A som inte är noll .

I allmänhet motsvarar Poincaré-dualen av ( a ∗ b ) _A utrymmet av pseudoholomorfa kurvor av klass A som passerar genom Poincaré-dualerna av a och b . Så medan den vanliga kohomologin anser att a och b endast skär varandra när de möts vid en eller flera punkter, registrerar kvantkohomologin en skärningspunkt som inte är noll för a och b närhelst de är sammankopplade med en eller flera pseudoholomorfa kurvor. Novikov-ringen tillhandahåller bara ett bokföringssystem som är tillräckligt stort för att registrera denna korsningsinformation för alla klasser A.

Exempel

Låt X vara det komplexa projektiva planet med dess standardsymboliska form (motsvarande Fubini–Study-metriken) och komplexa struktur. Låt $\ell \in H^{2}(X)$ vara Poincaré-dualen av en linje L . Sedan

$H^{*}(X)\cong \mathbf {Z} [\ell ]/\ell ^{3}.$

De enda Gromov–Witten-invarianterna som inte är noll är de av klass A = 0 eller A = L . Det visar sig att

$\int _{X}( \ell ^{i}*\ell ^{j})_{0}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,0}(\ell ^{i},\ell ^ {j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,2)$

och

$\int _{ X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{L}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,L}(\ell ^{i}, \ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,5),$

där δ är Kroneckerdeltat . Därför,

$\ell *\ell =\ell ^{2}e^{0}+0e^{L}=\ell ^{2},$

$\ell *\ell ^{2}=0e^{0}+1e^{L}=e^{L}.$

I det här fallet är det bekvämt att byta namn på $e^{L}$ till q och använda den enklare koefficientringen Z [ q ]. Denna q är av grad $6=2c_{1}(L)$ . Sedan

$QH^{*}(X,\mathbf {Z} [q])\cong \mathbf {Z} [\ell ,q]/(\ell ^{3}=q).$

Egenskaper för den lilla kvantbägaren

För a , b av ren grad,

$\deg(a*b)=\deg(a)+\deg(b)$

och

$b*a=(-1)^{\deg(a)\deg(b)}a*b.$

Den lilla kvantbägaren är distribuerande och Λ-bilinjär. Identitetselementet $1\in H^{0}(X)$ är också identitetselementet för små kvantkohomologi.

Den lilla kvantbägaren är också associativ . Detta är en konsekvens av limningslagen för Gromov–Witten invarianter, ett svårt tekniskt resultat. Det är liktydigt med det faktum att Gromov–Witten potentialen (en genererande funktion för släktet-0 Gromov–Witten invarianter) uppfyller en viss tredje ordningens differentialekvation som kallas WDVV-ekvationen.

En korsningsparning

$QH^{*}(X,\Lambda )\otillfällen QH^{*}(X,\Lambda )\to R$

definieras av

$\left\langle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i},\sum _{j}b_{j}\otimes \mu _{j}\right\rangle =\ summa _{i,j}(\lambda _{i})_{0}(\mu _{j})_{0}\int _{X}a_{i}\smile b_{j}.$

(De nedsänkta 0 indikerar koefficienten A = 0.) Denna parning uppfyller associativitetsegenskapen

$\langle a*b,c\rangle =\langle a,b*c\rangle .$

Dubrovin-förbindelse

När basringen R är C , kan man se den jämnt graderade delen H av vektorrymden QH *( X , Λ) som ett komplext grenrör. Den lilla kvantbägaren begränsar sig till en väldefinierad, kommutativ produkt på H . Under milda antaganden är H med skärningsparningen $\displaystyle \langle ,\rangle }$ då en Frobenius-algebra .

Kvantkoppsprodukten kan ses som en anslutning på tangentbunten TH , kallad Dubrovin-kopplingen . Kommutativitet och associativitet för kvantbägareprodukten motsvarar då nolltorsion och nollkrökningsförhållanden på denna anslutning.

Stor kvantkohomologi

Det finns ett område U på 0 ∈ H så att $\langle ,\rangle$ och Dubrovin-kopplingen ger U strukturen hos ett Frobenius-grenrör . Varje a i U definierar en kvantbägareprodukt

$*_{a}:H\otimes H\to H$

genom formeln

$\langle x*_{a}y,z\rangle :=\sum _{n}\sum _{A}{\frac {1}{n!}}GW_{0,n+3}^ {X,A}(x,y,z,a,\ldots ,a).$

kallas dessa produkter på H den stora kvantkohomologin . Alla släktet-0 Gromov-Witten invarianter kan återvinnas från det; i allmänhet gäller inte samma sak för den enklare små kvantkohomologin.

Liten kvantkohomologi har bara information om 3-punkts Gromov–Witten-invarianter, men den stora kvantkohomologin har av alla (n ≧ 4) n-punkts Gromov–Witten-invarianter. För att få enumerativ geometrisk information för vissa grenrör måste vi använda stor kvantkohomologi. Liten kvantkohomologi skulle motsvara 3-punktskorrelationsfunktioner i fysik medan stor kvantkohomologi skulle motsvara alla n-punktskorrelationsfunktioner.

•   McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology , American Mathematical Society-kollokviumpublikationer. ISBN 0-8218-3485-1 .
• Fulton, W; Pandharipande, R (1996). "Anteckningar om stallkartor och kvantkohomologi". arXiv : alg-geom/9608011 .
•   Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson teori och kvantkohomologi. I CB Thomas (Red.), Contact and Symplectic Geometry , s. 171–200. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57086-7