Lie groupoid

I matematik är en Lie groupoid en groupoid där mängden $\operatorname {Ob}$ av objekt och mängden $\operatorname {Mor}$ av morfismer båda är mångfaldiga , alla kategorioperationer (källa och mål, sammansättning, identitetstilldelningskarta och inversion) är jämna och källan och måloperationerna

$s,t:\operatörsnamn {Mor} \to \operatörsnamn {Ob}$

är nedsänkningar .

En Lie groupoid kan alltså ses som en "many-objekt generalisering" av en Lie grupp , precis som en groupoid är en multi-objekt generalisering av en grupp . Följaktligen, medan Lie-grupper ger en naturlig modell för (klassiska) kontinuerliga symmetrier , används Lie-gruppoider ofta som modell för (och uppstår från) generaliserade, punktberoende symmetrier. För att utöka överensstämmelsen mellan Lie-grupper och Lie-algebror, är Lie-gruppoider de globala motsvarigheterna till Lie-algebroider .

Lie groupoids introducerades av Charles Ehresmann under namnet differentiable groupoids .

Definition och grundläggande begrepp

En Lie groupoid består av

• två släta grenrör $G$ och $M$
• två surjektiva nedsänkningar $s,t:G\to M$ (kallas resp. käll- och målprojektioner )
• en karta $m:G^{(2)}:=\{(g,h) \mid s(g)=t(h)\}\to G$ (kallad multiplikation eller kompositionskarta), där vi använder notationen $gh:=m(g, h)$
• en karta $u:M\to G$ (kallad enhetskarta eller objektinkluderingskarta), där vi använder notationen $1_{x}:=u (x)$
• a map $i:G\to G$ (kallad inversion ), där vi använder notationen $g^{-1}:=i(g )$

Så att

• kompositionen uppfyller $s(gh)=s(h)$ och $t(gh)=t(g)$ för varje $g,h\in G$ för vilken kompositionen är definierad
• kompositionen är associativ , dvs $g(hl)=(gh)l$ för varje $g,h,l\in G$ för vilken kompositionen är definierad
• $u$ fungerar som en identitet , dvs $s(1_{x})=t(1_{x})=x$ för varje $x\in M$ och $g1_{s(g)}=g$ och $1_{t(g)} g=g$ för varje $g\in G$
• $i$ fungerar som en invers , dvs $g^{-1}g=1_{s(g)}$ och $gg^{-1}=1_{t(g)}$ för varje $g\in G$ .

Med användning av kategoriteorin kan en Lie groupoid definieras mer kompakt som en groupoid (dvs en liten kategori där alla morfismer är inverterbara) så att mängderna $M$ av objekt och $G$ av morfismer är grenrör, kartorna $s$ , $t$ , $m$ , $i$ och $u$ är jämna och $s$ och $t$ är nedsänkningar. En Lie groupoid är därför inte bara ett groupoidobjekt i kategorin släta grenrör : man måste fråga den ytterligare egenskapen att $s$ och $t$ är nedsänkningar.

Lie groupoids betecknas ofta med $G\rightarrows M$ , där de två pilarna representerar källan och målet. Notationen $G_{1}\rightrightarrows G_{0}$ används också ofta, speciellt när man betonar den associerade nervens enkla struktur .

För att inkludera mer naturliga exempel, krävs inte att grenröret ${\displaystyle G} i allmänhet är$ Hausdorff eller andra räkningsbart (medan $M$ och alla andra mellanslag är det).

Alternativa definitioner

Den ursprungliga definitionen av Ehresmann krävde att $G$ och $M$ skulle ha en jämn struktur så att endast $m$ är jämn och kartorna $g\ mapsto 1_{s(g)}$ och $g\mapsto 1_{t(g)}$ är subimmersions (dvs. har lokalt konstant rangordning ). En sådan definition visade sig vara för svag och ersattes av Pradines med den som används för närvarande.

Medan vissa författare introducerade svagare definitioner som inte krävde att $s$ och $t$ skulle vara nedsänkningar, är dessa egenskaper grundläggande för att utveckla hela Lie-teorin om groupoider och algebroider.

Första fastigheterna

Det faktum att källan och målkartan för en Lie groupoid $G\rightarrows M$ är jämna nedsänkningar har några omedelbara konsekvenser:

• s $s$ -fibrerna $s^{-1}(x)\subseteq G$ t $\displaystyle t}$ -fibrerna $t^{-1}(x)\subseteq G$ och uppsättningen av komponerbara morfismer $G^{(2)}\subseteq G\times G$ är undergrenrör ;
• inversionskartan $i$ är en diffeomorfism ;
• enhetskartan $u$ är en smidig inbäddning ;
• isotropigrupperna $G_{x}$ är Lie - grupper ;
• banorna ${\mathcal {O}}_{x}\subseteq M$ är nedsänkta undergrenrör ;
• s $\displaystyle s}$ -fiber $s^{-1}(x)$ vid en punkt $x\in M$ är en huvudsaklig $G_{x}$ -bunt över omloppsbanan ${\mathcal {O}}_{x}$ vid den punkten.

Subobjekt och morfismer

En Lie-undergruppoid till en Lie-gruppoid $G\rightarrows M$ är en undergruppoid $H\rightarrows N$ (dvs. en underkategori till kategorin $G$ ) med det extra kravet att $H\subseteq G$ är en nedsänkt undergren. När det gäller en underkategori kallas en (Lie) subgruppoid bred om $N=M$ . Alla Lie groupoid $G\rightrightarrows M$ har två kanoniska breda undergrupper:

• enheten/identiteten Lie undergrupp $u(M)=\{1_{x}\in G\mid x\in M\}$ ;
• den inre undergruppen ${\displaystyle IG:=\{g\in G\mid s(g)=t(g)\}} ,$ dvs. bunten av isotropigrupper (som dock inte kan vara jämn i allmänhet).

En normal Lie-undergrupp är en bred Lie-undergrupp $H\subseteq G$ inuti $IG$ så att, för varje $h\in H,g\ i G$ med $s(h)=t(h)=s(g)$ , en har $ghg ^{-1}\i H$ . Isotropigrupperna i $H$ är därför normala undergrupper av isotropigrupperna i $G$ .

En Lie groupoid morfism mellan två Lie groupoids $G\rightarrows M$ och $H\rightarrows N$ är en groupoid morfism $F :G\to H,f:M\to N$ (dvs. en funktion mellan kategorierna $G$ och $H$ ), där både $F$ och $f$ är släta. Kärnan $\ker(F):=\{g\in G\mid F(g)=1_{ s(g)}\}$ ( av en morfism mellan Lie-gruppoider över samma basgrenrör är automatiskt en normal Lie-undergruppoid.

Kvotienten $/\ker(F)\rightarrows M}$$G\to G /\ker(F)$ har en naturlig gruppoidstruktur så att projektionen G är en groupoid morfism; dock, till skillnad från kvoter för Lie-grupper , kan $G/\ker(F)$ misslyckas med att vara en Lie-gruppoid i allmänhet. Följaktligen isomorfismsatserna för groupoider inte specialiseras till hela kategorin Lie groupoids, utan endast till specialklasser.

En Lie-gruppoid kallas abelisk om dess isotropi Lie-grupper är abelska . Av liknande skäl som ovan, medan definitionen av abelianisering av en grupp sträcker sig till mängdteoretiska groupoider, i Lie-fallet analogen till kvoten $G^{ab }=G/(IG,IG)$ kanske inte finns eller är jämn.

Bisektioner

En halvering av en Lie groupoid $G\rightarrows M$ är en jämn karta $b:M\to G$ så att $s\ circ b=id_{M}$ och $t\circ b$ är en diffeomorfism av $M$ . För att övervinna bristen på symmetri mellan källan och målet, kan en halvering definieras på samma sätt som en delgren $B\subseteq G$ så att $s_{\ mid B}:B\to M$ och $t_{\mid B}:B\to M$ är diffeomorfismer; relationen mellan de två definitionerna ges av $B=b(M)$ .

Uppsättningen av tvåsektioner bildar en grupp , med multiplikationen $b_{1}\cdot b_{2}$ definierad som

$$(b_{1}\cdot b_{2})(x):=b_{1}(b_{2}(x))b_{2}(x).$$

och inversion definieras som

$$b_{1}^{-1}(x):=i\circ b_{1} \left((t\circ b_{2})^{-1}(x)\right)$$

Observera att definitionen ges på ett sådant sätt att, om $t\circ b_{1}=\phi _{1}$ och $t \circ b_{2}=\phi _{2}$ , sedan $t\circ (b_{1}\cdot b_{2})= \phi _{1}\circ \phi _{2}$ och $t\circ b_{1}^{-1}=\phi _{1}^ {-1}$ .

Gruppen av tvåsektioner kan ges den kompakta öppna topologin , såväl som en (oändlig dimensionell) struktur av Fréchet-manifold som är kompatibel med gruppstrukturen, vilket gör den till en Fréchet-Lie-grupp.

En lokal bisektion $b:U\subseteq M\to G$ definieras analogt, men multiplikationen mellan lokala bisektioner är naturligtvis bara delvis definierad.

Exempel

Triviala och extrema fall

• Lie groupoids $G\rightarrows {*}$ med ett objekt är samma sak som Lie-grupper.
• Med tanke på vilken mångfald ${\displaystyle M} som helst$ , finns det en Lie groupoid $M\times M\rightarrows M$ som kallas paret groupoid , med exakt en morfism från vilket objekt som helst till vilket annat som helst.
• De två föregående exemplen är speciella fall av den triviala gruppoiden $M\times G\times M\rightrightarrows M$ , med strukturkartor $s (x,g,y)=y$ , $t(x,g,y)=x$ , $m((x,g,y),(y,h,z))=(x,gh,z)$ , $u(x)=(x,1,x)$ och $i(x,g, y)=(y,g^{-1},x)$ .
• Givet varje mångfald $M$ finns det en Lie groupoid $u(M)\rightrightarrows M$ som kallas enheten groupoid , med exakt en morfism från ett objekt till sig självt, nämligen identiteten , och inga morfismer mellan olika objekt.
• Mer generellt är Lie groupoids med $s=t$ samma sak som bunt av Lie-grupper (inte nödvändigtvis lokalt triviala). Till exempel är vilken vektorbunt som helst en bunt av abelska grupper, så det är i synnerhet en (n abelsk) Lie-gruppoid.

Konstruktioner från andra Lie groupoider

• Givet någon Lie groupoid $G\rightarrows M$ och en surjektiv nedsänkning $\mu :N\to M$ , finns det en Lie groupoid $\ mu ^{*}G\rightarrows N$ , kallad dess pullback groupoid eller inducerad groupoid , där $\mu ^{*}G\subseteq N\times G\times N$ innehåller tredubblar $(x,g,y)$ så att $s(g)=\mu (y)$ och $t(g)=\mu (x)$ , och multiplikationen definieras med multiplikationen av $G$ . Till exempel är tillbakadragningen av paret groupoid av $M$ paret groupoid av $N$ .
• Givet två valfria Lie groupoids $G_{1}\rightarrows M_{1}$ och $G_{2}\rightrightarrows M_{2}$ , finns det en Lie groupoid ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\rightarrows M_{1}\times M_{2}} ,$ kallade deras direkta produkt , så att gruppoidmorfismerna $G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{1}}^{*}G_{1}$ och $G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{2}}^{*}G_{2}$ är surjektiva nedsänkningar .
• Givet någon Lie groupoid $G\rightrightarrows M$${\displaystyle TG\rightarrows TM} ,$ finns det en Lie groupoid kallad dess tangent groupoid erhållen genom att betrakta tangentbunten av ${\ displaystyle G}$ och $M$ och differentialen för strukturkartorna.
• Givet någon Lie groupoid $G\rightarrows M$ , finns det en Lie groupoid $T^{*}G\rightarrows A^{*}$ , kallad dess cotangens groupoid erhållen genom att betrakta cotangensknippet av $G$ , dualen av Lie-algebroiden $A$ (se nedan), och lämpliga strukturkartor som involverar skillnaderna mellan vänster och höger översättningar .
• Givet någon Lie groupoid $G\rightarrows M$ , finns det en Lie groupoid ${\displaystyle J^{k}G\rightarrows M} ,$ kallad dess jet groupoid , erhållen genom att betrakta k -strålar av de lokala tvåsektionerna av $G$ (med jämn struktur som ärvts från jetbunten av $s:G\to M$ ) och inställningen $s(j_{x}^{k}b)=x$ , $t(j_{x}^{k}b)= t(b(x))$ , $m(j_{t(b) (x))}^{k}b_{1},j_{x}^{k}b_{2})=j_{x}^{k}(b_{1}\cdot b_{2})$ , $u(x)=j_{x}^{k}u$ och ${\ displaystil i(j_{x}^{k}b)=j_{t(b(x))}^{k}b^{-1}}$ .

Exempel från differentialgeometri

• Givet en nedsänkning $\mu :M\to N$ , finns det en Lie-gruppoid $M\times _{\mu }M:=\{(x,y)\in M\times M\mid \mu (x)=\mu (y)\}\rightarrows M$ , kallad submersion groupoid eller fiberd pair groupoid , vars strukturkartor är inducerade från pargruppoiden $M\times M\rightarrows M$ (villkoret att $\mu$ är en nedsänkning säkerställer jämnheten för ${\displaystyle M\times _{\mu }M} )$ . Om $N$ är en punkt, återställer man paret groupoid.
• Givet en Lie-grupp $G$ som verkar på ett grenrör $M$ , finns det en Lie-gruppoid $G\times M\rightarrows M$ , kallad åtgärden groupoid eller translation groupoid , med en morfism för varje trippel $g\in G,x,y\in M$ med $gx=y$ .
• Givet vilken vektorbunt som helst $E\to M$ , finns det en Lie groupoid $M} ,$ kallad den allmänna linjära groupoiden , med morfismer mellan $x,y\in M$ är linjära isomorfismer mellan fibrerna $E_{x}$ och $E_{y}$ . Till exempel, om $E=M\times \mathbb {R} ^{n}$ är den triviala vektorbunten av rang $k$ , då är $GL(E)\rightrightarrows M$ är åtgärdsgruppoiden.
• Alla huvudpaket $P\to M$ med strukturgrupp $G$ definierar en Lie groupoid $(P\times P)/G\rightarrows M$ , där $G$ verkar på paren $(p,q)\in P\times P$ komponentvis, kallad gauge groupoid . Multiplikationen definieras via kompatibla representanter som i paret groupoid.
• Eventuell foliation ${\mathcal {F}}$ på ett grenrör $M$ definierar två Lie groupoids, $\mathrm {Mon} ({\mathcal {F }})\högerpilar M$ (eller ${\displaystyle \Pi _{1}({\mathcal {F}})\högerpilar M} )$ och ${\ displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M} ,$ som kallas respektive monodromi/homotopi/fundamental groupoid och holonomy groupoid av ${\mathcal {F}}$ , vars morfismer består av av homotopin , respektive holonomi , ekvivalensklasser av banor som helt ligger i ett blad av ${\mathcal {F}}$ . Till exempel, när ${\mathcal {F}}$ är den triviala foliationen med endast ett blad, återvinner man den fundamentala groupoiden respektive paret groupoid av $M$ . Å andra sidan, när ${\mathcal {F}}$ är en enkel foliation, dvs foliationen av (anslutna) fibrer av en nedsänkning $\mu :M\to N$ , dess holonomi groupoid är just submersion groupoid $M\times _{\mu }M$ men dess monodromi groupoid kan till och med misslyckas med att vara Hausdorff, på grund av ett allmänt kriterium i termer av försvinnande cykler. I allmänhet ger många elementära foliationer upphov till monodromi och holonomi groupoids som inte är Hausdorff.
• Givet någon pseudogrupp ${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathrm {Diff} _{loc}(M)} ,$ det finns en Lie groupoid ${\displaystyle G=\mathrm {Germ} (\Gamma )\rightarrows M} ,$ kallad dess germ groupoid , utrustad med kärvetopologin och med strukturkartor analoga med jet groupoidens. Detta är ett annat naturligt exempel på Lie groupoid vars pilutrymme inte är Hausdorff och inte heller kan räknas.

Viktiga klasser av Lie groupoids

Observera att några av följande klasser är vettiga redan i kategorin mängdteoretiska eller topologiska groupoider .

Transitiva groupoider

En Lie groupoid är transitiv (i äldre litteratur även kallad kopplad) om den uppfyller något av följande ekvivalenta villkor:

• det finns bara en bana;
• det finns åtminstone en morfism mellan två objekt;
• kartan $(s,t):G\to M\times M$ (även känd som ankaret för $G\rightarrows M$ ) är surjektiv.

Gauge groupoids utgör de prototypiska exemplen på transitiva Lie groupoids: i själva verket är varje transitiv Lie groupoid isomorf till gauge groupoiden för någon huvudbunt, nämligen G $\displaystyle G_{x}}$ -bunten $t:s^{-1}(x)\to M$ , för valfri punkt $x\in M$ . Till exempel:

• den triviala Lie groupoiden $M\times G\times M\rightarrows M$ är transitiv och härrör från den triviala principen $G$ -bunt $G \times M\to M$ . Som speciella fall är Lie-grupperna $G\rightarrows {*}$ och pargruppoiderna $M\times M\rightarrows M$ trivialt transitiva och uppstår från principen. $G$ -bunt $G\to {*}$ , och från principen $\{e\}$ -bunt $M\to M$ ;
• en åtgärdsgruppoid $G\times M\rightarrows M$ är transitiv om och endast om gruppåtgärden är transitiv , och i så fall uppstår den från huvudpaketet $G\to M$ med strukturgrupp isotropigruppen (vid en godtycklig punkt);
• den allmänna linjära groupoiden för $E$ är transitiv och härrör från rampaketet $Fr(E)\to M$ ;
• pullback groupoids, jet groupoids och tangent groupoids of $G\rightarrows M$ är transitiva om och endast om $G\rightrightarrows M$ är transitiv.

Som ett mindre trivialt exempel på överensstämmelsen mellan transitiva Lie groupoids och principal buntar, betrakta den fundamentala groupoiden $\Pi _{1}(M)$ för ett (anslutet) jämnt grenrör $M$ . Detta är naturligtvis en topologisk groupoid, som dessutom är transitiv; man kan se att $\Pi _{1}(M)$ är isomorf till gauge groupoiden för det universella omslaget till $M$ . Följaktligen $\Pi _{1}(M)$ en jämn struktur som gör den till en Lie-gruppoid.

Submersions groupoids $M\times _{\mu }M\rightrightarrows M$ är ett exempel på icke-transitiva Lie groupoids, vars banor är just fibrerna i $\mu$ .

En starkare föreställning om transitivitet kräver att ankaret $(s,t):G\to M\times M$ är en surjektiv nedsänkning. Sådant tillstånd kallas också lokal trivialitet , eftersom $G$ blir lokalt isomorft (som Lie groupoid) till en trivial groupoid över vilken som helst öppen $U\subseteq M$ (som en konsekvens av den lokala trivialiteten av huvudpaket).

När utrymmet $G$ är andra räkningsbart, innebär transitivitet lokal trivialitet. Följaktligen är dessa två villkor likvärdiga för många exempel men inte för alla: om t.ex. $\Gamma$ är en transitiv pseudogrupp, ger dess groddgruppoid $\mathrm {Germ } (\Gamma )$ är transitiv men inte lokalt trivial.

Ordentliga groupoider

En Lie groupoid kallas korrekt om $(s,t):G\to M\times M$ är en riktig karta. Som en konsekvens

• alla isotropigrupper av $G$ är kompakta ;
• alla banor för $G$ är slutna undergrenrör;
• omloppsutrymmet $M/G$ är Hausdorff .

Till exempel:

• en Lie-grupp är korrekt om och endast om den är kompakt;
• pargruppoider är alltid korrekta;
• enhetsgruppoider är alltid korrekta;
• en aktionsgruppoid är korrekt om och endast om åtgärden är korrekt ;
• den fundamentala groupoiden är korrekt om och endast om de fundamentala grupperna är finita .

Som framgått ovan är lämplighet för Lie-gruppoider den "rätta" analogen av kompakthet för Lie-grupper. Man skulle också kunna överväga mer "naturliga" förhållanden, t.ex. att be att källkartan $s:G\to M$ är korrekt (då kallas $G\rightarrows M$ s- proper ), eller att hela utrymmet $G$ är kompakt (då kallas $G\rightarrows M$ kompakt ), men dessa krav visar sig vara för strikta för många exempel och tillämpningar.

Étale groupoids

En Lie groupoid kallas étale om den uppfyller ett av följande ekvivalenta villkor:

• dimensionerna för $G$ och $M$ är lika;
• $s$ är en lokal diffeomorfism ;
• alla $s$ -fibrer är diskreta

Som en konsekvens blir även $t$ -fibrerna, isotropigrupperna och banorna diskreta.

Till exempel:

• en Lie-grupp är étale om och endast om den är diskret;
• pargruppoider är aldrig étale;
• enhetsgruppoider är alltid étale;
• en action groupoid är étale om och endast om $G$ är diskret;
• fundamentala groupoids är alltid étale (men fundamentala groupoids av en foliations är det inte);
• groddgrupper av pseudogrupper är alltid étale.

Effektiva groupoider

En étale groupoid kallas effektiv om villkoret t ∘ $b_ {1}=t\circ b_{2}}$$\displaystyle b_{1},b_{2}}$ t innebär $b_{1}=b_{2}$ . Till exempel:

• Lögngrupper är effektiva om och bara om de är triviala;
• enhetsgruppoider är alltid effektiva;
• en aktionsgruppoid är effektiv om $G$ -åtgärden är fri och $G$ är diskret.

I allmänhet uppstår vilken effektiv étale groupoid som helst som groddgruppoid hos någon pseudogrupp. Men en (mer involverad) definition av effektivitet, som inte förutsätter etale-egenskapen, kan också ges.

Källkopplade groupoider

En Lie groupoid kallas $s$ -ansluten om alla dess $s$ -fibrer är anslutna . På liknande sätt talar man om $s$ -enkelt anslutna groupoids (när $s$ -fibrerna helt enkelt är anslutna ) eller source-k-anslutna groupoids (när $s$ -fibrerna är k -connected , dvs de första $k$ homotopigrupperna är triviala).

Observera att hela utrymmet med pilar $G$ inte ombeds uppfylla någon anknytningshypotes. Men om $G$ är en käll- $k$ -ansluten Lie groupoid över ett $k$ -anslutet grenrör, så är själva $G$ automatiskt $k$ -ansluten.

Till exempel

• Lie-grupper är källa $k$ -anslutna om och endast är $k$ -anslutna;
• ett par groupoid är källan $k$ -ansluten om och endast om $M$ är $k$ -ansluten;
• enhetsgruppoider är alltid källa $k$ -anslutna;
• action groupoids är källa $k$ -anslutna om och endast om $G$ är $k$ -ansluten.
• monodromy groupoids (därav också fundamental groupoids) är helt enkelt källkopplade.

Ytterligare relaterade begrepp

Åtgärder och huvudpaket

Kom ihåg att en åtgärd av en gruppoid $G\rightarrows M$ på en uppsättning $P$ längs en funktion $\mu :P\rightarrows M$ definieras via en samling av kartor $\mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y),\quad p\mapsto g\cdot p$ för varje morfism $g\in G$ mellan $x,y\in M$ . Följaktligen består en åtgärd av en Lie groupoid $G\rightarrows M$ på ett grenrör $P$ längs en jämn karta $\mu :P\rightarrows M$ av en groupoid-handling där kartorna ${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y)} är$ jämna. Naturligtvis, för varje $x\in M$ finns det en inducerad jämn verkan av isotropigruppen $G_{x}$ på fibern $\mu ^{-1}(x)$ .

Givet en Lie groupoid $G\rightarrows M$ , består ett huvudsakligt $G$ -paket av ett $G$ -mellanslag $P$ och ett $G$ -invariant surjektiv nedsänkning $\pi :P\to N$ så att

$$P\times _{N}G\to P\times _{\pi }P,\quad (p ,g)\mapsto (p,p\cdot g)$$

är en diffeomorfism. Likvärdiga (men mer involverade) definitioner kan ges med hjälp av $G$ -värderade samcykler eller lokala trivialiseringar.

När $G$ är en Lie-gruppoid över en punkt, återställer man standard Lie-gruppåtgärder respektive huvudbuntar .

Framställningar

En representation av en Lie groupoid $G\rightarrows M$ består av en Lie groupoid-åtgärd på en vektorbunt $\pi :E\to M$ , så att åtgärden är fibervis linjär, dvs varje bijektion $\pi ^{-1}(x)\to \pi ^{-1}(y)$ är en linjär isomorfism. På motsvarande sätt kan en representation av $G}$$GL(E)$ på $E$ beskrivas som en Lie groupoid morfism från $G$ till den allmänna linjära groupoiden .

Naturligtvis blir vilken fiber som helst $E_{x}$ en representation av isotropigruppen $G_{x}$ . Mer generellt bestäms representationer av transitiva Lie-gruppoider unikt av representationer av deras isotropigrupper, via konstruktionen av det associerade vektorknippet .

Exempel på Lie groupoids representationer inkluderar följande:

• representationer av Lie-grupper $G\rightarrows {*}$ återställer standard Lie-gruppsrepresentationer
• representationer av pargruppoider $M\times M\rightarrows M$ är triviala vektorbuntar
• representationer av enhetsgruppoider $M\rightarrows M$ är vektorbuntar
• representationer av action groupoid $G\times M\rightrightarrows M$ är $G$ - ekvivarianta vektorbuntar
• representationer av fundamentala gruppoider $\Pi _{1}(M)$ är vektorbuntar utrustade med platta anslutningar

Mängden $\mathrm {Rep} (G)$ av isomorfismklasser av representationer av en Lie groupoid $G\rightrightarrows M$ har en naturlig struktur av semiring , med direkta summor och tensorprodukter av vektorbuntar.

Differentierbar kohomologi

Föreställningen om differentierbar kohomologi för Lie-grupper generaliserar naturligtvis också till Lie-gruppoider: definitionen bygger på den symplika strukturen hos nerven $N(G)_{n}=G^{ (n)}$ av $G\rightarrows M$ , sett som en kategori.

Mer exakt, kom ihåg att mellanrummet $G^{(n)}$ består av strängar av $n$ komponerbara morfismer, dvs.

${\ displaystyle G^{(n)}:=\{(g_{1},\ldots ,g_{n})\in G\times \ldots \times G\mid s(g_{i})=t(g_{ i+1})\quad \forall i=1,\ldots ,n-1\},}$

och betrakta kartan $t^{(n)}=t\ circ \mathrm {pr} _{1}:G^{(n)}\to M,(g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto t(g_{1})$ .

En differentierbar $n$ -samkedja av $G\rightarrows M$ med koefficienter i någon representation $E\to M$ är en jämn sektion av pullbackvektorbunten $(t^{(n)})^{*}E\to G^{(n)}$ . Man betecknar med $C^{n}(G,E)$ utrymmet för sådana $n$ -samkedjor och betraktar differentialen ${\displaystyle d_{n}:C^{n}(G,E)\to C^{n+1}(G,E)} ,$ definierad som

$d_{n}(c)(g_{1},\ldots ,g_{n+1}):=g_{1}\cdot c(g_{2},\ldots ,g_{n+1} )+\summa _{i=1}^{n}(-1)^{i}c(g_{1},\ldots ,g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+ 1})+(-1)^{n+1}c(g_{1},\ldots ,g_{n}).$

Sedan blir $(C^{n}(G,E),d^{n})$ ett cochainkomplex och dess kohomologi, betecknad med $H_{d}^{n}(G,E)$ , kallas den differentierbara kohomologin av $G\rightrightarrows M$ med koefficienter i $E\to M$ . Observera att eftersom differentialen vid nollgraden är $d_{0}(c)(g)=g \cdot c(s(g))-c(t(g))$ , man har alltid $H_{d}^{ 0}(G,E)=\ker(d_{0})=\Gamma (E)^{G}$ .

Naturligtvis sammanfaller den differentierbara kohomologin för $G\rightarrows {*}$ som en Lie-gruppoid med standarden differentierbar kohomologi för $G$ som en Lie-grupp (särskilt för diskreta grupper man återhämtar sig den vanliga gruppkohomologin ). Å andra sidan, för vilken riktig Lie groupoid $G\rightarrows M$ , kan man bevisa att $H_{d}^{n}(G,E )=0$ för varje $n>0$ .

Lie-algebroiden för en Lie-gruppoid

Se även: Lie algebroid § Lie groupoid-Lie algebroid korrespondens

Alla Lie groupoid $G\rightarrows M$ har en associerad Lie-algebroid $A\to M$ , erhållen med en konstruktion som liknar den som associerar en Lie-algebra till någon Lie-gruppː

• vektorbunten $A\to M$ är den vertikala bunten med avseende på källkartan, begränsad till de element som tangerar identiteterna, dvs $A :=\ker(ds)_{\mid M}$ ;
• Lie-parentesen erhålls genom att identifiera $\Gamma (A)$ med de vänsterinvarianta vektorfälten på $G$ , och genom att transportera deras Lie-parentes till $A$ ;
• ankarkartan $displaystyle A\to TM}$ \ är differentialen för målkartan $t:G\to M$ begränsad till $A$

Lie grupp och Lie algebra generaliserar till vissa sträcker sig även till Lie groupoider: de två första Lie's theorem (även känd som subgroups-subalgebras theorem och homomorphisms theorem) kan verkligen enkelt anpassas till denna inställning.

I synnerhet, som i standard Lie-teori, finns det för alla s-anslutna Lie groupoid $~ {\displaystyle {\tilde {G}}}$$\displaystyle G}$ en unik (upp till isomorfism) s-enkelt ansluten Lie groupoid med samma Lie-algebroid av $G$ , och en lokal diffeomorfism ${\tilde {G}}\to G$ som är en groupoid morfism. Till exempel,

• givet varje anslutet grenrör ${\displaystyle M} är$ dess pargruppoid $M\times M$ s-ansluten men inte s-enkelt ansluten, medan dess fundamentala groupoid $\Pi _ {1}(M)$ är. De har båda samma Lie-algebroid, nämligen tangentbunten $TM\to M$$\Pi _{1}(M) \to M\ gånger M$ och den lokala diffeomorfismen ges av $[\gamma ]\mapsto (\gamma (0),\gamma (1))$ .
• givet någon foliation ${\mathcal {F}}$ på $M$ , dess holonomi groupoid $\mathcal {Hol} ({\mathcal {F}})$ är s-ansluten men inte s-helt ansluten, medan dess monodromigruppoid $\mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})$ är. De har båda samma Lie-algebroid, nämligen foliationsalgebroiden ${\mathcal {F}}\to M$ , och den lokala diffeomorfismen ${\displaystyle \mathrm {mån} ({\mathcal {F}})\to \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})} ges av [ γ ] ↦ [ γ ]$ { $mapsto [\gamma ]}$ (eftersom homotopiklasserna är mindre än holonomiklasserna).

Det finns dock ingen analog till Lies tredje teorem ː medan flera klasser av Lie-algebroider är integrerbara, det finns exempel på Lie-algebroider, till exempel relaterade till foliationsteori , som inte tillåter en integrerande Lie-gruppoid. De allmänna hindren för förekomsten av sådan integration beror på topologin för $G$ .

Morita-ekvivalens

Som diskuterats ovan, begränsar standarduppfattningen om (iso)morfism av groupoids (sedda som funktioner mellan kategorier ) naturligt till Lie groupoids. Det finns dock en grövre notation av ekvivalens, kallad Morita-ekvivalens, som är mer flexibel och användbar i applikationer.

Först en Morita-karta (även känd som en svag ekvivalens eller väsentlig ekvivalens) mellan två Lie-gruppoider $G_{1}\rightarrows G_{0}$ och $H_{1} \rightarrows H_{0}$ består av en Lie groupoid morfism från G till H som dessutom är helt trogen och i huvudsak surjektiv (anpassar dessa kategoriska föreställningar till det smidiga sammanhanget). Vi säger att två Lie groupoids $G_{1}\rightarrows G_{0}$ och $H_{1}\rightrightarrows H_{0}$ är Morita-ekvivalenter om och endast om det finns en tredje Lie groupoid $K_{1}\rightarrows K_{0}$ tillsammans med två Morita-kartor från G till K och från H till K .

En mer explicit beskrivning av Morita-ekvivalens (t.ex. användbar för att kontrollera att det är en ekvivalensrelation ) kräver att det finns två surjektiva nedsänkningar $P\to G_{0}$ och $P\to H_{0}$ tillsammans med en vänster $G$ -action och en höger $H$ -action, pendlar med varandra och gör $P$ till en huvudsaklig bi-bunle.

Morita invarians

Många egenskaper hos Lie-gruppoider, t.ex. att vara riktiga, vara Hausdorff eller vara transitiva, är Morita-invarianta. Å andra sidan är inte Morita invariant att vara étale.

Dessutom bevarar en Morita-ekvivalens mellan $G_{1}\rightarrows G_{0}$ och $H_{1}\rightrightarrows H_{0}$ sin tvärgående geometri , dvs. det framkallar:

• en homeomorfism mellan omloppsutrymmena $G_{0}/G_{1}$ och $H_{0}/H_{1}$ ;
• en isomorfism $G_{x}\cong H_{y}$ mellan isotropigrupperna vid motsvarande punkter $x\in G_{0}$ och $y \i H_{0}$ ;
• en isomorfism ${\mathcal {N}}_{x}\cong {\mathcal {N}}_{y}$ mellan de normala representationerna av isotropigrupperna vid motsvarande punkter ${ \displaystyle x\in G_{0}}$ och $y\in H_{0}$ .

Slutligen är de differentierbara kohomologierna för två Morita-ekvivalenta Lie-gruppoider isomorfa.

Exempel

• Isomorfa Lie-gruppoider är trivialt Morita-ekvivalenter.
• Två Lie-grupper är Morita-ekvivalenta om och endast om de är isomorfa som Lie-grupper.
• Två enhetsgruppoider är Morita-ekvivalenta om och endast om basgrenrören är diffeomorfa.
• Varje transitiv Lie groupoid är Morita ekvivalent med dess isotropigrupper.
• Givet en Lie groupoid $G\rightrightarrows M$ och en surjektiv nedsänkning $\mu :N\to M$ , pullback-gruppoiden $\mu ^ {*}G\rightrightarrows N$ är Morita ekvivalent med $G\rightrightarrows M$ .
• Givet en fri och korrekt Lie-grupphandling av $G$ på $M$ (därför är kvoten $M/G$ en mångfaldig), aktionsgruppoiden ${ \displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ är Morita ekvivalent med enheten groupoid $u(M/G)\rightrightarrows M/G$ .
• En Lie groupoid $G$ är Morita ekvivalent med en étale groupoid om och endast om alla isotropigrupper i $G$ är diskreta.

Ett konkret exempel på det sista exemplet är som följer. Låt M vara ett jämnt grenrör och $\{U_{\alpha }\}$ ett öppet lock till $M$ . Dess Čech groupoid $G_{1}\rightarrows G_{0}$ definieras av de disjunkta fackföreningarna $G_{0}:=\bigsqcup _{\alpha } U_{\alpha }$ och ${\displaystyle G_{1}:=\bigsqcup _{\alpha ,\beta }U_{\alpha \beta }} ,$ där $U_{\alpha \beta }=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\subset M$ . Käll- och målkartan definieras som inbäddningarna $s:U_{\alpha \beta }\to U_{\alpha }$ och $t:U_{\alpha \beta }\to U_{\beta }$ , och multiplikationen är den självklara om vi läser $U_{\alpha \beta }$ som delmängder av M (kompatibla punkter i $U_{\alpha \beta }$ och $U_{\beta \gamma }$ är faktiskt samma i $M$ och ligger också i ${\ displaystil U_{\alpha \gamma }})$ . Čech groupoid är i själva verket pullback-gruppoiden, under den uppenbara nedsänkningen $p:G_{0}\to M$ , för enhetsgruppoiden $M\rightarrows M$ . Som sådan är Čech groupoids associerade med olika öppna omslag av $M$ Morita-ekvivalenter.

Släta staplar

Se även: differentierbar stack

Att undersöka strukturen av omloppsutrymmet för en Lie-gruppoid leder till föreställningen om en jämn stack. Till exempel är omloppsutrymmet ett jämnt grenrör om isotropigrupperna är triviala (som i exemplet med Čech groupoid), men det är inte jämnt i allmänhet. Lösningen är att återställa problemet och att definiera en jämn stack som en Morita-ekvivalensklass av Lie-gruppoider. De naturliga geometriska objekten som lever på stapeln är de geometriska objekten på Lie groupoids invariant under Morita-ekvivalens: ett exempel är Lie groupoid cohomology.

Eftersom begreppet slät stack är ganska allmänt är uppenbarligen alla släta grenrör släta stackar. Andra klasser av exempel inkluderar orbifolds , som är (ekvivalensklasser av) proper étale Lie groupoids och orbit spaces of foliations.

Böcker

• Weinstein, A. (1996). "Groupoider: förenande intern och extern symmetri" (PDF) . Meddelanden från American Mathematical Society . 43 : 744-752. arXiv : math/9602220 .
•   MacKenzie, K. (1987). Lie Groupoids och Lie Algebroids in Differential Geometry . Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511661839 . ISBN 9780521348829 .
•   MacKenzie, KCH (2005). Allmän teori om Lie Groupoids och Lie Algebroids . Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9781107325883 . ISBN 9781107325883 .
• Crainic, M.; Fernandes, RL (2011). "Föreläsningar om integrering av lögnparenteser" (PDF) . Monografier för geometri och topologi . 17 : 1–107. arXiv : math/0611259 .
•   Moerdijk, I.; Mrcun, J. (2003). Introduktion till Foliations och Lie Groupoids . Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511615450 . ISBN 9780521831970 .